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1、非线性有限元第8章 单元技术,计算固体力学,第8章 单元技术,引言单元性能单元性质和分片试验Q4和体积自锁多场弱形式和单元多场四边形剪切自锁一点积分单元沙漏,面对问题，如何选择单元？各种单元有什么特点？如何应用？,1 引言,发展单元技术是使单元具有更好的性能，如大规模计算和不可压缩材料。当应用于不可压缩材料的计算时，低阶单元趋向于体积自锁。在体积自锁中，通过大的因数不能预测位移：相对于其它合理的网格，一个过小量级的位移导致不寻常的结果。,尽管在线性应力分析中很少是不可压缩材料，而在非线性中，许多材料行为是接近于不可压缩的性质。例如：橡胶、肌肉细胞是不可压缩的；Mises弹-塑性材料的塑性行为是
2、不可压缩的，任何体积自锁的单元均不能很好地计算Mises材料。在非线性有限元中，有效地处理不可压缩材料的能力是非常重要的。然而，当应用于不可压缩或者接近于不可压缩材料时，大多数单元具有一定的弱点。选择单元时，掌握这些弱点以及对它们的补救措施是至关重要的。,1 引言,对于大规模计算，应用不完全积分以加快单元计算。对于三维问题，将不完全与完全积分比较，产生了计算成本减少8阶的效果。然而，不完全积分需要单元的稳定性。在大规模计算中它是普遍存在的。从理论上它是有根据的并且能够结合多场的概念以获得高精度的单元。为了消除体积自锁，可以采用两种方法：1 多场单元，这里压力或者应力和应变场都可以作为非独立的变
3、量。2 减缩积分程序，这里弱形式的某些项是采用不完全积分。,多场单元是基于多场弱形式或者变分原理；即混合单元和杂交单元。除了位移，还要考虑变量诸如应力或应变作为非独立变量，并且是位移的独立插值，所设计的应变或者应力场能够避免体积自锁。附加的变量事实上是Lagrange乘子，它们能够约束诸如不可压缩，以便于更有效地解决问题。,1 引言,许多关于混合法的文章似乎给予这样的印象，对于单一场单元，混合单元是具有先天优势的，但是，对于这一说法尚无令人信服的证据。而可参考的证据是在没有约束的情况下，混合单元的收敛速度绝不可能超过相应的单一场单元的收敛速度。因此，应用混合单元能够实现的唯一目标是避免自锁，并
4、改善所选择某种类型问题的行为，诸如梁弯曲。,在某些情况下，对于梁弯曲或者其它特殊问题，需要设计应变或者应力场取得更好的精度。混合单元可以改善单元的能力，仅适用于约束介质或者特殊类型的问题。当没有约束时，混合法不能改善一个单元的一般性能。,1 引言,本章首先描述了在模拟连续体中广泛应用的许多单元的特性，仅限于那些基于二阶或者低于二阶的多项式表示的单元，因为在非线性分析中目前很少应用高阶单元。定义了若干术语，诸如一致性、多项式完备性和再造条件。对于在线性问题中的各种单元，给出了收敛率。对于非线性问题，基于结果的光滑性以检验这些结果的内涵。忽略了升阶谱单元和P单元，它们在非线性分析中极少应用。,P单
5、元（Polynomial），增加单元基底函数的阶次，改善计算精度，如多项式插值函数。升阶谱单元，属于P单元，由常规的位移协调元逐渐增加附加自由度，以不违反位移连续条件的逐次升幂多项式为基底函数。,1 引言,分片试验（patch test）对于一个单元理论的可靠性和它的程序的正确性，重要的是试验。分片试验可以用于检验单元是否收敛、是否避免了自锁和是否稳定。有各种形式的分片试验，可以应用于静态和显式问题。将展示单元的正确的秩和亏损的秩的概念。,为了说明单元技术，以4节点等参四边形单元（Q4）为例。对于没有任何修正的可压缩材料，这种单元是收敛的。但是，对于不可压缩和接近不可压缩的材料，这种单元自锁。
