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1、第二讲 MATLAB的数值计算,matlab 具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位,数值运算的功能,创建矩阵矩阵运算多项式运算线性方程组数值统计线性插值函数优化微分方程的数值解,一、命令行的基本操作,创建矩阵的方法直接输入法规则：矩阵元素必须用 括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 在 内矩阵的行与行之间必须 用分号分隔,矩阵元素可以是任何matlab表达式，可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数I，j 输入 a=1 2 3;4 5 6 x=2 pi/2;sqrt(3)3+5i,矩阵元素,符号的作用,逗号和分号的作用 逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语
2、句在同一行出现。分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。,注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖。当一个指令或矩阵太长时，可用续行,冒号的作用 用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。用于选出矩阵指定行、列及元素。循环语句,2.用matlab函数创建矩阵,空阵 matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。rand 随机矩阵（rand（3）、rand（2，3）eye 单位矩阵zeros 全部元素都为0的矩阵ones 全部元素都为1的矩阵,3.特殊矩阵,还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范德蒙
3、等矩阵的创建，就不一一介绍了。注意：matlab严格区分大小写字母，因此a与A是两个不同的变量。matlab函数名必须小写。,4.矩阵的修改,直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。指令修改 可以用A(,)=来修改。,例如a=1 2 0;3 0 5;7 8 9a=1 2 0 3 0 5 7 8 9a(3,3)=0a=1 2 0 3 0 5 7 8 0,还可以用函数subs修改，matlab6.0还可用find函数修改,实际应用中，常需要提取矩阵的某一部分，或者将多个矩阵合并起来裁剪和拼接对矩阵的裁剪与拼接操作主要是通过冒号运算符（:）来实现（1）重新排列 x=
4、1 2 3;4 5 6;7 8 9;x(3:-1:1,:)ans=7 8 9 4 5 6 1 2 3,5.矩阵裁剪与拼接,（2）提取行提取：x=1 2 3;4 5 6;7 8 9;x(1,:)ans=1 2 3列提取：x=1 2 3;4 5 6;7 8 9;x(:,1)ans=1 4 7,部分提取：x=1 2 3;4 5 6;7 8 9;x(1:2,2:3)ans=2 3 5 6重复提取：x=1 2 3;4 5 6;7 8 9;x(:,1,1,1)ans=1 1 1 4 4 4 7 7 7,x(:,1;2;2),（3）删除 x=1 2 3;4 5 6;7 8 9;x(:,1)=x=2 3 5
5、6 8 9 size(x)ans=3 2 Matlab中只能删除矩阵的整行或整列，x(:,1)=将矩阵x的第一列删除，同样，x(1,:)=将矩阵x的第一行删除。,（4）拼接行拼接：两个矩阵的行数必须相同 x=1 2 3;4 5 6;7 8 9;y=ones(3);z=x,yz=1 2 3 1 1 1 4 5 6 1 1 1 7 8 9 1 1 1列拼接：两个矩阵的列数必须相同 x=1 2 3;4 5 6;7 8 9;y=ones(1,3);z=x;yz=1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1,6.矩阵函数,7.矩阵分解,矩阵加、减（,）运算规则：相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵
6、对应元素相加减。允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。,二、矩阵运算,2.矩阵乘（）运算规则：A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数标量可与任何矩阵相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*bc=14 32 23,d=-1;0;2;f=pi*df=-3.1416 0 6.2832 矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在matlab中有两种矩阵除运算,a p a 自乘p次幂,方阵,1的整数,3.矩阵乘方 ap,pa,对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，a是标量ap使用特征值和特征向量自乘到p次幂；如a,p都是矩
7、阵，ap则无意义。,a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2 ans=30 36 42 66 81 96 102 126 150,当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。,a0.5 ans=0.4498+0.7623i 0.5526+0.2068i 0.6555-0.3487i 1.0185+0.0842i 1.2515+0.0228i 1.4844-0.0385i 1.5873-0.5940i 1.9503-0.1611i 2.3134+0.2717i,inv 矩阵求逆det 行列式的值eig 矩阵的特征值diag 对角矩阵 矩阵转置sqrt 矩阵开方expm矩阵的指数l
