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1、,第七节（2）,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,四、对坐标的曲面积分的计算法,三、两类曲面积分的联系,对坐标的曲面积分,第六章,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦,0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面,0 为右侧 0 为左侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧,设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:,其面元,在 xOy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.引例 设
2、稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量.,分析:若 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”,对流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2.定义：,其中,分,记作,或第二类曲面积分.,如果记,称为曲面面积微元向量,它可看做是曲面在M点处指向曲面给定侧的一个法向量，其长度在数量上等于面积微元dS的值.于是,其中dS=|,而,记,于是，第二类曲面积分也可写作以下坐标形式，,上式右端是三个积分的
3、组合，也可以单独出现。,引例中,流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面 上对 z,x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面 上对 x,y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面 上对 y,z 的曲面积分;,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,(2)用 表示 的反向曲面,则,(3)若有向闭曲面 所围成的空间区域V被另一位于V内部的曲面分成了V1，V2，其边界曲面记作 1，2，则,三、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,四、对坐标的曲面积分的计算法,定理:设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数,则,证:,注意到,直角坐标网划分有,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),
4、说明:,如果积分曲面 取下侧,则,例1.计算,其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,解:把 分为上下两部分,思考:下述解法是否正确:,例2.计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,例3.设S 是球面,的外侧,计算,解:利用轮换对称性,有,例4.设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角,计算,解:,例5.计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面 z=0,及 z=2 之间部分的下侧.,原式=,原式=,课本例7.7.计算曲面积分,其中S为球面 在第一卦限的部分
5、与各坐标面所围成立体表面的外侧.,答案：,内容小结,定义:,1.两类曲面积分及其联系,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾?,两类曲面积分的定义一个与 的方向无关,一个与,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量,代入曲面方程(方程不同时分片积分),(2)积分元素投影,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(4)确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式.,备用题 求,取外侧.,解:,注意号,其中,利用轮换对称性,