6、,1 引言,将描述某些主要的多场弱形式和他们在单元发展中的应用。第一个多场变分原理是Hellinger-Reissner的应力和位移的二场变分原理，因为它不容易应用于由应变控制的本构方程中，所以没有考虑它。在各种形式的应力、应变度量和位移三场弱形式上，它们与Hu-Washizu变分原理有关，在弱形式中，应力、应变度量和位移是依赖于变量的，即未知场，将给出完全的Lagrangian形式和变分原理的扩展。,2 单元性能,在二维问题中，最经常应用的低阶单元是 3节点三角形和4节点四边形。在三维单元中，是 4节点四面体和8节点六面体单元。,三角形和四面体单元的位移场是线性的，位移场和速度场的梯度是常数
7、。四边形和六面体单元的位移场分别是双线性和三线性的，并且应变是常数和线性项的组合；应变不是完全线性的。所有这些单元都可以精确地复制一个线性位移场和一个常数应变场。因此，它们满足标准分片试验。,2 单元性能,最简单的二维单元是3节点三角形，在三维中是4节点四面体。他们是单纯单元，单纯指在n维中是一组n+1个节点。对于不可压缩材料，这两种单元表现很差。,在平面应变问题中，三角形单元表现为严重的自锁。注意：体积自锁不发生在平面应力问题中，对于平面应力，可以改变单元的厚度以适应不可压缩材料。对于不可压缩和接近于不可压缩材料，四面体单元自锁。,对于完全不可压缩或接近不可压缩的材料，运动是等体积的,0,J
8、=1,式中K是体积模量，是剪切模量。在任意的等体积运动中，单元的整个体积将保持常数。然而，在整个单元中的运动必须是等体积的。否则，当K是一个非常大的数时（一个接近于不可压缩材料），任何非零体积应变将吸收所有的能量。,内部节点力的完全积分可能引起单元的自锁，即出现很小的位移而且不收敛或收敛得非常慢。考虑一个线性材料，如果分解线性弹性应变能为静水和偏量部分，可以写为,2 单元性能,为了克服这个困难，最容易的方法是使用局部减缩积分。在局部减缩积分中，压力为不完全积分，而应力矩阵的其余部分为完全积分。为此，将应力张量分解为静水部分和偏斜部分,体积自锁源于单元没有能力准确地表示一个等体积运动。为了消除自
9、锁，必须设计应变场，这样在假设的应变场中整个单元的膨胀为零，运动是等体积的。,2 单元性能,局部减缩积分包含在偏斜功率上的完全积分和在膨胀功率上的减缩积分。对于一个4节点四边形单元内力的局部减缩积分表达式为,2 单元性能,通过对单元采用特殊的排列，可以避免单纯单元的体积自锁。例如，三角形的交叉对角排列消除了自锁，如图(a)所示。但是，这种网格类似于划分四边形的网格，失去了三角形网格划分的优越性。进一步说，当中心节点没有恰好位于对角线的交叉点上，如图(b)所示，交叉对角网格自锁。在大位移问题中，如此构形总是在发展。另外，交叉对角网格不满足LBB稳定性条件（约束体积自锁，可能带来压力不稳定），压力
10、振动是可能发生的。,在其它状态下，单纯单元也显示出刚性行为，如梁弯曲。刚性行为是收敛的，对于粗糙的网格表现出很差的精度。尽管刚性行为不像自锁那么有害，还是不受欢迎的，它的出现意味着必须采用非常细划的网格才能获得合理的精度。,2 单元性能,2 单元性能,线性单元CPS4和C3D8的挠度值远远低于理论值，其结果不可用。粗糙的网格使结果精度降低。即使824的网格，精度只有56。线性完全积分单元在厚度方向采用单元多少差别不大。,其原因是剪力自锁，剪力自锁使单元弯曲时太硬。,纯弯曲时，22=0,12=0，而这里12不为零，引起伪剪应力的原因是线性单元的边不能弯曲，应变能引起剪切变形，而不是弯曲变形。,二