8、ogm矩阵的对数cond矩阵的条件数rank矩阵的秩norm矩阵的范数,4.矩阵的其它运算,5.矩阵的一些特殊操作,矩阵的变维 a=1:12;b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩阵的变向 rot90:旋转;fliplr:上翻;flipud:下翻矩阵的抽取 diag:抽取主对角线;tril:抽取主下三角;triu:抽取主上三角矩阵的扩展,关系运算,采用冒号运算符 a=初值:步长:终值；函数linspace创建 a=linspace(初值,终值,元素个数)函数logspace a=logspace(初始指数,终结指数,元素个数)示例：a=logspace(
9、0,3,3)a=1.0e+003*0.0010 0.0316 1.0000,6.一维数组的特殊创建方法,数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同（1）数组加减(.+,.-)a.+b a.-b,7.矩阵的数组运算,对应元素相加减（与矩阵加减等效）,（2）数组乘除(，./，.）ab a，b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a.*bans=2 8 18 4 15 30 49 72 90,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a
10、*bans=25 37 46 55 85 109 85 133 172,a./b=b.aa.b=b./aa./b=b.a 都是b的元素被a的对应元 素除a.b=b./a 都是a的元素被b的对应元 素除例:a=1 2 3;b=4 5 6;c1=a.b;c2=b./ac1=4.0000 2.5000 2.0000c2=4.0000 2.5000 2.0000,给出a,b对应元素间的商.,（4）数组乘方(.)元素对元素的幂例:a=1 2 3;b=4 5 6;z=a.2z=1.00 4.00 9.00z=a.bz=1.00 32.00 729.00,（5）向量函数 一般标量函数都可以用于数组，此时函数
11、作用于数组的每个元素：x=1:5;sin(x)ans=0.8415 0.9093 0.1411-0.7568-0.9589 但有些函数只有作用于向量时才有意义，故称其为向量函数：max最大值 min最小值 sum和 length长度（size）mean平均值 mediam中间值 prod乘积 sort从小到大排列,向量函数也可以作用于矩阵，此时运算结果为一个行向量，行向量的每个元素是函数作用于矩阵的相应列向量所得到的结果,（1）字符串Matlab中的字符串一般是ASCII值的数值数组，它作为字符串表达式进行显示一个字符串是由单引号括起来的文本，是由字符组成的数组 s=I am a teache
12、r;s s=I am a teacher u=abs(s)u=73 32 97 109 32 97 32 116 101 97 99 104 101 114,8.文本操作,str1=s(5:10)str1=a tea y=setstr(u)%函数setstr y=I am a teacheru=s(10:-1:5)输出内容？u=s输出内容？字符串Im a teacher如何输入？可以像数组一样连接字符串可以用disp函数打印字符串变量表示的字符串，如disp(x);字符串也可以有多个行，但每行必须也有相同数目的列数，如果长度不等，则要以空格补齐,示例：把字符串由小写变为大写 s=i am a
13、teacher;for i=1:14,s(i)=setstr(s(i)-(a-A);end,s s=I AM A TEACHER如果改为：s=i am a teacher;for i=1:14,s(i)=setstr(s(i)-(a-A),end,s请考虑输出如果改为：s=I am a teacher;for i=1:14,s(i)=setstr(s(i)-(a-A);end,s请考虑输出,（2）字符串转换,rad=2.5;t=A circle of radius,rad%是否正确fscanf调用格式：A=fscanf(fid,format)A,count=fscanf(fid,format,
14、size)fprintf调用格式：fprintf(obj,cmd)fprintf(obj,format,cmd)%obj可以省略sscanf调用格式：A=sscanf(s,format)A=sscanf(s,format,size)sprintf调用格式：s,errmsg=sprintf(format,A,.),控制符,（3）字符串函数,s=This is a good example.;token,rem=strtok(s)token=Thisrem=is a good example.,matlab语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。f(x)=anxn+an-
15、1xn-1+a0 可用行向量 p=an an-1 a1+a0表示poly 产生特征多项式系数向量特征多项式一定是n+1维的特征多项式第一个元素一定是1,三、多项式运算,例:a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我们可用：p1=poly2str(p,x)函数文件，显示数学多项式的形式p1=x3-6 x2-72 x-27,2.roots 求多项式的根,a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00r=ro
16、ots(p)r=12.12-5.73 显然 r是矩阵a的特征值-0.39,当然我们可用poly令其返回多项式形式p2=poly(r)p2=1.00-6.00-72.00-27.00matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示,3.conv,convs多项式乘运算,例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=1 2 3;b=4 5 6;c=conv(a,b)=conv(1 2 3,4 5 6)c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00p=poly2str(c,x)p=4 x4+13 x3+28 x2+
