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1、,二、三角函数有理式的积分,三、简单无理函数的积分,一、有理函数的积分,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有理函数的积分,第五章,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称为有理函数。,一、有理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,假设分子与分母之间没有公因式,称有理函数是真分式；,称有理函数是假分式；,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）分母中若有因式，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊地：
2、,分解后为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,真分式化为部分分式之和的待定系数法:,例1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,整理得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 求积分,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 求积分,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 求积分,解,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,记,机动 目
3、录 上页 下页 返回 结束,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（万能置换公式）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7 求积分,解,由万能置换公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8 求积分,解（一）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解（二）,修改万能置换公式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9 求积分,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例10 求积分,解 令,三、简单无理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