11、次单元没有剪切自锁问题，其边界会弯曲。,2 单元性能,4节点四边形和8节点六面体分别比3节点三角形和四面体更为精确。当完全积分时，对于四边形为22积分，六面体为222积分。对于不可压缩材料，这些单元也发生自锁，在梁弯曲中它们趋向于刚性行为。在这些单元中，通过减缩积分可以避免体积自锁，即每个方向少用一个积分点，或者采用选择减缩积分，在体积项上采用一点积分，在偏量项上采用完全积分。,2 单元性能,当应用4节点四边形和8节点六面体单元模拟弯曲构件时，在厚度方向至少应采用4个单元。当只有1个线性减缩积分单元时，所有的积分点都位于中性轴上，从而该模型不能承受弯曲载荷(见表中的*号项)。,2 单元性能,4
12、节点四边形和8节点六面体单元的不完全积分、选择减缩积分和多场形式都被一个主要的缺陷困扰着：在压力场下，它们表现出空间的不稳定性LBB条件。压力常常是振荡的，在压力下的振荡图形是已知的棋盘模式。棋盘模式有时是无害的：如Mises弹塑性定律控制的材料，其应变率是独立于压力的，若发生弹性应变的误差，压力振荡几乎是无害的。尽管如此，它仍然是不受欢迎的。通过过滤或者借助粘性，可以避免棋盘模式。使用者必须意识到这些单元出现棋盘模式的可能性。对于基于多场变分原理的绝大多数单元，在应力中发生振荡是可能的。,压力场的稳定性性质与LBB条件有关，L代表Ladezhvanskaya(1968)。这个条件对于假设应力
13、和应变场强制了严格的约束。关于这一理论可以在Bathe(1996)中读到。,2 单元性能,四边形最快的计算形式是不完全积分，一点积分单元：它通常比选择减缩积分四边形单元的速度快3到4倍。在三维中，速度提高68个数量级。一点积分单元也遭受压力振荡，另外在位移场中出现不稳定性。这些不稳定性有各种名称：沙漏、梯形、运动模式、伪零能量模式和铁丝网等。这些模式可以十分有效地得到控制，收敛率没有降低，所以，对于许多大型计算，带有沙漏控制的一点积分是非常有效的。,沙漏模式,例如受弯矩M的减缩积分线性单元的变形，单元中虚线的长度没有改变，它们之间的夹角也没有改变，这意味着在单元单个积分点上的所有应力分量均为零
14、。由于单元变形没有产生应变能，这种弯曲的变形模式是一个零能量模式。由于单元在此模式下没有刚度，所以单元不能抵抗这种形式的变形。在粗糙的网格中，这种零能量模式会在网格中扩展，从而产生无意义的结果。,2 单元性能,线性的减缩积分单元由于存在来自本身的所谓沙漏(hourglassing)数值问题而过于柔软。,沙漏模式,2 单元性能,在ABAQUS中，对减缩积分单元引入少量的人工“沙漏刚度”以限制沙漏模式的扩展。当模型中应用更多的单元时，这种“刚度”限制沙漏模式是更有效的。这说明只要采用合理的精细网格，线性减缩积分单元会给出可接受的结果，所产生的误差是在一个可接受的范围内。当应用这类单元模拟弯曲构件时
