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1、计算固体力学第1章 绪论,全面介绍非线性有限元的前沿性内容，使学习者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限元方法求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这些非线性力学的主要问题，增强工程结构中非线性计算和虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学和科研水平。,计算固体力学课程体系,非线性有限元的内容：三场变分原理（弱形式）：速度，变形率，应力一种格式：Lagrangian格式（TL，UL，ALE）TL完全的L格式UL更新的L格式两种解法：隐式和显式求解器隐式Newton-Raphson迭代显式中心差分三种非线性：材料，几何，接触材料：弹塑性，超弹性，粘弹性几何：Jaumann率，弧长法，接触：Lagra
2、nge乘子，罚函数,计算固体力学课程体系,绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用，标记方法，网格表述和偏微分方程的分类。（2）一维L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式的控制方程，弱形式与强形式。（4）连续介质力学：变形和运动，应力应变的度量，守恒方程，框架不变性。（4）L网格：UL有限元离散，编制程序，旋转公式。（4）材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超弹性。一维塑性，多轴塑性，超弹塑性（橡胶和泡沫模型），粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如J-C方程等。应变硬化和软化。（4）求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分（N-R求解等），显示时间积分
3、（中心差分等），波的传播问题。（4）,教学内容：,计算固体力学课程体系,7.稳定性：稳定性和连续化，平滑性，数值稳定性，材料稳定性。屈曲和后屈曲，弧长法，模态分析。（4）8.ALE有限元：ALE连续介质力学，公式推导，率形式，弱形式，路径相关材料，网格更新方法，Petrov-Galerkin公式的动量方程，离散方程的线性化，整体ALE公式。（4）有限元单元性能：分片试验，完备性和再造条件，Hu-Washizu多场变分原理，多场弱形式。（4）单元稳定性：体积自锁，剪切自锁，减积分，不完全积分，沙漏模式。（4）梁、壳和连续体单元：理论分析，基于连续体（CB）的梁。（4）基于连续体（CB）的壳，连续
4、体单元，膜单元的性能，假设应变单元，一点积分单元。（4）接触和冲击：接触界面方程（主从接触，从从接触，多点约束，约束方程），摩擦模型（罚函数，库仑等），接触弱形式，有限元离散。（4）,计算固体力学课程体系,14.断裂力学的有限元计算：K场计算，J积分，T积分，动态裂纹扩展计算（能量平衡、节点力释放和XFEM）。（4）15.流固弱耦合算法。（2）16.材料本构计算陈震。（4）,计算固体力学课程体系,程序训练：1.显式有限元程序DYFRAC：大变形板壳结构分析计算2.隐式有限元程序ABAQUS/Standard：开发UMAT或UEL接口程序，完成一个结构的完整计算分析过程,成绩：1.期末考试：60
5、2.程序实践：203.课堂作业：20,绪论,虚拟科学与工程有限元的发展和相关著作有限元软件的发展非线性有限元的分类非线性有限元的应用网格和标记偏微分方程分类,1 虚拟科学与工程(Simulation-based Engineering and Science，SBES),人类需要借助各种工具来增强、延伸和扩大自己认识世界的能力，虚拟科学与工程(Virtual Science and Engineering)正是用高科技手段构造出一种人工环境，帮助工程师和科学家创造一个时域和空域可变的虚拟世界，使人们能够在这个虚拟世界中纵观古今，瞬扶四海，实现从必然王国到自由王国的认识过程。,CAD/CAE/C
6、AM，伴随着计算机硬件和软件的发展而发展，适应工业与科技的需求。,在国家十一、五发展规划中，提出自主创新、集成创新、引进吸收再创新，发展CAE技术，是工业和科技提高创新能力的手段之一。,1 虚拟科学与工程,纵观古今，瞬扶四海：源于我国晋代的儒学家陆机（261303）在他的文赋中谈及文学创作的思维活动时说，应“观古今于须臾，扶四海于一瞬”。,1 虚拟科学与工程,实现从必然王国到自由王国的认识过程：源于毛泽东（18931976）的实践论。,虚拟科学与工程是指对科学现象、工程产品的功能、性能和运行行为实施计算机模拟的方法体系，尤其对：难以或耗资昂贵的科学现象的物理实验，如受控热核反应、核聚变、环境污
