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1、,第四章 理想流体动力学和平面势流,流体动力学是研究流体运动而涉及力的规律及其在工程中的应用。即研究流体运动与其所受外力之间的关系，包括运动流体与固体之间相互作用的问题。流体的运动规律及其与固体之间的相互作用是通过流体运动参数之间的关系表现出来的，如压强、密度（重度）、粘滞力以及质量力等参数间的关系。,理想流体动力学理想流体不具有粘性，所以流体运动时不产生切应力，在作用面的表面力只有压应力，即动压强。,理想流体的动压强特性与静压强的特性完全一样。（1）动压强的方向总是沿着作用面的内法线方向。（2）理想流体中任一点的动压强方向大小与其作用面的方位无关，即一点上各方向的动压强大小均相等，只是位置坐
2、标和时间的函数。,第一节 理想流体的运动微分方程欧拉运动微分方程,一 理想流体的运动微分方程欧拉运动微分方程：微元分析法,流体力学属于牛顿经典力学的范畴，因此流体运动除了符合三大基本守恒定律之外，还应满足所有的牛顿力学原理和定律。,第一节 理想流体的运动微分方程欧拉运动微分方程,一 理想流体的运动微分方程欧拉运动微分方程：微元分析法,同理,表面力：沿x轴作用于ABCD和EFGH面上的压力分别为,质量力：X轴方向的质量力,理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程。当速度为零时，欧拉运动微分方程即为流体的平衡微分方程欧拉平衡微分方程式。,将加速度表示式展开，,可压缩均质流体密度 不为常数，必须
3、加两个方程式（1）可压缩流体的连续性微分方程式（2）热力学中的气体状态方程,不可压缩均质流体密度 为常数，单位质量力是已知的，只有四个未知函数，必须加方程式：不可压缩流体的连续性微分方程式，为求四个未知函数提供了充分必要条件。,二 葛罗米柯（又称兰姆）运动微分方程,是欧拉运动微分方程的另一数学表达式，在物理本质上没有什么改变，仅把角转速引入了方程式中。,二 葛罗米柯（又称兰姆）运动微分方程,二 葛罗米柯（又称兰姆）运动微分方程,有势流有涡流,若作用于流体上的单位质量力 是有势的，势场中的力在x、y、z坐标轴上的分量可用某一函数W（x，y,z）的相应坐标轴的偏导数来表示。,三 理想流体运动微分方
4、程的积分 伯努力方程（能量方程）,葛罗米柯运动微分方程只有在质量力是有势的条件下才能积分。,W称为力函数或势函数，具有势函数的质量力称有势的力，如重力和惯性力。,（1）若流体是不可压缩均质的（2）作用于不可压缩均质流体的质量力是有势的条件下的,葛罗米柯运动微分方程,三 理想流体运动微分方程的积分 伯努力方程（能量方程）,各式分别乘以坐标任意增量dx，dy，dz，并将它们相加，得,恒定流,当行列式值等于零时，上式即可积分，积分后，得,即为不可压缩均质理想流体恒定流的运动方程，又称伯努利方程。伯努利方程又称能量方程，它说明在流场中任一点单位质量流体的位势能、压势能和动能的总和保持一常数值，而这三种
5、机械能可以相互转化。,（1）不可压缩均质的理想流体，密度（2）作用在流体上的力是有势的（3）流体运动是恒定流（4）行列式,三 理想流体运动微分方程的积分 伯努利方程（能量方程）,伯努利方程必须满足下列条件：,行列式,三 理想流体运动分方程的积分 伯努利方程（能量方程）,静止流体,为有势流，说明伯努利方程适用于整个有势流，即流场中所有各点的总机械能保持不变，不限于在同一条流线上。,流线方程，说明伯努利方程适用于有涡流，但限于同一条流线上各点的总机械能保持不变；不同流线上各点的总机械能则是不同的。,行列式,三 理想流体运动分方程的积分 伯努力方程（能量方程）,涡线方程，说明伯努利方程适用于有涡流，
6、但限于同一条涡线上各点。,螺旋流，是以流线和涡线相重合为特征，伯努利方程适用于整个螺旋流。,对整个有势流或有涡流同一流线上的任意两点,根据质量力的性质，伯努利方程可以具有不同的形式：,1 绝对运动的伯努利方程,作用于流体上的质量力只有重力，取z轴铅锤向上，,不可压缩均质理想流体恒定流的绝对运动的伯努利方程流体的固体边界对地球没有相对运动的伯努利方程，它是工程流体力学中普遍应用的方程之一。,根据质量力的性质，伯努利方程可以具有不同的形式：,1 绝对运动的伯努利方程,（2）相对运动：质点相对于动坐标系所作的运动，相对速度,2 相对运动的伯努利方程,作用于流体上的质量力只有重力和离心惯性力的情形。,