15、，在厚度方向至少应采用4个单元。当只有1个线性减缩积分单元时，所有的积分点都位于中性轴上，从而该模型不能承受弯曲载荷(见表4-2中的*号项)。线性减缩积分单元对变形的要求不严格，因此可在变形较大的任何模拟中采用划分较细的此类单元。,2 单元性能,在大变形问题中，当边界中间的节点有明显地移动时，这些单元的性能退化；高阶单元令人苦恼的缺陷是扭曲，它们的收敛率明显地下降，当过度扭曲时，计算程序常常中止。对于不可压缩材料，6节点三角形不满足LBB条件。在一个线性压力场作用下，由多场变分原理建立的9节点四边形单元满足LBB条件，并且不发生自锁。到目前为止，对于不可压缩材料，这是唯一没有缺陷行为的单元。应
16、用Lagrangian网格，高阶单元不能很好地适用于动态或者大变形问题。难以建立很好的对角质量矩阵。在大变形问题中，这些单元经常失效，并且比低阶单元更迅速地破坏精度，因为Jacobian行列式在积分点上可以很容易地成为负值。,是否可以这样质疑有限元：两端固定边界条件，是否可以应用单一线性梁单元建立模型，如果不能，即为“有限元的尴尬”？,2 单元性能,3 单元性质和分片试验,对于检验单元公式的可靠性以及它们的完备性和稳定性，分片试验是极为有用的。,标准分片试验是检验位移场多项式的完备性，即单元再造一个指定阶数多项式的能力。另外，试验检查编程和程序。有时候单元是正确的，但是失败于分片试验，其原因是
17、编程的错误。在标准分片试验中，采用的单元必须是歪斜的，因为矩形单元可以满足分片试验，而任意的四边形单元不一定满足。绝对不能施加体积力，材料性质必须是均匀的线弹性。,3 单元性质和分片试验,标准分片试验的意义在于它证明了再造条件。当一个精确解是在有限元近似的子空间中，有限元解答必须对应于精确解。公式(8.3.1)是线弹性问题的精确解，证明如下：由于应变是常数，并且材料性质均匀，则应力是常数。由于没有体力，平衡方程是精确满足的。由于线弹性解答是唯一的，所以(8.3.1)是精确解。,(8.3.1),二维,一般意义,4 Q4和体积自锁,Q44节点四边形单元,Q4单元的各种性质，在当前构形和母单元之间的
18、运动映射为,四个等参形状函数的行矩阵,xi，i=1到2，是节点坐标的列矩阵,4 Q4和体积自锁,Q44节点四边形单元,位移和速度,变形率场,单元Jacobian行列式,单元Jacobian行列式在母单元原点处的值,4 Q4和体积自锁,Q44节点四边形单元,在母单元坐标系的原点，B矩阵可以表示为,对于不可压缩或者接近于不可压缩的材料，当完全积分时，Q4在平面应变中发生自锁。,4 Q4和体积自锁,Q44节点四边形单元,对于不可压缩材料的运动必须是等体积的，即 J=1,以率形式,它是等价于,对于Q4，给出体积自锁的两种解释。首先是不可压缩材料，然后扩展到接近于不可压缩材料。,矩形单元的网格，两边固定
19、；仅显示了部分网格,4 Q4和体积自锁,Q44节点四边形单元,考虑单元1，仅可能非零的节点速度是在3点,是任意值,单元 1 的所有其它节点速度必须为零以满足边界条件。对于一个任意的运动，其膨胀率为,节点3的速度给出,，,所以，膨胀率的常数项是非零的，除非,因此，一个等体积运动需要膨胀率为零，即,4 Q4和体积自锁,Q44节点四边形单元,当,其中,只有沿着直线,上式才为零！,尽管单元的运动是一个常数体积运动，除了在该直线上，膨胀率是处处非零。为了满足在整个单元中的等体积运动，必须为零，并且节点3不能移动。,如果节点3不能移动，在单元2的左侧，则由节点2和3提供了刚性边界，并且对于单元2，重复这些