7、染等;,重大工程复杂产品的功能、性能和极端行为的模拟仿真、科学本质的显现，如溃坝，车辆、船舶或飞机的碰撞等。,1 虚拟科学与工程,虚拟科学与工程是迅速发展中的计算力学、计算数学、计算物理、计算材料科学以及相关的计算工程科学，与现代计算机科学和技术相结合，而形成的一种综合性、集成化、网络化与智能化的信息处理方法、技术和产品。,科学与工程计算科学与工程仿真虚拟科学与工程,1 虚拟科学与工程,力学的分支计算力学，发展了有限元、有限差分等理论和方法，为虚拟科学与工程仿真提供了工具。有限元分析是虚拟设计的基本组成部分。它提供了更快捷和低成本的方式评估设计的概念和细节，因此，人们越来越多地应用仿真的方法代
8、替样品原型的试验(Virtual Prototyping)。,1 虚拟科学与工程,1997年9月，钱学森院士已经预见到了虚拟工程与科学在未来世纪的重要性，他在为清华大学工程力学系建系40周年的贺信中写道：“随着力学计算能力的提高，用力学理论解决设计问题成为主要途径，而试验手段成为次要的了。由此展望21世纪，力学加电子计算机将成为工程设计的主要手段，就连工程型号研制也只用电子计算机加形象显示。都是虚的，不是实的，所以称为“虚拟型号研制”（Virtual Prototyping）。最后就是实物生产了。”,1 虚拟科学与工程,1 Simulation-based Engineering and Sc
9、ience-SBES,2005年6月，美国总统信息技术咨询委员会的报告中指出“计算科学已成为科学领导地位、经济竞争力和国家安全的关键”，并发出“美国政府还没有充分认识到计算科学的潜力”的警告。2006年2月，美国国家科学基金会（NSF）发表报告“基于仿真的工程与科学”(Simulation-based Engineering and Science，SBES)，指出“SBES采用模拟和计算机仿真的原理和方法以获取和应用知识并造福人类，应成为工程与科学领域国家优先发展项目”。,1 Simulation-based Engineering and Science-SBES,The promise:
10、Advances in mathematical modeling,in computational algorithms,in the speed of computers,and in the science and technology of data intensive computing have brought the field of computer simulation to the threshold of a new era,an era in which unprecedented improvements in the health,security,producti
11、vity,and competitiveness of our nation may be possible.A host of critical technologies are on the horizon that cannot be understood,developed,or utilized without simulation methods.-The NSF BR Panel Report on SBES-J.T.Oden,2007,1 Simulation-based Engineering and Science-SBES,Science-Cambridge Intern
12、ational Dictionary of English:Knowledge obtained from the systematic study of the structure and behavior of the physical universe,involving experimentation and measurement and the development of the theories to describe the results of these activities.,Knowledge obtained in two ways:Observation and
13、theory.,1 Simulation-based Engineering and Science-SBES,Engineering-is the application of science to the needs of humanity.This is accomplished through the application of scientific and mathematical principles,and practical experience to the design of useful objects or processes.,Engineering Science
