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1、1 连续函数的概念,一、函数在一点的连续性,三、区间上的连续函数,二、间断点的分类,返回,定义1,由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续,一、函数在一点的连续性,性的，换句话说连续就是指,例如：,这是因为,又如：函数,极限,由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e,这是因为,存在d 0,连续性的另外一种表达形式.,对任意的存在 当时,应的函数(在 y0 处)的增量,为狄利克雷函数.,证,注意:上述极限式绝不能写成,例1,由上面的定义和例题应该可以看出:函数在点 x0,类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.,要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.,极限存在是函数连续的一个必要条
2、件)，而且还,x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说,有极限与在点 x0 连续是有区别的.首先 f(x)在点,定义3,很明显,由左、右极限与极限的关系以及连续函数,有定义，若,的定义可得：,例2 讨论函数,解 因为,点击上图动画演示,综上所述,所以,二、间断点的分类,定义4,定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却,由此,根据函数极限与连续之间的联系,如果 f 在,点 x0 不连续,则必出现下面两种情况之一:,或不连续点.,在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点,等于f(x0).,根据上面的分析,我们对间断点进行如下分类：,1.可去间断点:若,一个可去间
3、断点.,注 x0 是 f 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是否有定,点.,可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.,义无关.,有一个不存在,例3,所以,并且 是 的一个可去间断点.,例4 讨论函数,在 x=0 处是否连续？若不连续，则是什么类型的,2.若点x0是 的可去间断点,那么只要重新定,x0 连续.,间断点？,所以 f(x)在 x=0 处右连续而不左连续,从而不,断点是跳跃间断点.,连续.既然它的左、右极限都存在，那么这个间,例5,解 因为由归结原理可知，,均不存在，,点？,三、区间上的连续函数,若函数 f 在区间I上的每一点都连续,则称 f 为 I,别指右连续和左连续.,数在该点
4、连续是指相应的左连续或右连续.,上的连续函数.对于闭区间或半闭区间的端点,函,如果函数 f 在a,b上的不连续点都是第一类的,复习思考题,能要添加或改变某些分段点处的值).,是由若干个小区间上的连续曲线合并而成(当然可,一个按段连续函数.从几何上看,按段连续曲线就,并且不连续点只有有限个,那么称 f 是a,b上的,2 连续函数的性质,在本节中,我们将介绍连续函数的局,一、连续函数的局部性质,四、一致连续性,三、反函数的连续性,二、闭区间上连续函数的性质,这些性质是具有分析修养的重要标志.,部性质与整体性质.熟练地掌握和运用,返回,一、连续函数的局部性质,所谓连续函数局部性质就是指:,连续(左连
5、续或右连续),则可推知 f 在点 x0 的某,号性、四则运算的保连续性等性质.,个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保,故,|f(x)|的一个明确的上界.,证,注意:我们在证明有界性时,而不是用术语,定理4.3（局部保号性）,则对任意一个满足,证,注 在具体应用保号性时,我们经常取,于是证得,定理4.4（连续函数的四则运算）,此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得,也是连续函数.,我们知道,常函数 与线性函数 都是 R 上,到,具体过程请读者自行给出.,的连续函数,故由四则运算性质,易知多项式函数,同理,有理函数,(分母不为零)同样是连续函数.,下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运
6、算下,定理4.5,是不变的.,证,于是,对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定,请大家仔细观察定理4.5 的证明,看看此时究竟哪,理的认识.,里通不过.,应用定理4.5,就得到所,(*)式相应的结论仍旧是成立的.,则有,事实上,只要补充定义（或者重新定义）,上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢?请读者作,例1,解,合，所以,出进一步的讨论.,例2,解,例3,在本节中将研究 f 在,二、闭区间上连续函数的性质,点,的最大值不存在,最小值为零.注意:,既无最大值,又无最小值.,定理4.6（最大、最小值定理）,的最大值为1,最小值为-1;函数,(其上确界为1,下确界为-1),这个定理刻画了