20、讨论可以证明节点6是不能移动的。这一讨论则可以对网格中的所有单元重复，以证明所有节点的速度必须为零。即有限元模型自锁。这一讨论也适用于歪斜单元。,4 Q4和体积自锁,Q4-4节点四边形单元,另一种检验的方法是考虑单元的双线性速度场 膨胀率给出为,通过在整个单元域上积分膨胀率，计算一个单元面积的变化,线性分量 双线性项积分为零，其导数正交于常数场,证明对于任意的等体积速度场，,保持单元面积为常数的运动的膨胀率则是,是必要的,设上式结果为零，以反映等体积运动，,4 Q4和体积自锁,Q44节点四边形单元,尽管所有单元的变形是保持体积不变，这一膨胀率在单元中的任何区域都是非零的，除非沿着曲线,这样，单
21、元不能再造一个等体积运动。注意上式也证明了引起困难的一部分运动是沙漏模式，因为它保持了体积，但是在单元内的膨胀率是非零的。,这些讨论扩展到接近于不可压缩的材料中，为了简单，考虑一个线性材料。如果分解线性弹性应变能为静水部分和偏量部分，为,式中K是体积模量，是剪切模量。在任意的等体积运动中，单元的整个体积将保持常数。然而，在整个单元中的运动必须是等体积的。否则，当K是一个非常大的数时（一个接近于不可压缩材料），任何非零体积应变将吸收所有的能量。,4 Q4和体积自锁,Q44节点四边形单元,因此，体积自锁源于单元没有能力准确地表示一个等体积运动。为了消除自锁，必须设计应变场，这样在假设的应变场中单元
22、的膨胀率为零。为了避免自锁，对于任意保持单元体积的速度场，在整个单元的应变场必须是等体积的。特别是对于四边形单元，因为这一运动是等体积的，对于沙漏模式，在整个单元中膨胀必须为零。在平面应力单元中没有体积自锁问题。,4 Q4和体积自锁,应用杂交单元,5 多场弱形式和单元,Hu-Washizu 弱形式：最通用的多场弱形式是H-W变分原理。这一变分原理是在两场原理的Reissner发展之后建立起来的，Hellinger-Reissner两场原理是指位移和应力是未知的两个场。在非线性分析中很少应用两场原理，因为它与应变控制的本构模型是不相容的。关于三场原理的一个有趣的轶事出现在Eric Reissne
23、r完成二场原理的工作后，Washizu拜访了他，Washizu告诉他有关对三场理论的发展。Reissner叙述这个故事时说：“我首先反对，因为只有应力和位移可以在问题的边界条件中出现，除了定义应变-位移关系之外的方式，任何考虑应变-位移关系都是不自然的。然而不久之后，我就被三场原理说服了，我个人认为，由Washizu和Hu分别独立提出的三场原理是一个我所希望的有价值的进展。”,胡海昌-鹫津久一郎原理,H-W三场原理包括速度，应变率和应力。,5 多场弱形式和单元,H-W三场原理弱形式。类似UL形式。,动量方程,外力边界条件,在 上,本构条件,应变度量,内部连续条件,在 上,通过Hu-Washiz
24、u原理建立的有限元方程涉及三个张量场的近似。标量场的结果数目是非常之大。三维6、6、3，二维3、3、2。,6 多场四边形,自锁的单元是没有用处的，通过假设应变的方法建立多场四边形。设计速度-应变场以避免体积自锁和在弯曲中的剪切自锁。,假设与速度-应变场相联系的速度场是,上角标c表示速度-应变场的常数部分。,对于不可压缩材料，具有22积分点的Q4自锁。自锁是由于膨胀场与沙漏模式相联系。从公式看出沙漏模式导致了扩展速度应变的非常数部分。在构造一个速度应变插值时，它对于不可压缩材料将不发生自锁，有两种办法。,假设速度应变避免体积自锁,6 多场四边形,第一种方法导致了假设速度应变为,第二种方法中，假设