14、-is the systematic acquisition of knowledge for the purpose of applying it to the solution of problems effecting the needs and well-being of human kind.,SBES-engineering science and science that employs the principles and methods of modeling and computer simulation to acquire and apply knowledge for
15、 the benefit of human kind.,2 有限元的发展和相关著作,2 有限元的发展和相关著作,涉及非线性有限元分析的著作包括:Zienkiewicz和Taylor(1967),(1991),(2000),庄茁、岑松译，有限元方法(第5版)第2卷，固体力学，清华大学出版社，2006 Oden(1972),是固体和结构非线性有限元分析的开拓,Kleiber(1989),Crisfield(1991),Zhong ZH(1993)。Belytschko和Hughes(1983)，Hughes（1987）Cook、Malkus和Plesha(1989)Bathe(1996),Bone
16、t和Wood(1997),Simo和Hughes(1998)。,2.1 著作,徐芝纶，弹性力学问题的有限单元法，水利电力出版社，1972 谢贻权，何福保编著，弹性和塑性力学中的有限单元法，机械工业出版社，1981徐次达，华伯浩，固体力学有限元理论、方法及程序，水利电力出版社，1983 王勖成，邵敏，有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出版社，1987，1995王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003郭乙木，陶伟明，庄茁，线性与非线性有限元及应用，机械工业出版社，2003,Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures,T.Bel
17、ytschko,W.K.Liu,B.Moran,John Wiley&Sons,Ltd,2000庄茁等译，连续体和结构的非线性有限元，清华大学出版社，2002,2 有限元的发展和相关著作,有限元的创立与科学的发展和工业界需求相关Ray W.Clough，毕业于MIT1949，Berkeley土木工程学院任教1952，Boeing 暑期研究，detal三角形机翼振动分析，应用传统梁理论和数学计算，基于一维梁模型的 机翼结构挠度计算结果与小比例机翼模型试验数 据相差甚远，工作失败。,1953，计算小三角形板的刚度性能，将一片片汇合成机翼，direct stiffness method直接刚度法，有
18、限元的雏形。机翼结构挠度计算结果与小比例模型试验数据吻合。,1955，John H.Argyris,矩形单元1956，第一篇有限元文章发表。,2 有限元的发展和相关著作,2.2 发展历史,通过波音研究组的工作和Turner、Clough、Martin和Topp（1956）的著名文章，使线性有限元分析得以闻名，不久后，在许多大学和研究所里，工程师们开始将方法扩展至非线性、小位移的静态问题。他们非常清楚有限元方法的前途，它提供了处理复杂形状真实问题的可能性。,2 有限元的发展和相关著作,我们不仅关注发表的文章，而是更关注软件的发展。在这个信息计算机时代，象许多其它方面的进步一样，在有限元分析中，软
19、件常常比文献更好地代表了最新的进展。,有限元程序两条脉络：隐式-ABAQUS/Standard，Nastran，ANSYS，MARC显式-ABAQUS/Explicit，Dytran，Dyna3D,2 有限元的发展和相关著作,3 有限元软件的发展,在20世纪60年代，由于Ed Wilson发布了他的第一个程序，这种激情终于被点燃了。这些程序的第一代没有名字。在遍布世界的许多实验室里，通过改进和扩展这些早期在Berkeley开发的软件，工程师们扩展了新的用途，带来了对工程分析的巨大冲击和有限元软件的随之发展。,SAP：在Berkeley开发的第二代线性程序称之为SAP（Structural An
