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1、,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,一、函数的连续性二、函数的间断点三、连续函数的性质与四则运算,一、函数的连续性,函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有两种描述：,(1)当自变量有微小变化时，对应的函数值的变化也很微小；,(2)连续函数的图形是一条不间断的曲线.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,1.函数的增量,设函数 在点 的某邻域内有定义，当,自变量x在该邻域内从 变化到x时，对应的函,数值从 变到 称 为自变量的增量，,记作 称 为函数的增量，记作,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,2.连续的定义,设函数 在点 的某邻域内有定义，,定义1,若,定义2,
2、设函数 在点 的某邻域内有定义，,若,则称函数 在 点连续.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,1.函数在一点连续必须满足三个条件：,(3),2.函数在一点连续提供了求极限的简便方法,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,小结,只需求出该点函数值即可,3.左、右连续,设函数 在点 的左邻域内有定义，,若,则称函数 在 点左连续.,设函数 在点 的右邻域内有定义，,若,则称函数 在 点右连续.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,右连续,左连续,定理1,此定理常用于判定分段函数在分段点,处的连续性.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,例1,解,右不连续.,所以,左连续,1.6 函数的连
3、续性与连续函数的运算,4.连续函数与连续区间,如果函数 在开区间 内任一点连续，,则称函数 在开区间 内连续，并称,是函数 的连续区间.,如果函数 在开区间 内连续，且在,点处右连续，在 点处左连续，则,称函数 在闭区间 上连续.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,例如,有理整式函数(多项式),内是连续的.,因此有理分式函数在其定义域内的每一点,有理分式函数,只要,都有,因此有理整式函数在,都是连续的.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,例2,证,都是连续的.,类似可证,连续.,由夹逼准则,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,二、函数的间断点,定义3,出现如下三种情形之一:,无定义;
4、,不存在;,间断点.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,间断点的类型:,第二类间断点:,第一类间断点:,左极限及右极限,均存在,左极限及右极限中至少一个不存在.,称 为可去间断点.,若,称 为跳跃间断点.,若其中有一个为振荡,若其中有一个为,称 为无穷间断点.,称 为振荡间断点.,若左、右极限相等，,左、右极限不相等，,间断点,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,例如,由于函数,无定义,故,为f(x)的 间断点,且,第二类,且是无穷间断点.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,例3,讨论函数,解,但,所以 为函数的间断点，,且为第一类可去间断点.,此时改变函数在 点处的定义，令,则函数
5、在 点连续.,在 点处的连续性.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,例4,解,所以 为函数的间断点，,且为第一类跳跃间断点.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,例5,解,函数值在-1、1之间振荡，为振荡间断点.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,三、连续函数的性质与四则运算,定理2,1.四则运算的连续性,例如,有限个连续函数经过有限次四则运算所得的函数在其定义域内都是连续的,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,2.反函数的连续性,单调的连续函数必有单调的连续反函数.,定理3,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,定理4,3.复合函数的连续性,
6、若函数 在,连续,，且函数 在 连续，,则复合函数 在 处连续.,求复合函数极限时极限运算可以与函数运算交换次序！,由此可见,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,当,时,有,对上述,由此当,时,从而,证,当,时,有,又,即,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,例6,解,例7,解,注意求极限过程中变量替换的技巧！,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,内容小结,1.函数的连续性,2.函数的间断点,在一点连续的定义，必须满足的三个条件.,无穷型,振荡型,间断点分类,第一类间断点:,跳跃型,可去型，,第二类间断点:,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,内容小结,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,内容小结,3.函数的连续性与连续函数的运算,连续函数的和差积商的连续性；,复合函数的连续性.,反函数的连续性；,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,思考练习,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,解答提示,第一类可去间断点,第一类跳跃间断点,思考练习,1.6 函数的连续性与连续函数的运算,