25、速度应变场给出为,假设速度应变避免体积自锁,1 可以省略前两行的非常数项；2 可以修正前两行，以使在沙漏模式中不发生体积速度应变,在构造一个速度应变插值时，它对于不可压缩材料将不发生自锁，有两种办法：,6 多场四边形,剪切自锁和它的消除,寄生剪切的影响多少与寄生体积应变是有区别的。当发生体积自锁时，结果因完全不能收敛而失败；发生伪剪切，结果收敛，但收敛的非常缓慢。因此术语超剪切刚度可能是更准确的。常常应用的术语是剪切自锁，剪力自锁使单元弯曲时太硬。,纯弯曲时，22=0,12=0，而这里12不为零，引起伪剪应力的原因是线性单元的边不能弯曲，应变能引起剪切变形，而不是弯曲变形。,6 多场四边形,剪
26、切自锁和它的消除,在纯弯曲中力矩是常数，所以合成剪切,通过平衡，弯矩的导数为剪力，然而在弯曲时，所有的单元以x-方向的沙漏模式变形，剪切是非零的。,6 多场四边形,剪切自锁和它的消除,为了消除剪切自锁，由于沙漏模式引起的剪切速度应变部分必须消失。这可以通过令公式中的 来实现。,一个更一般形式是：,假设与速度-应变场相联系的速度场是,通过消除与沙漏模式有关的剪切应变，这样在弯曲中的寄生剪切为零。,7 一点积分单元-沙漏,任何不是刚体运动的运动，并导致在单元中没有应变是一个伪奇异模式。,检验一点积分单元。当Q4单元应用一点积分时，单元是秩不足的。对于大规模的计算，因为一点积分单元的速度和精度，它是
27、受欢迎的。然而，一点积分单元要求稳定性。,由公式给出的内部节点力，其积分点对应于在参考平面内坐标系的原点,在积分点上的假设变形率给出为,对于这些模式，在积分点上速度应变为零，应力亦为零。,7 一点积分单元-沙漏,沙漏：通过沙子至上而下地流动，作为测量时间的一种工具。,7 一点积分单元-沙漏,下图中展示一种网格的沙漏模式。在竖向的一对单元像一个沙漏，基于这个原因，这一伪奇异模式常常称为是沙漏模式或者沙漏。图中的伪模式是称为x-沙漏，因为它的运动仅能沿着x-方向。,上图中展示了矩形单元的伪模式；这两种模式是在左边分别单独表示，两种模式作用的变形在右边表示。,7 一点积分单元-沙漏,4节点四边形平面
28、单元，有8个自由度，数值积分单元刚度矩阵为 Ke=BTCB刚度矩阵中合适的秩是5，刚体位移3个，8530。完全积分：4个Gauss点，B矩阵中的行数为12，至多5个是线性独立的，可以确定B中的秩5，满足8530，没有伪变形模式。一点积分：1个Gauss点，B矩阵中的行数为3，刚度矩阵中3个秩，刚体位移3个，8332，缺少2个秩，有两个沙漏模式，x-向和y-向。,7 一点积分单元-沙漏,沙漏模式是可以传播的，如图所示。这意味着，每一个单元都可以进入沙漏模式，在任何单元中没有任何应变。这种模式不吸收任何能量，并且它像传染性疾病一样扩散。当模式受到边界条件约束时，至少在几个没有应变的单元内是不可能发
29、展沙漏模式的。然而，整体沙漏模式的刚度仍然是非常小的，并且相关的频率是非常低的（比真实的最低频率还要低得多）。沙漏模式是空间不稳定的，像在第7章中描述的对流-扩散不稳定一样。,7 一点积分单元-沙漏,沙漏首先出现在流体动力学的有限差分中，通过将导数转换到等值线上进行积分计算；这一过程默认地假设导数是常数。这导致有限差分方程是等价于一点积分的四边形有限单元。,由于秩不足，离散模型的这种奇异性发生在许多其它设置中，所以包含了各种命名。例如，它们经常地发生在混合或者杂交单元中，它们在这里被称为是零能量模式或者伪零能量模式。沙漏模式是零能量模式，因为在这些模式中，在积分点上应变为零。因此，它们在离散模