20、alysis Program），之后发展的第一个非线性程序是NONSAP，它具有隐式积分进行平衡求解和瞬时问题求解的功能。,3 有限元软件的发展,隐式有限元程序-Implicit,MARC：1969年，在Brown大学任教的Pedro Marcal，为了第一个非线性商业有限元程序进入市场，于建立了一个公司；程序命名为MARC，目前它仍然是主要软件，1999年被MSC公司兼并，MSC/MARC。,ANSYS：大约在同期，John Swanson为了核能应用在Westinghouse发展了一个非线性有限元程序。为了使ANSYS程序进入市场，他于1969年离开Westinghouse。ANSYS尽管
21、主要是关注非线性材料而非求解完全的非线性问题，它多年来仍垄断了商业非线性有限元软件的舞台。,3 有限元软件的发展,ABAQUS：David Hibbitt，他与Pedro Marcal合作到了1972年，1978年创立了HKS公司，使ABAQUS商用软件进入市场。因为该程序是能够引导研究人员增加用户单元和材料模型，对软件行业带来了实质性的冲击。2005年被法国达索公司(Dassault Systemes)收购，该公司的主要产品有CATIA。2007年更名为Simulia。,NASTRAN：大型通用有限元软件。The MacHeal-Schwendler Corporation(MSC)，196
22、3年创立，主要得到美国航空界赞助，如NASA和FAA，为飞行器验证软件。前处理为PATRAN。,3 有限元软件的发展,按照美国反垄断法，于2003年将NASTRAN源代码一式二份，分别属于：MSC/NASTRAN：MSC公司产品；NX.NASTRAN：UGS公司产品。2007年，SIEMENS收购UGS。,ADINA：Jrgen Bathe是在Ed Wilson的指导下在Berkeley获得博士学位的，不久之后开始在MIT任教，这期间他便发布了他的程序。这是NONSAP软件的派生产品，称为ADINA。据说UGS目前正准备收购ADINA。,3 有限元软件的发展,DOE实验室的工作强烈地影响了早期
23、的显式有限元方法，特别是命名为hydro-codes的软件，Wilkins(1964)。,显式有限元程序-Explicit,3 有限元软件的发展,在1964年，Costantino在芝加哥的IIT研究院发展了可能是第一个显式有限元程序。它局限于线性材料和小变形，由带状刚度矩阵乘以节点位移计算内部的节点力。它首先在一台IBM7040系列计算机上运行，花费了数百万美元，其速度远远低于一个megaflop和32000字节RAM。刚度矩阵存储在磁带上，通过观察磁带驱动能够监测计算的过程；当每一步骤完成时，磁带驱动将逆转以便允许阅读刚度矩阵。这些和以后的Control Data机器有类似的性能，如CDC
24、6400和6600。一台CDC6400价值为一千万美元，32k内存和大约一个megaflop的真实速度。,3 有限元软件的发展,一台CDC6400价值为一千万美元，32k内存和大约一个megaflop的真实速度。,3 有限元软件的发展,每芯片的晶体管数每过18个月加倍,为什么要发展纳米技术,奔腾最小元件130纳米,保持计算机技术的持续高速发展！,在1969年，开发了著名的从单元到单元的技术；节点力的计算不必应用刚度矩阵。因此，发展了名为 SAMSON的二维有限元程序，它被美国的武器实验室应用了十年。在1972年，该程序功能扩展至结构的完全非线性三维瞬态分析，称为WRECKER。,3 有限元软件
25、的发展,这一工作得到美国运输部敢于幻想的计划经理Lee Ovenshire的基金资助，他在七十年代初期就预言汽车的碰撞试验可能被仿真所代替。,然而，比他所预言的时间稍微提前了一点，在当时进行一个300个单元模型的仿真，对于两千万次模拟需要约30小时机时，花费约3万美元，相当于助理教授三年的工资。Lee Ovenshire的计划资助了若干个开拓性的工作：Hughes的接触冲击，Ivor McIvor的碰撞工作，以及由Ted Shugar和Carly Ward在Port Hueneme的关于人头的模拟研究。,3 有限元软件的发展,WHAMS：但是，大约在1975年，运输部认为仿真太昂贵，决定所有的
26、基金转向试验方面，使这些研究努力令人痛心的停止下来。在Ford，WRECKER勉强维持生存了下一个十年，在Argonne，由Belytschko发展的显式程序被移植应用在核安全工业上，其程序命名为SADCAT和WHAMS。,WHAMS-PFRACTsinghua-MPFRAC,3 有限元软件的发展,DYNA：显式有限元程序发展的里程碑来自于Lawrence Livermore实验室的John Hallquist的工作。1975年，John开始他的工作，1976年，他首先发布DYNA程序。他慧眼吸取了前面许多人的成果，并且与Berkeley的研究人员紧密交流合作，包括Jerry Goudreau
