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1、1.10 闭区间上连续函数的性质 1,Continuous Functions on a Closed Interval,1.10 闭区间上连续函数的性质,1.10 闭区间上连续函数的性质 2,函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续是指 f(x)在该区间内的每一个点都连续，并且在两个端点单侧连续。,闭区间a,b 上的连续函数 y=f(x)的图形是一条从点 A(a,f(a)到点 B(b,f(b)的连续不间断的曲线。,1.10 闭区间上连续函数的性质 3,f(x)在开区间(a,b)上连续但在闭区间 a,b 上不连续,1.10 闭区间上连续函数的性质 4,一、有界性和最值性,1.10 闭区间上连续函
2、数的性质 5,定理 1（有界性定理）在闭区间 a,b 上的连续函数 f(x)在该区间上是有界的。,存在实数 A 和 B，使得：,1.10 闭区间上连续函数的性质 6,证明?这个看似简单的定理的证明，其证明较难，涉及较多的实数和分析理论。证明从略有兴趣的同学可以参考数学分析中的证明。,例如，江泽坚：数学分析（上册）66页,证明,1.10 闭区间上连续函数的性质 7,定理 1（最值定理）在闭区间 a,b 上的连续函数 f(x)一定能在该区间上取得最大的函数值和最小的函数值。,1.10 闭区间上连续函数的性质 8,证明？最值性可以用有界性加以证明。仍然有一定难度。有兴趣的同学可以参考数学分析中的证明
3、。,例如，江泽坚：数学分析（上册）67页,证明,1.10 闭区间上连续函数的性质 9,仅在开区间上连续的函数不一定能够取到最大（最小）的函数值，也不一定有界。,注意：,例如 函数 y=x 在(0,1)内连续，但它不能取到最大和最小的函数值。,1.10 闭区间上连续函数的性质 10,又如函数 y=1/x 在开区间（0,1）上连续，但无界:,1.10 闭区间上连续函数的性质 11,二、零点定理与介值定理,1.10 闭区间上连续函数的性质 12,定理 2（零点定理）设函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，且 f(a)与 f(b)异号，则在区间(a,b)内至少存在一点，使得 f()=0。这个点称为函
4、数 f(x)的零点，或方程 f(x)=0 的根。,1.10 闭区间上连续函数的性质 13,零点定理的几何解释,1.10 闭区间上连续函数的性质 14,零点定理的几何解释,It has three roots.,1.10 闭区间上连续函数的性质 15,证明?同样，这个看上去很显然的结论，其证明不简单，涉及较多的实数和分析理论。证明利用了所谓的闭区间套技术。证明从略有兴趣的同学可以参考数学分析中的证明。,例如，江泽坚：数学分析（上册）68页,证明,1.10 闭区间上连续函数的性质 16,在闭区间上不连续的函数不一定有零点。,注意：,瞧！这个函数就没有零点。,1.10 闭区间上连续函数的性质 17,
5、定理 3（介值定理）设函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，且 M 和 m 分别是函数在a,b 上的最大值和最小值，则对任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间(a,b)内至少存在一点，使得 f()=C。,将零点定理加以推广，得到介值定理。,1.10 闭区间上连续函数的性质 18,介值定理的几何解释,1.10 闭区间上连续函数的性质 19,介值定理的几何解释,即函数 f(x)的值域为 m,M。,介值定理实质是说明值域 f(a,b)是一个没有缝隙的连通区间,1.10 闭区间上连续函数的性质 20,定理 3（介值定理）设函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，且 M 和 m 分别是函数在a,b
6、上的最大值和最小值，则对任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间(a,b)内至少存在一点，使得 f()=C。,证明思路,有零点？,作辅助函数,再用零点定理即可,自学！,1.10 闭区间上连续函数的性质 21,证明：方程,在开区间(0,1)内至少有一个根。,例 1,解,令,则函数在闭区间 0,1上连续。又,由零点定理，该方程在(0,1)内至少有一个根。,1.10 闭区间上连续函数的性质 22,方程,在开区间(0,1)内至少有一个根。,讨论：,能不能判断方程还在哪些区间上有根？,1.10 闭区间上连续函数的性质 23,with(plots):A:=plot(x3-4*x2+1,x=-3.5,y=-
7、10.3,color=red,thickness=3):B:=plot(exp(x),x=-2.3,y=0.01.3,color=blue,thickness=3):C:=plot(x,x=-1.2.5,y=-1.2.5,color=black,thickness=2,linestyle=2):display(A,scaling=unconstrained,tickmarks=5,5);,有三个根,1.10 闭区间上连续函数的性质 24,我还想知道根的近似值！怎么办？见教材第三章第八节(p.176),1.10 闭区间上连续函数的性质 25,二分法 Bisection Method,教材178页
8、,1.10 闭区间上连续函数的性质 26,选学内容,1.10 闭区间上连续函数的性质 27,有界性定理的证明（江泽坚数学分析（上册）67页）,Back,1.10 闭区间上连续函数的性质 28,最值定理的证明,Back,1.10 闭区间上连续函数的性质 29,零点定理的证明（二分法）(江泽坚数学分析(上册)68页）,1.10 闭区间上连续函数的性质 30,1.10 闭区间上连续函数的性质 31,Back,1.10 闭区间上连续函数的性质 32,另一证明(菲赫金哥尔茨微积分学教程(第一卷第一分册)162页）,Back,1.10 闭区间上连续函数的性质 33,二分法的思路,1.10 闭区间上连续函数的性质 34,用二分法求方程,在区间(1.5,2)上的根。,解（1）首先用Maple作图，观察该方程在 区间(1.5,2)上有且仅有一个根（如图）,（2）用Excel编写二分法程序（程序）,1.10 闭区间上连续函数的性质 35,Back,
