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1、第五节 连续函数,一、连续函数的定义,二、函数的间断点,三、连续函数的运算法则,四、初等函数的连续性,可见,函数,在点,一、连续函数的定义,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的连续函数.,例如,在,上连续.,(有理整函数),又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列等价命题:,例 1.证明函数,在,内连
2、续.,证:,即,这说明,在,内连续.,同样可证:函数,在,内连续.,例2.确定常数A,B,使得函数,在x=0处连续.,练习.证明函数,在 连续.,在,在,二、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,为其无穷间断点.,为其振
3、荡间断点.,为可去间断点.,例如:,显然,为其可去间断点.,(4),(5),定理2.连续、严格单调增加 函数的反函数,在其定义域内连续,三、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续严格单调递增，,其反函数,(减少).,在 1,1 上也连续严格单增.,(减少),也连续、严格单调增加,定理3.连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续 严格单增,其反函数,在,上也连续严格单增.,如果函数,则复合函数,又如,且,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,
4、例1.,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,四、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例2.利用初等函数的连续性求下列极限,例3.设函数,例4.设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x=1为第一类间断点.,在点 x=1 不连续,备用题 确定函数,间断点的类型.,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,作业：p-81 习题1.5 1(1),(3);2(1),(3),(5),(7)3(3),(8),(10),