27、，Bob Taylor，Tom Hughes和Juan Simo。他之所以成功的部分关键因素是与Dave Benson合作发展了接触冲击相互作用，和他的令人敬畏的编程效率，以及计算程序DYNA-2D和DYNA-3D的广泛传播。,3 有限元软件的发展,目前，隐式方法比显式方法的功能增加得更加迅速。对于处理非线性约束，例如接触和摩擦，隐式方法已经有了明显的改进。稀疏迭代求解器也已经成为更加有效的工具。科学与工程分析功能的强健需要两种方法的有效性。因此，在工业和研究中，精通非线性软件的应用要求分析者重视对于非线性有限元方法的理解，能够清楚在分析中许多有兴趣的挑战和机遇。这将是本课程的宗旨。,3 有限
28、元软件的发展,中国建研院：PKPM建筑结构分析程序胡平(北)KMAX和钟志华(南)：分别开发了研制汽车 覆盖件模具的有限元软件梁国平：飞箭软件,大连理工大学：有限元程序郑州机械所：紫瑞软件清华大学：东方(DYFRAC)断裂与强度分析程序,3 有限元软件的发展,CAE的发展概况与前景,国内外高性能计算对比分析 目前我国与美国研究领域先进的数值仿真相比，在计算机硬件设备和软件开发能力，以及基础研究等方面存在的主要差距有以下几点：（1）硬件与软件环境 在硬件方面，美国国家实验室装备了峰值速度为136.8万亿次计算机，用于结构分析的计算机浮点运算速度，我国与美国相差23个数量级。在软件方面，美国可以同
29、时利用数千个CPU开展并行计算，而我国在结构分析方面有效使用的CPU并行应用数量比美国低12个数量级，在并行计算效率方面严重依赖于国外商用软件。,2005年，LLNL装备的蓝色基因计算机的并行计算峰值速度达到136.8万亿次。美国完成了武器系统在敌方辐射与爆炸冲击波环境下的仿真，以及武器系统从库存到靶目标的多物理场动力学数值仿真，计算规模达数千万乃至上亿自由度。1992年法国在进行了210次核试验之后，宣布其核武器更新将依靠数值仿真计划来实现，该项目15年总投资210亿欧元，这标志着发达国家在复杂武器工程分析方面已经进入了大规模并行计算时代。,参考文献1 ASC program plan FY
30、05,NNSA,USA,2002-20032 法国原子能委员会挑战，2003年68月刊,CAE的发展概况与前景,美国战略武器储存和管理的挑战是确保突发事件时的攻击力量,CAE的发展概况与前景,（2）求解规模 美国在结构动力学分析的求解规模已达到数千万自由度，而我国在结构非线性问题分析中的求解规模一般限制在百万自由度量级。与美国相比，自由度数目相差12个数量级，这样使得三维数值仿真非线性分析模型的规模较小，对结构的物理内涵和几何细节考虑不够充分。再是大量的仿真分析基于通用商用程序完成，数值仿真方法研究和软件开发的能力不足，没有形成较强的创新能力。,CAE的发展概况与前景,基于网络架构的NEST系
31、统平台,CAE的发展概况与前景,硬件技术：上海超级计算中心曙光4000A系统峰值10.2Tflops（10万亿次/秒）512节点42048CPU内存4256GB，容量95TB,CAE的发展概况与前景,清华航院的并行计算机群 985-I期系统峰值0.3万亿次/秒，16节点232CPU985-II期系统峰值1.0万亿次/秒，64节点2128CPU,4 非线性有限元的分类,线性分析：外加载荷与系统的响应之间为线性关系。例如线性弹簧，结构的柔度阵（将刚度阵集成并求逆）只需计算一次。通过将新的载荷向量乘以刚度阵的逆，可得到结构对其它载荷情况的线性响应。此外，结构对各种载荷情况的响应，可以用常数放大和/或
32、相互叠加，以确定它对一种全新载荷情况的响应，所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加（或相乘）。这种载荷的叠加原理假定所有的载荷情况采用了相同的边界条件。,4 非线性有限元的分类,非线性分析：非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变。所有的物理结果均是非线性的。线性分析只是一种近似，它对设计来说通常已经足够了。但是，对于许多结构包括加工过程的模拟（诸如锻造或者冲压）、碰撞分析以及橡胶部件的分析（诸如轮胎或者发动机支座），线性分析是不够的。一个简单例子就是具有非线性刚度响应的弹簧。,4 非线性有限元的分类,4 非线性有限元的分类,由于刚度依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加载荷的方法来计算任
33、意载荷时弹簧的位移。在非线性隐式分析中，结构的刚度阵在整个分析过程中必须进行许多次的生成和求逆，分析求解的成本比线性隐式分析昂贵得多。在显式分析中，非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量减小而造成的。非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数，因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和求解。,4 非线性有限元的分类,非线性的来源：在结构的力学模拟中有三种：材料非线性边界非线性（接触）几何非线性,4 非线性有限元的分类,材料非线性 大多数金属在低应变值时都具有良好的线性应力/应变关系；但是在高应变时材料发生屈服，此时材料的响应成为了非线性和不可恢复的。橡胶
