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1、第6讲 MATLAB符号计算一,数学软件,数学软件,6.1 符号计算基础6.2 符号导数及其应用6.3 符号积分,6.1 符号计算基础,6.1.1 符号对象1.建立符号变量和符号常数(1)sym函数 sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(a)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。,例6.1考察符号变量和数值变量的差别。在 MATLAB命令窗口，输入命令：a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d);%定义4个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11;%定义4个数值变量A=a,b;c,d%建立符号矩阵AB=w,x;y,z%建立数值
2、矩阵Bdet(A)%计算符号矩阵A的行列式det(B)%计算数值矩阵B的行列式,例6.2比较符号常数与数值在代数运算时的差别。在 MATLAB命令窗口，输入命令：pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3);%定义符号变量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%定义数值变量sin(pi1/3)%计算符号表达式值 sin(pi2/3)%计算数值表达式值sqrt(k1)%计算符号表达式值sqrt(r1)%计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2)%计算符号表达式值sqrt(r3+sqrt(r2)%计算数值表达式值,(2)syms函数syms函数的一
3、般调用格式为：syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,2.建立符号表达式例6.3用两种方法建立符号表达式。在MATLAB窗口，输入命令：U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6)%定义符号表达式Usyms x y;%建立符号变量x、yV=3*x2+5*y+2*x*y+6%定义符号表达式V2*U-V+6%求符号表达式的值,例6.4计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。命令如下：syms a b c;U=a,b,c;A=
4、1,1,1;U;U.2%建立范得蒙符号矩阵det(A)%计算A的行列式值,例6.5建立x,y的一般二元函数。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms x y;f=sym(f(x,y);,6.1.2 基本的符号运算1.符号表达式运算(1)符号表达式的四则运算例6.6符号表达式的四则运算示例。在 MATLAB命令窗口，输入命令：syms x y z;f=2*x+x2*x-5*x+x3%符号表达式的结果为最简形式f=2*x/(5*x)%符号表达式的结果为最简形式f=(x+y)*(x-y)%符号表达式的结果不是x2-y2，而是(x+y)*(x-y),(2)因式分解与展开factor(S)对S分解因式
5、，S是符号表达式或符号矩阵。expand(S)对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S)对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S,v)对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。,例6.7 对符号矩阵A的每个元素分解因式。命令如下：syms a b x y;A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3-b3;factor(A)%对A的每个元素分解因式,例6.8 计算表达式S的值。命令如下：syms x y;s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2);expand(s)%对s展开collec
6、t(s,x)%对s按变量x合并同类项(无同类项)factor(ans)%对ans分解因式,(3)表达式化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(S)应用函数规则对S进行化简。simple(S)调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。例6.9化简命令如下：syms x y;s=(x2+y2)2+(x2-y2)2;simple(s)%MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果,2.符号矩阵运算transpose(S)返回S矩阵的转置矩阵。determ(S)返回S矩阵的行列式值。colspace(S)返回S矩阵列空间的基。Q,D=eige
7、nsys(S)Q返回S矩阵的特征向量，D返回S矩阵的特征值。,6.1.3 符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(S,n)函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。,6.2 符号导数及其应用,函数的极限limit函数的调
8、用格式为：limit(f,x,a)limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,right)或 limit(f,x,a,left),例6.10求极限。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms a m x;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limit(f,x,a)%求极限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;limit(f)%求极限(2)limit(f,inf)%求f函数在x(包括+和-)处的极限limit(f,x,inf,left)%求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);li
9、mit(f,x,a,right)%求极限(4),6.2.2 符号函数求导及其应用MATLAB中的求导的函数为：diff(f,x,n)diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。,例6.11求函数的导数。命令如下：syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x);diff(f)%求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2)%求(2)。求f对x的二阶导数diff(f,x,3)%求(2)。求f对x的三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);di
10、ff(f2)/diff(f1)%求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3%求(3)。求y对x的二阶导数f=x*exp(y)/y2;diff(f,x)%求(4)。z对x的偏导数diff(f,y)%求(4)。z对y的偏导数f=x2+y2+z2-a2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z)%求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数,例6.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平
11、行。命令如下：x=sym(x);y=x3+3*x-2;%定义曲线函数f=diff(y);%对曲线求导数g=f-4;solve(g)%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4,6.3 符号积分,不定积分在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x)int函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。,例6.13求不定积分。命令如下：x=sym(x);f=(3-x2)3;int(f)%求不定积分(1)f=sqrt(x3+x4);int(f)%求不定积分(2)g=simple(ans)%调用simple函数对结果化简,6.3.2 符号函数
12、的定积分定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数：int(f,x,a,b)例6.14求定积分。命令如下：x=sym(x);t=sym(t);int(abs(1-x),1,2)%求定积分(1)f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf)%求定积分(2)int(4*t*x,x,2,sin(t)%求定积分(3)f=x3/(x-1)100;I=int(f,2,3)%用符号积分的方法求定积分(4)double(I)%将上述符号结果转换为数值,例6.15求椭球的体积。命令如下：syms a b c z;f=pi*a*b*(c2-z2)/c2;V=int(f,z,-c,
13、c)V=4/3*pi*a*b*c,例6.16轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量。(1)符号函数积分。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms x;f=6+0.3*x;m=int(f,0,10)(2)数值积分。先建立一个函数文件fx.m：function fx=fx(x)fx=6+0.3*x;再在MATLAB命令窗口，输入命令：m=quad(fx,0,10,1e-6),例6.17求空间曲线c从点(0，0，0)到点(3，3，2)的长度。求曲线c的长度是曲线一型命令如下：syms t;x=3*t;y=3*t2;z=2*t
14、3;f=diff(x,y,z,t)%求x,y,z对参数t的导数g=sqrt(f*f)%计算一型积分公式中的根式部分l=int(g,t,0,1)%计算曲线c的长度,6.3.3 积分变换1.傅立叶(Fourier)变换在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(fx,x,t)求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。ifourier(Fw,t,x)求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。,例6.18求函数的傅立叶变换及其逆变换。命令如下：syms x t;y=abs(x);Ft=fourier(y,x,t)%求y的傅立叶变换fx=ifourier(Ft,t,x)%求Ft的傅立叶逆变换2.
15、拉普拉斯(Laplace)变换在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：laplace(fx,x,t)求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。ilaplace(Fw,t,x)求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。,例6.19计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换.命令如下：x=sym(x);y=x2;Ft=laplace(y,x,t)%对函数y进行拉普拉斯变换fx=ilaplace(Ft,t,x)%对函数Ft进行拉普拉斯逆变换,3.Z变换对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：ztrans(fn,n,z)求fn的Z变换像函数F(z)iztrans(Fz,z,n)求Fz的z变换原函数f(n)例6.20求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。命令如下：syms n zfn=exp(-n);Fz=ztrans(fn,n,z)%求fn的Z变换f=iztrans(Fz,z,n)%求Fz的逆Z变换,4.积分变换的应用例6.21用拉普拉斯方法解微分方程。,
