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一阶线性微分方程,一、一阶齐次线性方程,二、一阶非齐次线性方程,以上方程称为齐次的.,以上方程称为非齐次的.,例如，,线性的;,非线性的.,一、一阶齐次线性方程,对应的齐次线性方程的通解为,齐次线性方程,可分离变量的方程,非齐次线性方程,两边积分，得,非齐次方程通解形式,二、一阶非齐次线性微分方程,常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,与齐次方程通解相比:,积分得,一阶非齐次线性微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,这是一个非齐次线性方程.,例2,解,(1),先求对应的齐次方程的通解.,再把上式代入(1)式,即得所求方程的通解为,例3,解,由回路电压定律得出,(2),(3),方程(2)是一个非齐次线性方程.,应用分部积分法,得,可以先求出对应的齐次方程的通解,然后用常数变易法求非齐次方程的通解.,也可以直接应用通解公式来求解.,将上式代入前式并化简,得方程(2)的通解,于是上式可以写成,例4,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,例5,解,故得初值问题,