34、材料是一种非线性、可恢复（弹性）响应的材料。材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关。应变率相关材料数据和材料失效都是材料非线性的形式。材料性质也可以是温度和其它预先定义的场变量的函数。,4 非线性有限元的分类,边界非线性 如果边界条件在分析过程中发生变化，就会产生边界非线性问题。悬臂梁随着施加的载荷产生挠曲。,梁端点在接触到障碍物以前，其竖向挠度与载荷成线性关系（如果挠度是小量）。当碰到障碍物时梁端点的边界条件发生了突然的变化，阻止了任何进一步的竖向挠度，因此梁的响应将不再是线性的。边界非线性是极度的不连续；当在模拟中发生接触时，结构中的响应在瞬时会发生很大的变化。另一个边界非线性的例子是
35、将板材材料冲压入模具的过程。在与模具接触前，板材在压力下比较容易发生伸展变形。在与模具接触后，由于边界条件的改变，必须增加压力才能使板材继续成型。,4 非线性有限元的分类,几何非线性 几何非线性发生在位移大小影响到结构响应的情况。由于：大挠度或大转动；“突然翻转”（Snap through）；初应力或载荷刚性化。,如果端部的挠度较小，可以认为是近似的线性分析。然而，如果端部的挠度较大，结构的形状乃至其刚度都会发生改变。另外，如果载荷不能保持与梁轴垂直，载荷对结构的作用也将发生明显的改变。当悬臂梁挠曲时，载荷的作用可以分解为一个垂直于梁的分量和一个沿梁长度方向的分量。这两种效应都会对悬臂梁的非线
36、性响应产生贡献（即，随着梁承受载荷的增加，梁的刚度发生变化）。,4 非线性有限元的分类,不难理解大挠度和大转动对结构承载的方式会产生显著的影响。然而，并不一定位移相对于结构尺寸很大时，几何非线性才显得重要。考虑一块很大的具有小曲率的板在所受压力下的“突然翻转”。,板的刚度在变形时会产生剧烈的变化。当板突然翻转时，刚度变负；尽管位移的量值相对于板的尺寸很小，但是有明显的几何非线性，必须在模拟中加以考虑。,4 非线性有限元的分类,几何非线性,刚性悬臂梁值域,平衡条件约束刚度K非线性关系线性关系,4 非线性有限元的分类,几何非线性,刚性悬臂柱,平衡条件约束刚度K线性关系非线性关系 3个解答,有限元分
37、析：Buckling特征值(eigenvalues)弹性临界(屈曲)载荷特征向量(eigenvectors)屈曲模态,非线性分析包含下列步骤：建立模型Pre-process基本方程的公式离散方程求解方法表述结果Post-process,4 非线性有限元的分类,4 非线性有限元的分类,非线性有限元基本解决方案：材料非线性 Newton-Raphson迭代(隐式)，中心差分，R-K（显式）边界非线性接触(约束，连接，摩擦，滑移）Lagrange乘子，罚函数几何非线性考虑Jaumann率的大变形算法，弧长法（Riks）,非线性分析包含几个重要主题：选择近似的方法（如Newton-Raphson）选择
38、合适的网格描述，动力学和运动学的描述检验结果和求解过程的稳定性（物理和数值）认识模型的平滑响应和隐含的求解质量和困难判断假设的作用和误差的来源,4 非线性有限元的分类,5 非线性有限元的应用（略）,6 网格和标记,6 网格和标记,非线性有限元分析关联三个领域：线性有限元方法，结构分析矩阵方法的扩展；非线性连续介质力学；数学，包括数值分析、线性代数和泛函。标记方法：矩阵、张量和指标标记,3种标记方法：1.指标标记 矢量，一阶张量，指标重复两次为求和，三维问题 缺点：公式，程序难以阅读2.张量标记 指标不出现，独立于坐标系统：直角，柱，曲线 小写黑体字母表示一阶,v，大写表示高阶,E;除外。内部指
39、标缩并，例如线性本构方程：,6 网格和标记,3.矩阵标记二次项：应变能：,，,6 网格和标记,Voigt标记,在有限元编程中，将对称的二阶张量写成列矩阵。我们将它和高阶张量的任何其它换算称为列矩阵Voigt标记。关于转换对称二阶张量到列矩阵的过程称为Voigt规则。动力学Voigt规则：Voigt规则取决于是否一个张量是一个动力学量，诸如应力，或者运动学量，诸如应变。关于动力学张量的Voigt规则，诸如对称张量（二维问题）,6 网格和标记,Voigt标记,运动学Voigt规则 对于二阶张量，运动学张量，诸如应变,也可以在表A1.1中给出。但是，剪切应变，即用不相同指标表示的分量，需要乘以2。因
