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1、1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,8.6内容回顾,（点向式，标准式）,两点式,过两点,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,平面:,L,L/,夹角公式：,3.线与面间的关系,直线 L:,4、有轴平面束,5、点到直线的距离(知道怎么求),四、二次曲面,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,8.3 曲面及其方程,第八章,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,(已知轨迹
2、求方程),定义1.,如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:,(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.,两个基本问题:,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,(主要研究旋转面),(主要研究柱面和二次曲面),故所求方程为,例1.求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示 球面.,(已知轨迹
3、求方程),上下,例2.研究方程,解:配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A 0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,(已知方程求轨迹),定义2.一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴.,(已知轨迹求方程),可推广到空间曲线绕某直线旋转,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何
4、？,总之,绕谁谁不变,另外一个正负根号换.,(根号下为另两个的平方和),例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例4.求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,单叶,双叶,三、柱面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线形成圆柱面.,故在空间上,过此点作,对任意 z,平行 z
5、 轴的直线 l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,(已知方程求轨迹),定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线,l 叫做母线.,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,缺谁母线谁,四、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系
6、可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:放缩法和截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),1.椭球面,(1)范围：,(2)图形:,对球面,令,代入得,则椭球面的草图为:,(3)围成图形的体积为:,(4)当 ab 时或为旋转椭球面;,当abc 时为球面.,2.椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到）,曲面沿y轴方向伸缩,倍,得椭圆锥面,3.单叶双曲面,x
7、oz面上双曲线,绕z轴旋转一周得旋转单叶双曲面,曲面沿y轴方向伸缩,倍,得单叶双曲面,其草图可用旋转单叶双曲面代替,4.双叶双曲面,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,单叶双曲面,双叶双曲面,考查yoz面上双曲线,绕z轴旋转得旋转双叶双曲面,曲面沿y轴方向伸缩,倍,得双 叶双曲面,5.椭圆抛物面,特别,当 a=b 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,考查xoz面上抛物线,绕z轴旋转得旋转抛物面,曲面沿y轴方向伸缩,倍,得椭圆抛物面,6.双曲抛物面,（鞍形曲面）,7.椭圆柱面,8.双曲柱面,9.抛物柱面,用截痕法讨论(略),得其图形(草图),作业,P31 2;4;7;8(1),(5);11,内容小结,
8、1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面(马鞍面),双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,椭圆、双曲、抛物柱面,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1.指出下列方程的图形:,2.P31 题10,绕y轴旋转一周得轨迹且方程为,3.空间一动点到两定点,为定值2a(ac0)的轨迹的标准方程为().,解:,距离之和,在zoy面上动点的轨迹为,为旋转椭球面,若任取轨迹上一点,再化简整理则复杂的多.,由,