7、（1）液体质点的牵连运动：固结在动坐标系随叶轮旋转而对于定坐标系来讲圆周运动，圆周速度u,上述两种速度的合成速度为绝对速度,2 相对运动的伯努利方程作用于流体上的质量力只有重力和离心惯性力的情形。,对同一流线上任意两点,不可压缩均质理想流体恒定流的相对运动的伯努利方程，即流体的固体边界对地球有相对运动的伯努利方程。,第二节 理想流体元流的伯努利方程,一 理想流体元流的伯努利方程,元流分析法推导出不可压缩均质理想流体恒定元流的伯努利方程,元流段的动能增量为：,重力所作的功为,压力所作的功为,由动能定理,对于单位重量流体来讲，各项除以,不可压缩均质理想流体恒定元流的伯努利方程（能量方程）,二 理想
8、流体元流的伯努利方程的物理意义和几何意义,物理意义：元流各过流断面上单位重量流体所具有的总机械能（位能、压能、动能之和）沿流程保持不变；同时，表示了元流在不同过流断面上单位重量流体所具有的位能、压能、动能之间可以相互转化的关系。它反映了能量守恒又可转化的定理在工程流体力学中的特殊表示形式。,单位位能、单位压能、单位势能,单位动能,位置水头、压强水头、测压管水头、速度水头,几何意义：元流各过流断面上总水头H（位置水头、压强水头、速度水头之和）沿流程保持不变；同时，表示了元流在不同过流断面上位置水头、压强水头、速度水头之间可以相互转化的关系。它反映了能量守恒又可转化的定理在工程流体力学中的特殊表示
9、形式。,（1）总水头线为一水平线，沿程保持不变；（2）测压管水头线可以上升，亦可下降,三 皮托管,应用伯努利方程，通过测量点压强的方法来间接测出点速度的大小。,三 皮托管,皮托管可由一根测压管和一根测速管组成。测速时，流体的速度接近探头时逐渐减低，减至探头端点处速度为零。,速度为零的端点称为驻点，该点处的压强称为驻点压强或滞止压强,c 皮托管校正系数,第三节 恒定平面势流,按流体微元有无转动运动，将流体运动分为有势流和有涡流。,严格讲，只有理想流体的运动才有可能是有势流。理想流体若从静止状态开始运动，在流动后速度环量仍是零，这种流动将是有势流。,实际流体的运动只有在切应力比其他作用力小到可以忽
10、略不计的情况，才可作为理想流体来处理。,目前解决实际流体运动的方法之一，是将流场划分为两个区间：（1）紧靠固体边界的粘性起作用的区间：粘性流体边界层理论（2）不受固体边界阻力影响的，粘性不起作用的区间：无粘性理想流体势流理论,一 速度势的性质,u在x轴方向上的速度分量在m方向的投影,一 速度势的性质,1 速度势 对任意方向m的偏导数，等于速度u在该方向的速度分量um。,2 速度势相等的点所连成的空间曲面称等势面，与流线相正交，即为过流断面,等势面的微分方程,等势面的积分形式,dx，dy，dz是等势面上微小线段dl在x，y，z轴的投影。由于两个矢量的标量积为零，所以等势面与流线相正交，即为过流断
11、面。对平面势流来讲，等势面与平行平面的交线是等势线，显然与流线正交。,3 速度势沿流线s方向增大,设s方向为流线的方向，,4 速度势满足拉普拉斯函数，是调和函数,不可压缩均质理想流体恒定势流的基本方程，在数学上称为拉普拉斯方程，在数学分析中称调和函数，所以速度势是调和函数。,二 流函数及其性质,流体平面运动的流线方程,不可压缩均质流体平面运动的连续性方程,流函数,满足连续性方程的任何不可压缩均质流体的平面运动必然有流函数的存在,二 流函数及其性质,1 流函数 对任意方向m的偏导数，等于速度u在该方向顺时针旋转90后的 方向的速度分量,2 流函数值相等的点所连成的曲线称等流函数线，即为流线。,3 流函数值沿流线s方向逆时针旋转90后的n方向增大。,4 任意两流线的流函数之差，等于这两条流线间所通过的单宽流量。,5 平面势流的流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。,三 流函数与速度势的关系,1 流函数与速度势为共轭函数。,在数学分析中称柯西黎曼条件，满足这种关系的两个函数称为共轭函数。,2 等流函数线与等速度势线互相垂直，即流线和等势线互相垂直。,