40、此，关于应变的Voigt规则为 张量,Voigt,(A1.3),6 网格和标记,空间坐标：x,Eulerian坐标，指一点在空间的位置。材料坐标：X,Lagrangian坐标,标记一个材料点，每一个材料点有唯一的材料坐标，一般为在物体初始构形中的空间坐标，当t=0,X=x。物体的运动或变形用函数称其为在初始构形与当前构形之间的变换，如运动：逆变换：,1.网格描述，2.动力学描述，应力张量和动量方程3.运动学描述，应变度量,6 网格和标记,6 网格和标记,Lagrangian网格和Eulerian网格描述,6 网格和标记,一个Lagrangian网格像在材料上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻(和单元)
41、随着变形。一个Eulerian网格像放在材料前面一薄片玻璃上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻不变形，而材料横穿过网格。,6 网格和标记,Lagrangian网格，材料点与网格点保持重合，单元随材料变形，适合描述固体与结构的变形，但容易严重扭曲。,解决方法：ALE网格(Arbitrary Lagrangian Eulerian)节点能够有序地任意运动，在边界上的节点保持在边界上运动，内部的节点运动使网格扭曲最小化。,7 偏微分方程分类,当面对这样的力学问题，引起物体开裂的原因既要考虑到温度的影响，又要考虑到振动的效应，我们会被问到：应该选择哪种类型的偏微分方程?在有限元软件中，可以将各种因素作为输入文
42、件，计算得到解答。然而，当讨论这些结果的合理性时，我们会被问到：哪些因素控制着解答，什么情况下是温度控制，或是振动控制，他们共同控制解答的条件是什么?带着这些问题，为了理解各种有限元程序的适用性，我们需要理解偏微分方程的属性。,7 偏微分方程分类,双曲线，典型问题是波的传播，如弦振动抛物线，典型问题是扩散方程，如热传导椭 圆，典型例子是弹性力学平衡方程；Laplace方程，及其非齐次Poisson方程；断裂力学中Griffith解答,应用了Inglis无限大 平板含椭圆孔的解。,7 偏微分方程分类,双曲线抛物线椭 圆,为了理解有限元程序的适用性，解答的属性，影响解的因素，如解答的平顺性，信息传
43、播(如波、力和场)、边界与初始条件的影响，因此需要了解各种类型的偏微分方程。,如果不计时间相关性，三个方程退化为同一种形式，固体力学方程从双曲线变化为椭圆。,7 偏微分方程分类,PDEs发展是先降为一阶系统，如两个未知量的一个准线性系统：,PDEs分类依据是线段或者表面是否存在交叉，若存在交叉，导数是不连续的。,式中的Ai,Bi,Ci,Di是独立变量x和y，以及两个非独立变量u和v的函数。方程中的导数是线性的。,让我们检验u和v在x-y平面内是否可能有不连续的导数。考虑参数为s的一条曲线，沿着导数可能连续，横向导数可能不连续。由连锁法则，非独立变量的导数可以写成：,7 偏微分方程分类,将上面公
44、式写成一个矩阵方程，得到,如果导数是不连续的，上面系统线性代数方程的解答是非确定的，例如，没有唯一解答，它暗示,在某些运算后，得到一个条件服从,式中,除以,，并注意到,7 偏微分方程分类,得到一元二次方程,公式的解答为二次方程的根,有两族特征函数，双曲线，导数不连续有一族特征函数，抛物线，平滑无实特征函数，椭 圆，平滑,双曲线系统的特征存在交叉，穿过特征函数线的导数可能是不连续的，如应变或速度分量。,7 偏微分方程分类,双曲线，典型问题是波的传播，如弦振动,在双曲线系统中，信息以有限的速度传播，例如一维情况，波速为cx/t的直线斜率。一个力在t0时刻施加在杆的左端，在右侧x处的观察者直到波传播
45、到该点时才有感觉。,例1：一维波动方程,其解答为两个实根,波速为 的直线斜率。,2.抛物线，典型问题是扩散方程，如热传导,7 偏微分方程分类,在抛物线系统中，仅存在一族特征函数值，它们平行于时间轴，因此信息以无限速度传播。施加在杆的左端的热源，使得沿着整个杆件的温度瞬间升高，升温呈梯度变化，远离热源处，温度增加的可能非常少，而在双曲线型模型中，该处在波传播到达前没有反应。,例2：一维热传导的方程,7 偏微分方程分类,3.椭圆，典型例子是弹性力学平衡方程,在椭圆系统中，虚根，无实特征函数，与双曲线是对立的，方程与时间无关，在任何边界点的数据趋向于影响全部解答，数据的影响域是全部区域。而在边界处小量的不规则数据满足St.Venants原理。求解椭圆PDEs的困难在于边界处尖角所导致的解答奇异性，如断裂力学中的裂纹尖端奇异性和赫兹接触中的边界奇异性等。,例3：平面弹性力学的Laplace方程,学习要求,计算机仿真的5个方面训练：理论模型：科学知识，经验公式，实验数据数学模型：推导和描述系统和过程的数学公式计算模型：建立前处理模型，算法，数据处理计算模型的求解：计算机科学，工程数学，概率统计后处理，预见、决策：经验和准则，数据分析的知识，科学原理的理解,
