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1、第二讲 MATLAB的数值计算功能 1,1、向量及其运算2、矩阵及其运算,2,1、向量及其运算,1.1)向量的生成 向量是组成矩阵的基本元素，有行向量和列向量之分；A、生成方式一 直接在命令窗口输入 向量元素用“”括起来，元素间用空格、逗号或分号分隔；注意：空格和逗号分隔成行向量，分号分割成列向量 例如：a=1,2,3,4；a=1 2 3 4都生成a=2 3 4,而a=1;2;3;4则生成a=1 2 3 4,3,B、生成方式二 等差元素向量的生成冒号表达式生成向量 基本格式：xx1:step:x2 xx1:x2,a=1:2:12a=1 3 5 7 9 11a=12:-2:1a=12 10 8
2、6 4 2a=1:6a=1 2 3 4 5 6,4,线性等分向量生成 y=linspace(x1,x2)生成100维行向量 y=linspace(x1,x2,n)生成n维行向量,a=linspace(1,100,6)a=1.0000 20.8000 40.6000 60.4000 80.2000 100.0000,5,对数等分向量生成 y=logspace(x1,x2)生成50维对数等分向量，y(1)=10 x1 y(50)=10 x2 y=logspace(x1,x2,n)生成n维对数等分向量y(1)=10 x1 y(n)=10 x2,a=logspace(0,5,6)a=1 10 100
3、1000 10000 100000,行向量与列向量转置可以使用“”,(单引号)，例如：a1=a2,6,1.2)向量的基本运算与数运算,a=1.0000 20.8000 40.6000 60.4000 80.2000 100.0000a-1ans=0 19.8000 39.6000 59.4000 79.2000 99.0000a*2ans=2.0000 41.6000 81.2000 120.8000 160.4000 200.0000,向量与向量之间的运算 相互之间的加或减，向量中的每个元素对应进行加减运算,7,点积计算 指两个向量在其中一个向量方向上的投影的乘积。dot(a,b)a,b必须
4、同维。,a=1 2 3;b=3,4,5;dot(a,b)ans=26sum(a.*b)ans=26,对应位置元素相乘再相加,8,叉积 表示过两相交向量的交点的垂直于两向量所在平面的向量。cross（a，b）a，b必须为三维向量。混合积,c=cross(a,b)c=-2 4-2dot(a,cross(b,c)ans=24,9,2、矩阵及其运算,2.1矩阵的生成MATLAB所有的数值功能都以矩阵为基本单元来实现的,矩阵 或者通过大型矩阵通借助M文件来输入；或者通过语句和函数产生矩阵；或者通过外部的数据文件中导入矩阵,A=1,2,3;4,5,6;7,8,9A=1 2 3 4 5 6 7 8 9,a=
5、1 2 3 4 5 6 7 8 9a=1 2 3 4 5 6 7 8 9,10,2.2矩阵的基本数值运算加减运算 要求两矩阵必须同阶。而矩阵与常数之间的运算为矩阵中对应位置元素与常数运算,a=1 2 3;2 3 4;3 4 5;b=1 1 1;2 2 2;3 3 3;c=a+bc=2 3 4 4 5 6 6 7 8,11,乘法 要求a为ij阶，b为jk阶时，ab才能相乘。除法左除“”:相当于Ax=B的解，x=A-1B。右除“/”：相当于xA=B的解，x=BA-1 A-1B=(BA-1)。通常，右除稍快一些，而左除可以避免奇异性。对于AxB，其中A为（nm）阶矩阵：n=m且非奇异时，方程为恰定方
6、程；nm方程为超定方程；nm 方程为欠定方程。,12,A=1 2 3;4 5 6;7 8 0;1 3 5;B=1 3 5;2 4 6;A/Bans=0 0.5000-3.0000 3.5000-12.0000 10.2500 1.0000 0.0000,(BA)ans=0 0.5000-3.0000 3.5000-12.0000 10.2500 1.0000 0.0000,13,2.3矩阵的特征参数运算矩阵的乘方和开方运算，矩阵必须为方阵可以进行更高次的乘方运算,a=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 8 9;2 3 4 5a=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 2 3 4
7、 5 b=a2b=46 56 57 67 114 140 145 171 149 185 197 233 63 77 79 93,14,b=46 56 57 67 114 140 145 171 149 185 197 233 63 77 79 93 c=sqrtm(b)c=3.1179 3.0705 2.2932 2.2458 5.4018 6.8081 6.3709 7.7771 4.9747 7.2075 9.9635 12.1963 3.6889 4.0049 3.3126 3.6287 d=c2d=46.0000 56.0000 57.0000 67.0000 114.0000 14
