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1、第八节 函数的连续性,一、连续函数的概念,二、函数的间断点,三、连续函数的四则运算,四、反函数的连续性,五、复合函数的连续性,六.初等函数的连续性,一、连续函数的概念,极限形式,增量形式,1、连续性概念的增量形式,在某过程中,变量 u 的终值 u2 与它的,初值 u1 的差 u2 u1,称为变量 u 在 u1处的,增量,记为 u=u2u1.,定义,设函数 f(x)在 U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.,=f(x0+x)f(x0),y=f(x)f(x0),x,y,O,x0,x,x,y,y=f(x),此时,x=x0+x,相应地,函数在点 x0
2、点处,有增量 y,连续性概念的增量形式,则称 f(x)在点 x0 处连续.,设 f(x)在 U(x0)内有定义.若,定义,设 f(x)在 U(x0)内有定义,若,则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.,2、函数连续性的定义(极限形式),函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.,定义,是整个邻域,函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：,函数 y=x2 在点 x=0 处是否连续?,函数 y=x2 在点 x=0 处连续.,又,且,y=x 2 在 U(0)内有定义,解,3.函数的左、右连续性,设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义.若,则称 f(x)在 x0 点处右连续.,
3、设函数 f(x)在(x0,x0 内有定义.若,则称 f(x)在 x0 点处左连续.,其中,为任意常数.,定义,定理,讨论 y=|x|,x()在点 x=0 处,y=|x|在点 x=0 处连续.,x,y,y=|x|,O,的连续性.,解,讨论函数 f(x)=,x2,x 1,在 x=1 处的连续性.,函数 f(x)在点 x=1 处不连续.,故函数 f(x)在点 x=1 处是左连续的.,x+1,x 1,但由于,解,4.函数在区间上的连续性,设函数 f(x)在开区间(a,b)内有定义.,若 x0(a,b),f(x)在点 x0 处连续,则称 f(x)在开区间(a,b)内连续,记为,f(x)C(a,b).,定
4、义,若 f(x)C(a,b),且 f(x)在 x=a 处,右连续,在端点 x=b 处左连续,则称函数,f(x)在闭区间 a,b 上连续,记为,f(x)C(a,b).,对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性,定义,一般地,如果函数 f(x)在区间 I,上连续,则记为 f(x)C(I).,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,现在有了连续性的概念,可把此结论表述为:,基本初等函数在其定义域内每点处均连续.即,基本初等函数在其定义域内是连续的.,二、函数的间断点,函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：,若函数 在 点满足下述三个条件中的任何一个,则称函数 在点 处间断,点 称为函数
5、,f(x)的一个间断点：,定义,求函数间断点的途径:,2.函数间断点的分类,函数的间断点,(1)第一类间断点,若 x0 为函数 f(x)的一个间断点,且,f(x)的第一类间断点.,则称 x0 为函数,定义,在 x=0 处的连续性.,y,x,O,1,y=sinx,yx+1,由图可知,函数在 点 x0 处间断.,故 x=0 是 f(x)的第一类间断点.,将左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃型间断点.,解,讨论,函数在 x=1 无定义,故 x=1 为函数的第一类间断点.,x=1 为函数的间断点.,y,x,O,1,1,P(1,2),y x+1,进一步分析该间断点的特点.,解,补充定义,则函
6、数 f*(x)在 x=1 连续.,f*(x)=,2 x=1,即定义,这种间断点称为可去间断点.,处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将,在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点,这个间断点的特点是该处的左、右极限存,第一类间断点,左右极限存在,极限不相等,极限相等、补充定义,(2)第二类间断点,凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.,这算定义吗？,定义,即左右极限至少有一个不存在的点.,讨论函数,x,y,O,在 x=0 无定义,x=0为函数的间断点,故 x=0为函数,的第二类间断点.,解,在 x=0 处无定义,又,不存在,故 x=0 为函数的第二类间断点.,看看该函数的图形.,解,
7、O,1,1,x,y,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,左右极限至少有一个为无穷,左右极限至少有一个振荡,回忆函数极限的四则运算,则,三、初等函数的连续性,1、连续函数的四则运算,设函数 f(x)、g(x),fi(x)在点 x0 处连续,则,即,有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数.即,(2)有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数.即,(3)两个在点 x0 处连续函数的商,当分母不为 零时,仍是一个在点 x0 处连续函数.即,2、反函数的连续性,y=f 1(x)的图形只是 y=f(x)的图形绕直线 y=x 翻转 180 而成,故单调
8、性、连续性仍保持.,设函数 y=f(x)在区间 I 上严格单调增加,区间 I*=y|y=f(x),xI 上严格单调增加,(减少)且连续.,定理 3,(反函数连续性定理),设函数 u=(x)在点 x0 处连续,且,这个条件有必要吗？,定理,(复合函数连续性定理),3、复合函数的连续性,如果 y=f(u)在 u0 处连续,则,当|u u0|时,有|f(u)f(u0)|,再假设 u=(x),且在 x0 处连续,即,亦即,证明:,|u u0|=|(x)(x0)|,故 对上面的,当|x x0|时,有,则,当|x x0|时,|u u0|=|(x)(x0)|,且有（假设可以构成复合函数）,|f(u)f(u0
9、)|f(x)f(x0)|,u=cos x 1 是在定义域内,的定义域是一个孤立点集,D=x|x=2k,kZ,每一点均不连续.,在上述定理 的条件下,在上述定理 的条件下,极限符号可与连续函数 符号交换顺序.,推论1,设函数 u=(x)的极限存在：,函数 y=f(u)在点 u=a 处连续.,复合函数 f(x)当 x x0 时的极限存在,且,若复合函数 f(x)在,内有定义,则,推论 2,求,解,利用复合函数的连续性推论求极限,求,y=ln u 在其定义域内连续,故,（y=ln u 在 u=1 处连续）,解,4.初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内是连续的.,初等函数在其有定义的区间内连续.,注意两者的区别！,利用初等函数和反函数连续性求极限,求,连续性给极限运算带来很大方便.,解,故f(x)在 内连续.,例15 讨论函数,的连续性.,解 f(x)在(,2)内f(x)=1e1/(x 2)为初等函数,在2,+)内f(x)=sin(/x)也为初等函数,在分段点x=2处,有,因此,f(x)在x=2处既左连续又右连续,从而f(x)在x=2处连续.,综上所述,f(x)在其定义域(,+)内连续.,