17、27 x+18,4.deconv多项式除运算,a=1 2 3;c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00d=deconv(c,a)d=4.00 5.00 6.00,5.多项式微分,matlab提供了polyder函数多项式的微分。命令格式：polyder(p):求p的微分polyder(a,b):求多项式a,b乘积的微分例：a=1 2 3 4 5;poly2str(a,x)ans=x4+2 x3+3 x2+4 x+5b=polyder(a)b=4 6 6 4poly2str(b,x)ans=4 x3+6 x2+6 x+4,四、代数方程组求解,matlab中有两种除运算左除和右
18、除。对于方程ax+b，a 为anm矩阵，有三种情况：当n=m时，此方程成为“恰定”方程 当nm时，此方程成为“超定”方程 当nm时，此方程成为“欠定”方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程,1.恰定方程组的解,方程ax=b(a为非奇异)x=a-1 b 矩阵逆两种解:x=inv(a)b 采用求逆运算解方程 x=ab 采用左除运算解方程,方程ax=ba=1 2;2 3;b=8;13;x=inv(a)*b x=ab x=x=2 2.00 3 3.00,=,a x=b,例:x1+2x2=8 2x1+3x2=13,左除、右除的异同,2.超定方程组的解,方程 ax=b,mn时此时不存在唯
19、一解。方程解(a a)x=a b x=(a a)-1 a b 求逆法 x=ab matlab用最小二乘法找一 个准确地基本解。,例:x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=3a=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3;解1 x=ab 解2 x=inv(aa)a b x=x=1.00 1.00 0 0.00,=,ax=b,3.欠定方程组的解,当方程数少于未知量个数时,即不定情况,有无穷多个解存在。matlab可求出两个解：用除法求的解x是具有最多零元素的解是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆pinv求得的。,x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2a=1 2 3;
20、2 3 4;b=1;2;x=ab x=pinv(a)b x=x=1.00 0.83 0 0.33 0-0.17,ax=b,五、微分方程求解,微分方程求解的仿真算法有多种，常用的有Euler（欧拉法）、Runge Kutta(龙 格-库塔法。Euler法称一步法，用于一阶微分方程,当给定仿真步长时：所以 yn+1=yn+hf(xn,yn)n=0,1,2 y(x0)=y0,Runge Kutta法龙格-库塔法：实际上取两点斜率的平均 斜率来计算的，其精度高于欧拉算法。龙格-库塔法：ode23 ode45,k1=hf(xn,yn)k2=hf(xn+h,yn+k),例：x+(x2-1)x+x=0为方便
21、令x1=x，x2=x分别对x1,x2求一阶导数，整理后写成一阶微分方程组形式 x1=x2 x2=x2(1-x12)-x1建立m文件解微分方程,建立m文件function xdot=wf(t,x)xdot=zeros(2,1)xdot(1)=x(2)xdot(2)=x(2)*(1-x(1)2)-x(1)给定区间、初始值;求解微分方程t0=0;tf=20;x0=0 0.25;t,x=ode23(wf,t0,tf,x0)plot(t,x),figure(2),plot(x(:,1),x(:,2),命令格式:T,Y=ODE23(ODEFUN,TSPAN,Y0)建立m文件function dxdt=wf
22、(t,x)dxdt=x(2);x(2)*(1-x(1)2)-x(1);求解微分方程t,x=ode23(wf,0 30,0 0.25);plot(t,x);figure(2)plot(x(:,1),x(:,2),六、函数优化寻优函数：fmin 单变量函数fmins 多变量函数constr 有约束条件,无约束条件,例1：f(x)=x2+3x+2在-5 5区间的最小值f=fmin(x2+3*x+2,-5,5)例2：f(x)=100(x2-x12)2+(a-x1)2在x1=a,x2=a2处有最小值function f=xun(x,a)f=100*(x(2)-x(1).2).2+(a-x(1).2;x=
23、fmins(xun,0,0,sqrt(2),七、数据分析与插值函数,max 各列最大值 mean 各列平均值sum 各列求和std 各列标准差var 各列方差sort 各列递增排序,八、拟合与插值,1.多项式拟合x0=0:0.1:1；y0=-.447 1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01 4.58 3.45 5.35 9.22;p=polyfit(x0,y0,3)p=56.6915-87.1174 40.0070-0.9043xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,-b,x0,y0,or),2.插值插值的定义是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。Matlab提供了一维、二维、三次样条等许多插值选择,table1 table2 interp1 interp2 spline 利用已知点确定未知点粗糙 精确集合大的 简化的,插值函数,小 结 本节介绍了matlab语言的数值运算功能，通过学习应该掌握：如何创建矩阵、修改矩阵符号的用法矩阵及数组运算多项式运算线性方程组与微分运算,
