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1、热点总结与强化训练(二),潘瑜,热点1 三角恒等变换 1.本热点在高考中的地位 三角恒等变换是每年高考必考的一个知识点，是综合考查三角函数的图象性质、三角恒等变换的技巧方法的重要载体，其中利用三角关系式、恒等式化简函数解析式，进一步研究函数性质是高考热点.,2.本热点在高考中的命题方向及命题角度.从高考来看，对三角恒等变换的考查，主要有以下几种方式：(1)填空题中，利用三角恒等变换化简求值或求角.(2)解答题中，利用三角恒等变换化简函数解析式，进而研究函数y=Asin(x+)的有关性质.(3)解答题中，与正、余弦定理结合，解三角形.(4)解答题中，往往与平面向量相结合.,1.两角和(差)的正弦
2、、余弦、正切公式：sin()=sincoscossin cos()=coscossinsin tan()=,2.二倍角公式:sin2=2sincos cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2 tan2=3.公式的逆用和变形用：asin+bcos=其中tan=cos2=sin2=,本专题中，公式的灵活应用至关重要，在备考时，要加强对公式的记忆，弄清各公式之间的联系和区别，注意角的配凑技巧，如 等.,1.(2011北京高考)已知函数f(x)=(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.【解题指南】(1)先把 展开，再降幂化简；(2)求出角的范围是解
3、题的关键.,【解析】(1)因为f(x)=所以f(x)的最小正周期为.,(2)因为 所以于是，当 即x=时，f(x)取得最大值2；当 即x=时，f(x)取得最小值-1.,2.(2011江西高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-(1)求sinC的值；(2)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.【解题指南】(1)先利用倍角公式把sinC,cosC用 表示，再利用=1-sinC求解；(2)由a2+b2=4(a+b)-8求a,b，再利用余弦定理求解.,【解析】(1)已知sinC+cosC=1-整理即有：又C为ABC中的角，,(2)a2+b2=4(a+b)
4、-8a2+b2-4a-4b+4+4=0(a-2)2+(b-2)2=0a=2,b=2,又cosC=c=,3.(2011湖南高考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinA=acosC.(1)求角C的大小；(2)求 的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小,【解析】(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.因为00.从而sinC=cosC.又sinC0,所以cosC0,所以tanC=1,则C=,(2)由(1)知B=于是从而当即A=时，取最大值2综上所述，的最大值为2，此时A=B=,4已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.(1)求 的值；(2)求f
5、(x)的最大值和最小值.,【解析】(1)(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-1因为cosx-1,1,所以，当cosx=-1时，f(x)取最大值6；当 时，f(x)取最小值,5.ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA=(1)求(2)若c-b=1，求a的值.【解析】由cosA=得sinA=又 bc=156.(1)(2)a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2156 a=5.,6.在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2
6、c+b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=1，试判断ABC的形状.,【解析】(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA故cosA=A=120(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.又sinB+sinC=1，得sinB=sinC=因为0B90,0C90,故B=C所以ABC是等腰的钝角三角形.,热点2 平面向量的数量积 1.本热点在高考中的地位 平面向量的数量积是平面向量应用的主要体现，在高考中对本部分知识的考查主要集中在数量积的计算，应用数量积求角、求
7、距离(模)上，常以填空题的形式出现，难度不大.,2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对平面向量数量积的考查主要有以下几种方式：(1)数量积的计算：主要有两种：图形中计算ab=|a|b|cos(为a与b的夹角)；坐标形式计算ab=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).(2)利用数量积求角：考查 的应用.(3)利用数量积求模：|a|2=aa.(4)与三角函数、解三角形结合.,1.数量积的定义：设a与b的夹角为，则ab=|a|b|cos，其几何意义为|a|与|b|在a方向上的投影的积，满足交换律和数乘结合律、分配律.2.数量积的运算：向量形式下，关键是确定|
8、a|，|b|及a与b的夹角.坐标形式下，是对应坐标乘积的和.3.数量积的应用：把定义式变形，可得cos=,在备考中要理解数量积的概念和运算法则，把握数量积的几何意义，掌握数量积在解决垂直、夹角、长度等方面的应用，并且加强对数量积与直线、三角函数、圆锥曲线、数列等知识的综合问题的训练.,1.(2011安徽高考)已知向量a，b满足(a+2b)(a-b)=6，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为_.【解题指南】由(a+2b)(a-b)=6，且|a|=1，|b|=2，求出ab是解答本题的关键.,【解析】因为(a+2b)(a-b)=-6，所以a2+ab-2b2=-6,即12+ab-222=-6,所
9、以ab=1,cosa，b=故a,b=60.答案：60,2.(2011江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为 若向量b1=e1-2e2，b2=3e1+4e2，则b1b2=_.【解题指南】把b1，b2直接代入计算b1b2.,【解析】b1b2=(e1-2e2)(3e1+4e2)=3e12-2e1e2-8e22=3-211答案：-6,3.(2011大纲版全国卷)设向量a，b,c满足|a|=|b|=1，ab=a-c,b-c=60,则|c|的最大值等于()【解析】选A.如图，构造 BAD=120,BCD=60,所以A、B、C、D四点共圆，可知当线段AC为直径时，|c|最大，最大值为2.,4.若向量a
10、=(1,1)，b=(2，5)，c=(3，x)满足条件(8a-b)c=30，则x=()(A)6(B)5(C)4(D)3【解析】选C.8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)，所以(8a-b)c=(6,3)(3,x)=30.即：18+3x=30,解得：x=4，故选C.,5.(2012广州模拟)在四边形ABCD中，则四边形ABCD的面积是_.,【解析】表示与 同向的单位向量.又BD为ABC的平分线四边形ABCD为菱形.其边长为 且对角线BD等于边长的 倍，即BD=,所以cosBAD=故sinBAD=答案:,6.已知平面向量 则 的值是_.【解析】由题意可知 结合 解得所以 开方可知答案为答案：,7.如图，在ABC中,ADAB,则【解析】由已知得：答案：,
