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1、理想流体的有旋流动和无旋流动,机械工程系,微分形式的连续方程,研究对象 边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。形心坐标：x，y，z三方向速度：vx，vy，vz密度：,x轴方向流体质量的流进和流出,左面微元面积流入的流体质量：,右面微元面积流入的流体质量：,x轴方向流体的净流入量：,y轴方向流体质量的流进和流出,下面微元面积流入的流体质量：,上面微元面积流入的流体质量：,y轴方向流体的净流入量：,z轴方向流体质量的流进和流出,后面微元面积流入的流体质量：,前面微元面积流入的流体质量：,z轴方向流体的净流入量：,每秒流入微元六面体的净流体质量,x轴方向流体的净流入量：,y轴方向流体的净流入量：,
2、z轴方向流体的净流入量：,微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变化,微分形式的连续方程,由,得,其它形式的连续方程,矢量形式：,可压缩流体的定常流动：,不可压缩流体的定常或非定常流动：,其它形式的连续方程,二维可压缩流体的定常流动：,二维不可压缩流体的定常或非定常流动：,流体微团运动用图,E,*移动*转动*变形 线变形 角变形,流体微团运动的分解,移动,X方向速度：vxY方向速度：vyZ方向速度：vz,线变形运动,X方向速度：Y方向速度：Z方向速度：,角变形运动,Z方向速度：,角变形运动,X方向速度：Y方向速度：Z方向速度：,旋转运动,Z方向速度：,旋转运动,X方向速度：Y方向速度：Z方
3、向速度：,E点的速度,第一项：平移运动第二项：线变形运动第三项：角变形运动第四项：旋转运动,有旋流动 无旋流动,有旋流动：流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动。,无旋流动：流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动。,理想流体的运动微分方程,理想流体的运动微分方程,研究对象 边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。形心坐标：x，y，z三方向质量力：fx，fy，fz压强：p,理想流体的运动微分方程,流体 微团在x轴方向的受力,左面微元表面中心的受力：,质量力：,x轴方向的运动微分方程：,右面微元表面中心的受力：,理想流体的运动微分方程,理想流体的运动微分方程,流体 微团在y轴方向的受
4、力,下面微元表面中心的受力：,质量力：,y轴方向的运动微分方程：,上面微元表面中心的受力：,理想流体的运动微分方程,流体 微团在z轴方向的受力,后面微元表面中心的受力：,质量力：,z轴方向的运动微分方程：,前面微元表面中心的受力：,理想流体的运动微分方程,理想流体的欧拉运动微分方程组,或,理想流体的运动微分方程,理想流体的欧拉运动微分方程组,或,理想流体的运动微分方程,兰姆运动微分方程组,理想流体的运动微分方程,兰姆运动微分方程组,欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,流体微团运动的分解,欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,常见的欧拉微分方程的积分 定常无旋流动的欧拉积分 定常流动的伯努利积
5、分,两个积分的前提条件 流动是定常的，质量力是有势的，流体不可压缩，流体是正压流体，,欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,前提条件下的兰姆运动微分方程,欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,欧拉积分无旋流动：由兰姆方程得，,积分得，,欧拉积分式,欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,欧拉积分,欧拉积分式,物理意义：非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在 有势的质量 力作用下作无旋流动时，流场中任一点的单位质量流体质量 力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种机 械能可以相互转换。,欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,伯努利积分有旋流动的积分需沿某条流线求积分。由兰姆方程得，,
6、欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,伯努利积分,沿流线积分得，,伯努利积分式,欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,伯努利积分,伯努利积分式,物理意义：非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在 有势的质量 力作用下作有旋流动时，沿同一条流线上各点单位质量流体 质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三 种机械能可以相互转换。,欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,伯努利方程 质量力仅仅是重力，不可压缩流体，,伯努利方程,物理意义：在重力作用下不可压缩理想流体作定常流动时，对于有旋流 动，沿同一条流线单位质量流体的位势能、压强势能和动能 的总和保持不变；对于无旋流动，在整个流场中总
7、机械能保 持不变；,理想流体流动的定解条件,流体微团运动的分解,理想流体流动的定解条件,定解条件 起始条件 边界条件,理想流体流动的定解条件,起始条件起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。,定常流动：无需起始条件。非定常流动：必须起始条件。,理想流体流动的定解条件,边界条件任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件。,固体壁面静止，,举例：固体壁面上的运动学条件：,不同流体交界面上的运动学条件：,不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：,涡线 涡管 涡束 涡通量 速度环量,流体微团运动的分解,涡线 涡管 涡束 涡通量 速度环量,涡线 一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该
8、点的流体微团的角速度 的方向相重合。,涡线的微分方程,涡线,涡线 涡管 涡束 涡通量 速度环量,涡管 在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管。,涡束 涡管中充满着作旋转运动的流体称为涡束。,涡管,涡线 涡管 涡束 涡通量 速度环量,涡通量 旋转角速度的值 与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积 的乘积的两倍称为微元涡管的涡通量。,有限截面涡管的涡通量,涡管,涡线 涡管 涡束 涡通量 速度环量,速度环量 速度在某一封闭周线切线上的分量沿该粉笔周线的线积分称为速度环量。,注意：速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，而且与
9、线积分的绕行方向有关规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向。,斯托克斯定理 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理,流体微团运动的分解,斯托克斯定理 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理,斯托克斯定理 微元封闭周线的斯托克斯定理：沿微元封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围的面积的涡通量。,斯托克斯定理 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理,斯托克斯定理 平面上有限单连通区的斯托克斯定理：沿包围平面上有限单连通区域的封闭周线的速度环量等于通过该区域的涡通量。,斯托克斯定理 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理,斯托克斯定理 空间表面上的斯托克斯定理：沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过张于该封闭周线上的空间表面的涡通量。,斯托
10、克斯定理 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理,斯托克斯定理 多连通区域的斯托克斯定理：通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速度环量总和之差。,斯托克斯定理 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理,汤姆孙定理 正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。,斯托克斯定理 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理,亥姆霍兹旋涡定理 亥姆霍兹第一定理 在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。亥姆霍兹第二定理 正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。亥姆霍兹第三定理 在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管
11、的强度不随时间而变化，永远保持定值。,有势流动 速度势 流函数 流网,流体微团运动的分解,有势流动 速度势 流函数 流网,有势流动 速度势有势流动 速度势存在的条件 不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在，故无旋流动也称有势流动。,上式是 成为某一函数 的全微分的必要且充分的条件，函数 称为速度势函数。,有势流动 速度势 流函数 流网,有势流动 速度势 速度势函数 势函数 的全微分，,势函数 的微分方程,有势流动 速度势 流函数 流网,有势流动 速度势 速度势函数的性质（1）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数,（2）在有势流动中，沿一曲线的速度环量等于曲线终点与
12、起点的 速度势之差。,（3）在有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程。,有势流动 速度势 流函数 流网,流函数 流函数存在的条件 不可压缩流体的平面流动。,上式是 成为某一函数 的全微分的必要且充分的条件，函数 称为速度势函数。,有势流动 速度势 流函数 流网,流函数 流函数 流函数 的全微分，,流函数 的微分方程,有势流动 速度势 流函数 流网,流函数 流函数的性质（1）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数,（2）在平面流动中，两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两 条流线上的流函数之差。,（3）在平面流动中，流函数满足拉普拉斯方程。,有势流动 速度势 流函数 流网,流网 速度势 和流函数 的关系,等势线簇 和流线簇 相互垂直。,有势流动 速度势 流函数 流网,流网 流网 在平面上，等势线簇和流线簇构成的正交网络，称为流网。,
