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1、第七章 数字信号处理中的有限字长效应,7.1 数的表示7.2 A/D变换的字长效应7.3 乘积的舍入误差7.4 系数量化的影响7.5 极限环振荡,7.1 数的表示,1.二进制表示数字处理器的硬件实现，建立在用二进制数表示的基础上。一般的说，任何一个数x可以表示为x=bii其中0bi-1,一个十进制数通过如下步骤可以转换为二进制数：(1)用2反复去除整数部分，并将所得余数以逆序排列；(2)用2去乘小数部分，并舍去所得的整数部分，这样重复若干次，然后将所得的整数(0或1)用正序排列。,2.定点表示(1)定义在整个运算中，小数点在数码中的位置是固定不变的，称为定点制。通常定点值把数限制在1之间，把小
2、数点规定在符号位与数据位之间，而把整数位作为“符号位”，分别用0、1代表数的正负，数的本身只有小数部分，它称为“尾数”。,(2)定点值的原码、补码和反码表示定点值有3种表示方法，即原码表示法(符号加绝对值)、反码表示法(符号加反码)和补码表示法(符号加补码)。下面分别加以讨论。原码表示法原码也称“符号幅度码”，它的尾数部分代表数的绝对值(即幅度大小)，符号位代表数的正负号，用0代表正数，用1代表负数。,反码和补码表示法给定一个十进制的小数(x)10，若是正数，反码和补码的表示和原码一样；若是负数，原码、反码和补码表示都不同。,补码：实现定点表示有两步。1取负数的绝对值 x10，按原码表示为。2
3、从 的最右位(最低位)，向左找出“1”的第1位，从第1位(不含)向左将余下的位数取其补可得补码。,反码：负数的反码表示就是将该数绝对值的原码表示形式中的所有0改为1，所有1改为0，即得反码表示。负数的反码和补码表示之间有一个简单关系，即补码等于反码在最低位上加1。,3.浮点表示定点运算有两个缺点：(1)可处理的数动态范围小，例如在补码表示中，最小的数是-1，最大的数是1-2-L；(2)由截尾舍入产生的百分比误差随着数的绝对值的减小而增加。,浮点制的尾数字长决定它的运算精度，而指数的字长决定了它的动态范围。因而，浮点制运算可以增加动态范围和提高处理精度。但在运算时它的尾数和指数都要使用，结果硬件
4、实现时成本增加，处理速度减小，因而它常用在数字计算机上软件的非实时实现。,4.定点制数的量化显然，如果数x被量化，则将引入误差e，它由下式给出e=Qx x其中Qx代表x的量化值，它代表x经截尾或舍入后的值。e的范围取决于数的表示形式以及量化方法。对定点数x作舍入处理时数据位为L位，是通过数据的第L+1位加1，然后截断数据到L位实现。,7.2 A/D变换的字长效应,一个A/D变换器从功能上讲，一般可分为两部分，即取样与量化，如图7-5(a)所示。xa(t)表示一个限带模拟信号，它经取样器后，变换为在时间上离散的信号x(n)xa(nT)，它仍然是一种模拟信号，因为表示每一个取样值需要的位数，从理论
5、上说是无限的。,图7-5 A/D变换器的模型,1.量化效应的统计分析量化效应可等效为输入信号样值为有限字长的数字信号所代替，图7-5(b)画出了量化过程的等价表示，即可把量化的取样值表示为,(1)e(n)是一个平稳的随机取样序列；(2)e(n)与信号x(n)是不相关的；(3)e(n)序列本身样值间不相关，即它是白噪声过程；(4)e(n)具有等概率分布。,由上述e(n)的第4条假定，舍入时误差的概率分布如图7-6(a)所示。补码截尾时误差的概率分布如图7-6(b)所示。用这些概率密度函数易于计算误差信号的均值和方差。舍入时,图7-6 误差的概率分布图,2.量化噪声通过线性系统当一个量化的信号通过
6、一个线性系统时，输入的误差(或噪声)也会在最后的输出中以误差(或噪声)的形式表现出来。,7.3 乘积的舍入误差,在实现数字滤波时，将遇到相乘与求和运算。对于典型的相乘可表示为y(n)=ax(n)式中y(n)是乘积，a是滤波器系数，x(n)是数据值。,图7-7(c)乘积的等效统计模型基于以下的假设：(1)误差序列是白色噪声序列；(2)误差序列在一个量化间隔上呈均匀分布；(3)误差序列e(n)与输入序列x(n)不相关。这些假设与把模拟信号取样量化时所作的假设相同，它们成立的条件也大致相同。,图7-7 定点制相乘运算的流图,1.IIR滤波器的有限字长效应现在分析一阶IIR滤波器y(n)=ay(n-1
7、)+x(n)n0式中a1。它含有乘积项ay(n-1)，其等效统计模型如图7-8所示。,图7-8 一阶冲击响应系统流图,(1)直接型B(z)表示分母多项式。直接型的流图如图7-13所示，图中e0(n)、e1(n)、e2(n)分别是系数0.04、1.7、-0.72相乘后的舍入噪声。,图7-13 直接型的舍入噪声,(2)级联型将H(z)分解为,图7-14 级联型的舍入噪声,(3)并联型将H(z)分解为部分分式，即其信号流图如图7-15所示。,图7-15并联型舍入噪声的统计模型,2.FIR滤波器的有限字长效应由于FIR滤波器中舍入噪声没有反馈环节的积累，其舍入噪声的影响也将比同阶的IIR滤波器来的小。
8、一个N阶FIR滤波器的传递函数可表示为,7.4 系数量化的影响,1.系数量化对极点位置的影响为了对系数量化对零、极点位置的影响有一个感性认识，先以一个2阶IIR滤波器为例，研究系数量化对不同网络结构极点位置的影响。设滤波器传输函数为其极点位于z=0.5，z=0.4。,图7-17 H(z)两种不同网络结构实现,2.极点位置灵敏度极点位置灵敏度是指每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。这个概念和全部分析方法同样可适用于零点，只是因为极点位置的变化会影响到系统的稳定性，因此一般更为人们所注意。现在分析一个N阶直接型结构的IIR滤波器的传输函数为,图7-18式(7-36)中的因式表示成z平面上的矢量,另
9、一方面，级联型和并联型不同于直接型，它们分别实现每一对复共轭极点。因此，一个已知极点的位置误差与它到系统其它极点的距离是无关的。,7.5 极限环振荡,1.零输入极限环振荡这种振荡发生在IIR数字滤波器系统中。现设有一个稳定的IIR数字滤波器，其算术运算精度无限，若当nn0时输入停止，则滤波器的输出当nn0时，将逐渐衰减趋向于零。,进一步分析极限环的振荡幅度与字长的关系，根据舍入的定义,2.溢出振荡另一种极限环振荡是由于滤波器中加法器的溢出引起的，当采用定点制补码形式时，加法器的传输特性可如图7-21所示，其中x表示加法器的输入，f(x)表示输出。若x1和x2作补码加法，它的输出将是fx1x2，这一结论留给读者自己证明。,