7、闭区间上连续函数的一个深刻的,推论,这是因为由定理4.6 可知,值,从而有上界与下界,于是 f(x)在a,b 上是有,虽然也是连续函数,但是,内涵,在今后的学习中有很广泛的应用.,界的.,这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性,定理4.7（介值性定理）,上连续,则(至少)存在一点,质有着根本的区别.,从几何上看,当连续曲线 从水平直线,的一侧穿到另一侧时,两者至少有一个交点.,推论（根的存在性定理）,应当注意,此推论与定理4.7是等价的.于是,只要,下面用确界定理来证明上述推论,大家要注意学习,证明了推论,也就完成了定理4.7 证明.,确界定理的使用方法.,(E为图中x 轴上的红,零点.证
8、明如下：,的最大值就是函数的,线部分)从几何上看,E,我们来否定下面两种情形:,连续的,根据保号性,存在,同时由 x0=sup E,对上述d,存在,排除了上面两种情形后,就推得,由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下,下面再举一些应用介值性定理的例题.,设 在 上连续,那么它的最大值 M 与最,结论:,小值 m 存在,并且,证 先证存在性：,由极限的保号,使,使得,(读作 r 的 n 次算术根).,连续，,即可.事实上，,即,再证唯一性:,证,即,任意的实数 r,f(x)=r 至多有有限个解.证明：,证,与,的解至多为有限个.,在 内连续.,1.,由介值性条件不难证明：,即,2.如果解为空
9、集,任意取,上连续,且与 f(x)有相同的单调性.,则反函数,三、反函数的连续性,函数的定义域.,理1.2).,2.,(如图所示),取,请读者类似地证明该函数在端点的连续性.,对于任意的正数,且严格增.关于其它的反三角函数,均可得到在定义域内连续的结论.,例6,严格增.,在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要,四、一致连续性,定义2.设 为定义在区间I上的函数,如果对于,则称 在区间I上一致连续.,的概念.,首先来看两个例题.,例8,证,证 首先我们根据一致连续的定义来叙述 f(x)在区,例9,但仍有,确实不是一致,连续的.,总有,间I上不一致连续的定义：,试问,函数 在区间I上一致连续与
10、 在区,间I上连续的区别究竟在哪里？,对于任意正数,所得,那么,不仅与 有关,而且还与所讨论的点,过程中有一个正下界(当然,(2)函数 f(x)在每一点 连续,下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质.,区间I上就一致连续了.,这个下界只与 有关,而与x0无关),则此时 f(x)在,这个定理告诉我们:定义在闭区间上的函数,连,定理4.9（一致连续性定理）若函数 f 在闭区间,续和一致连续是等价的.,连续，所以分别存在 使得,当,当,则对于任意的,此时自然有,有以下两种情形：,注意到,可得,区间 1,3 上不连续,当然也不一致连续.,存在,上一致连续.因此对上述，存在正数,使对任意,于是,3
11、初等函数的连续性,在学习了连续函数的定义及其一系,一、指数函数的连续性,二、初等函数的连续性,上总是连续的.,要结论：初等函数在其有定义的区间,列基本性质后，现在可以证明一个重,返回,一、指数函数的连续性,在第一章中,我们已经定义了指数函数,并指出它在 R 内是严格单调的.所以,若能证明指,首先证明指数函数的一个重要性质.,定义域内也是连续函数.,数函数是连续函数,那么它的反函数对数函数在其,使,反之,存在有理数,再取有理数,于是有,仍因 是任意的,又得,这就证明了,只要令,就有,证 我们仍旧先假设 首先证明指数函数在,处连续,即,续的.,就可得到相应的结论.,注,也是连续的.,上是连续的.,
12、注 例1的结论可改写为,例2 求,由此求得,二、初等函数的连续性,我们已经知道以下函数在定义域内是连续的,(i)常值函数;,(vi)对数函数.,(v)指数函数;,(iv)幂函数;,(iii)反三角函数;,(ii)三角函数;,以上六种函数称为基本初等函数.因为连续函数,由上面的分析,我们得到如下结论：,定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算与复,上是连续的.,合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）,的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复,的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面,合运算所产生的函数称为初等函数.,例3 求极限,定理4.12 初等函数在其有定义的区间上是连续的.,注 上述结论中所指的“定义区间”,今后(第十六,从而,章)在一般意义下可以改为“定义域”.,例4 据理说明,不是初等函数.,所以 在 处不连续.因此函数 不是初,等函数.,