8、0.0000 145.0000 171.0000 149.0000 185.0000 197.0000 233.0000 63.0000 77.0000 79.0000 93.0000,15,矩阵的逆运算 矩阵可逆的充要条件是矩阵的行列式不为零，用inv()函数,A=2 1-3-1;3 1 0 7;-1 2 4-2;1 0-1 5;inv(A)ans=-0.0471 0.5882-0.2706-0.9412 0.3882-0.3529 0.4824 0.7647-0.2235 0.2941-0.0353-0.4706-0.0353-0.0588 0.0471 0.2941,16,矩阵的行列式运
9、算 函数 det,A=2 1-3-1;3 1 0 7;-1 2 4-2;1 0-1 5;a1=det(A)a1=-85a2=det(inv(A)a2=-0.0118a1*a2ans=1,17,特征值函数 函数 x,y=eig(A)可以给出特征值和特征向量的值 x为特征向量矩阵，y为特征值矩阵。,A=7 3-2;3 4-1;-2-1 3;x,y=eig(A)x=0.5774 0.0988-0.8105-0.5774-0.6525-0.4908 0.5774-0.7513 0.3197,y=2.0000 0 0 0 2.3944 0 0 0 9.6056,18,秩函数 函数 rank迹函数 矩阵所
10、有对角线上元素的和称为矩阵的迹。函数 trace,e=1 1 1 5 2 2 2 2 3 3 3 5,rank(e)ans=2,a=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 2 3 4 5 trace(a)ans=20,19,2.4矩阵的分解运算LU分解 L,U=lu(A)又称三角分解，目的是分解成一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，即ALU,a=1 2 3;2 4 1;4 6 7;l,u=lu(a)l=0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0u=4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000-2.5000 0 0 2
11、.5000,20,正交分解 AQR,a=1 1 1;2-1-1;2-4 5;q,r=qr(a)q=-0.3333-0.6667-0.6667-0.6667-0.3333 0.6667-0.6667 0.6667-0.3333r=-3 3-3 0-3 3 0 0-3,将矩阵A做正交化分解，使得Q*R=A，其中Q为正交矩阵（其范数为1，指令norm(Q)=1)，R为对角化的上三角矩阵。,21,2.5 矩阵的特殊处理函数变维reshape(X,M,N)X变为MN维reshape(X,M,N,P,)X变为MNP 或reshape(X,M N P)“：”操作符,a=1:12;b=reshape(a,2,
12、6)b=1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12,c=zeros(4,3);c(:)=a(:)c=1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12,22,变向 对矩阵进行旋转：rot90 上下翻转 flipud 左右翻转fliplr,x=1 4;2 5;3 6x=1 4 2 5 3 6 rot90(x)ans=4 5 6 1 2 3,x=1 4;2 5;3 6x=1 4 2 5 3 6 flipud(x)ans=3 6 2 5 1 4,23,2.6常用特殊矩阵的生成单位矩阵：eye(m,n);eye(m)零 矩 阵：zeros(m,n);zeros(m)一 矩 阵：ones(m
13、,n);ones(m)对角矩阵：对角元素向量 V=a1,a2,an A=diag(V)随机矩阵：rand(m,n)产生一个mn的均匀分别的随机矩阵,24,eye(2,3)ans=1 0 0 0 1 0zeros(2,3)ans=0 0 0 0 0 0ones(2,3)ans=1 1 1 1 1 1V=5 7 2;A=diag(V)A=5 0 0 0 7 0 0 0 2,eye(2)ans=1 0 0 1zeros(2)ans=0 0 0 0ones(2)ans=1 1 1 1,25,其他特殊矩阵 compan 友矩阵函数 magic 魔方矩阵 hankel Hankel矩阵 rosser 对称特征值测试矩阵 hilb Hilbert矩阵 pascal Pascal矩阵 invhilb 反Hilbert矩阵 vander 范德蒙矩阵,26,课堂练习,1、调试教材3867页所给出的演示程序，熟悉相关的基本运算法则2、完成83页习题第一和第二大题。,有不清楚和不懂问题，请积极提问,