30、型中不做功。,对于偏微分方程的有限元离散，伪奇异模式似乎是最准确的命名。例如，命名运动模式和零能量模式是不适合于Laplace方程。在单元中明显表现出伪奇异模式，如在Q4单元中的沙漏模型，应用这一命名。伪奇异模式是单元刚度秩缺乏的具体体现。,7 一点积分单元-沙漏,在结构分析中，当冗余度不充分时，发生伪奇异模式（几何可变体系），即结构杆件或者支撑的数量是不足以阻止部分结构的刚体运动。这些模式常常发生在三维桁架模型中。称其为运动模式，并且因为在结构和有限元之间的密切关系，它的名字也采用了伪奇异模式，其它名字是梯形、铁丝网和网格不稳定性。,7 一点积分单元-沙漏,在瞬态问题中，一个沙漏模式的演化如
31、图所示。在这个问题中，梁被支撑在单一节点上，从而方便了沙漏模式的出现。如果将梁左端的所有节点固定，模拟夹持支座，沙漏模式将不会出现。然而，对于大型网格和非线性材料，它们可能会重新出现。尽管秩缺乏的单元可能有时表现是稳定的，但是在没有一个适当的稳定性时，决不能应用它们。,7 一点积分单元-沙漏,任何假设应变的四边形单元的线性刚度矩阵是,一点积分刚度,是秩2的稳定刚度,适当增加稳定刚度矩阵(秩)阻止沙漏模式,有多点积分的假设应变的方法阻止沙漏。,也可以应用刚度和粘性沙漏控制的组合，保证物理稳定性。,7 一点积分单元-沙漏,扰动沙漏稳定 在扰动沙漏控制中，为了修复单元正确的秩，对于离散系统补充一个小
32、的修正。在不干扰等参单元线性完备性的前提下，增加秩是很重要的。一种方法是通过正交于其它三行的两行，增广一点积分单元的 B 矩阵。正交性保证了增加的行与前三行是线性独立的，并且修正项不影响线性区的反应，所以B矩阵没有失去线性完备性。,有多点积分的假设应变 一点积分一般是有利于提高计算速度；对于不光滑的应力场，有时候多点积分是必要的。例如弹性梁的问题，在梁的深度方向上仅用一个单元就可以得到非常精确的解答。然而，对于弹-塑性梁，为了得到一个精确的解答，在深度方向需要4到10个单元，因为在深度方向上应力是不光滑的。通过细划网格或者在每一个单元中增加积分点，可以增加积分点的数量，后者的优点是在不减小稳定
33、时间步长的同时增加了精度。,结论,最容易的方法是使用局部减缩积分。在局部减缩积分中，压力为不完全积分，而应力矩阵的其余部分为完全积分。应用杂交单元，增加确定应力的附加自由度（不仅是位移或速度的运动自由度）。,体积自锁源于单元没有能力准确地表示一个等体积运动。为消除自锁，1 必须设计应变场，在假设的应变场中单元的膨胀为零：对于任意保持单元体积的速度场，其应变场必须是等体积的。,引起伪剪应力的原因是线性单元边界不能弯曲，应变能引起剪切变形，而不是弯曲变形。通过消除与沙漏模式有关的剪切应变，消除在弯曲中的剪切自锁,任何不是刚体运动的运动，并导致在单元中没有应变是伪奇异模式。消除沙漏模式，补充刚度矩阵的秩，按比例施加内力，增加粘性，增加积分点,Part1Part3部分解析解与FEA解径向应力的比较,Part3部分解析解与FEA解环向应力的比较,超弹性材料过盈配合的解析解和有限元解平面应变模型,1 引言,平面应力问题不发生体积自锁,过盈量1.9mm，应力非常大，原因是平面应变模型,1 引言,橡胶和钢环的解析解与FEA解的径向应力比较,超弹性材料过盈配合的解析解和有限元解,广义平面应变平面应力问题不发生体积自锁,平面应变模型发生体积自锁,
