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1、第5章 IIR数字滤波器的理论与设计,5.1 数字滤波器的基本概念 5.2 模拟滤波器的设计 5.3 IIR数字滤波器的设计,2023/7/8,2,5.1 数字滤波器的基本概念,5.1.1 数字滤波器的分类 1、按处理方式分 经典数字滤波器现代滤波器,2023/7/8,3,2、按滤波频率分 按照频率的选择不同可以分为低通、高通、带通和带阻等滤波器。,2023/7/8,4,3、按网络结构分 无限脉冲响应基本网络结构的滤波器，简称IIR滤波器；有限脉冲响应基本网络结构的滤波器，简称FIR滤波器。IIR滤波器：FIR滤波器：,2023/7/8,5,5.1.2 数字滤波器的技术要求和设计步骤 1、数字
2、滤波器的技术要求 假设数字滤波器的频谱函数H(ej)用下式表示 对于选频滤波器，技术要求由幅度频谱给出，相位频谱一般不做要求。,2023/7/8,6,考虑到复杂性和成本，为了满足合理的滤波器指标，只可能在一定的误差容限内去逼近理想情况。这里所讲的误差容限主要包含以下几方面的内容：(1)通带内不一定完全水平；(2)阻带内不一定绝对衰减到零；(3)通带与阻带之间存在一定宽度的过渡带。,2023/7/8,7,通带截止频率,阻带截止频率,2023/7/8,8,滤波器设计时，用dB数来表示通带内和阻带内允许的衰减，通带内允许的最大衰减用符号p表示，阻带内允许的最小衰减用符号s表示当幅度下降到 时，=c，
3、计算此时的衰减数为称c为3dB通带截止频率，p、c和s统称为边界频率，它们是滤波器设计的重要技术指标。,2023/7/8,9,5.2 模拟滤波器的设计,模拟滤波器模型包括巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器等等。在设计模拟滤波器时，总是首先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通转换成所希望类型的滤波器。,2023/7/8,10,5.2.1 模拟低通滤波器的设计指标 模拟低通滤波器的设计指标有p、p、s和s。p和s可表示为 以上技术指标可以用图表示。在图中c就表示3dB截止频率。,2023/7/8
4、,11,当已知模拟低通滤波器的设计指标后，就能够描绘出上面的波形图，进而得到 和Ha(s)，这样模拟低通滤波器的结构就能够确定了。5.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计 巴特沃斯滤波器是根据幅度频谱在通频带内具有最平坦特性而定义的滤波器，在通带和阻带内的幅度频谱始终是频率的单调下降函数。,2023/7/8,12,巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数可以用下式 表示 式中，N表示滤波器的阶数滤波器的幅度频谱随着滤波器阶次N的增加而变得越来越好。巴特沃斯低通滤波器的主要特性(1)对于所有N，|Ha(j0)|1；(2)对于所有N，(3)是的单调下降函数；(4)随着阶数N的增大而更接近于理想低通滤波器。,2
5、023/7/8,13,巴特沃斯低通滤波器的设计步骤：,2023/7/8,14,设计思想：用模拟滤波器设计数字滤波器,s 平面 z 平面,模拟系统 数字系统,H(z)的频率响应要能模仿 Ha(s)的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆,因果稳定的 Ha(s)映射到因果稳定的 H(z)，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内|z|1,5.3 IIR数字滤波器的设计,2023/7/8,15,（1）脉冲响应不变法；（2）双线性变换法。,设计方法：,2023/7/8,16,数字滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应,变换原理,T抽样周期,5.3.1 利用
6、脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,2023/7/8,17,设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示 将Ha(s)进行逆拉普拉斯变换就得到模拟系统的单位冲激响应 对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到,2023/7/8,18,对h(n)进行Z变换，就可以得到数字滤波器的系统函数，可表示为 Ha(s)的极点si映射到Z平面，其极点变为，系数Ai不变。,2023/7/8,19,以采样信号为桥梁，讨论S平面上任意点到Z平面上的映射关系。进行拉普拉斯变换，可得 进一步表示为,2023/7/8,20,拉普拉斯变换与相应的序列h(n
7、)的Z变换之间的映射关系可用下式表示通常要求所设计的系统是因果稳定 上式给出确定H(z)的具体过程：首先确定模拟滤波器系统函数Ha(s)，然后在S平面上沿虚轴（s=j），按照周期s=2/T对Ha(s)进行延拓，将S平面映射到Z平面，就得到了H(z)。,2023/7/8,21,根据S平面和Z平面的定义，有关系因此得到 需要注意 j轴上(-/T，/T)映射到单位圆上，也就是说，当模拟频率在(-/T，/T)内变化时，对应于数字频率的变化范围是(-，)，T，即和之间成线性关系。,2023/7/8,22,2023/7/8,23,如果ha(t)的频带宽度比/T大，则会在/T的奇数倍附近产生频率混叠，映射到
8、Z平面，表现为在(2k+1)的位置发生频率混叠。这就是脉冲响应不变法存在的问题，即频率混叠现象，,2023/7/8,24,不发生频率混叠的情况时，需要满足条件可以得到用脉冲响应不变法所设计的数字滤波器虽然会引起频率混叠现象，但它却能很好地保持模拟和数字滤波器之间的线性关系，即=T，因此，在不考虑频率混叠现象的情况下，用这种设计数字滤波器方法可以很好地重现原模拟滤波器的频率特性。,2023/7/8,25,一般方法:先，再对 抽样，使，最后 H(Z)=Zh(n)，一般说来过程复杂。,2023/7/8,26,方法的简化 设Ha(S)只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次，Ha(S)可展成如下的部
9、分公式:,因此，,2023/7/8,27,5.3.2 利用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 为了克服频率混叠现象，提出了双线性变换法，其处理过程分为两步：第一步，将整个模拟频率范围从(-，)压缩到(-/T，/T)之间，这一步也被称为非线性频率压缩；第二步，利用实现从S平面到Z平面的映射。,2023/7/8,28,设模拟滤波器的系统函数为Ha(s)，其中s=j，利用正切变换实现非线性频率压缩，得到Ha(s1)，其中s1=j1，和1之间的关系可以表示为 当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到，实现了S平面上整个虚轴完全压缩到S1平面上虚轴的(-/T，/T)之间的转换。,2023/7
10、/8,29,利用脉冲响应不变法进行第二次映射，将S1平面映射成Z平面，则,2023/7/8,30,采用这种变换方法不可能产生频率混叠现象，如果Ha(s)因果稳定，转换成的H(z)也是因果稳定。当考虑模拟频率和数字频率之间的关系，可以得到,2023/7/8,31,2023/7/8,32,双线性变换法克服了脉冲响应不变法的多值对应而产生的混叠现象。然而为此付出的代价是频率映射发生了非线性畸变，这将直接影响数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应的相似程度，造成数字滤波器设计的失真。,2023/7/8,33,基于上述分析，利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤可以总结如下。(1)确定数字低通
11、滤波器的技术指标：通带截止频率p和衰减p，阻带截止频率s和衰减s。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。这里主要是对边界频率p和s进行转换，对通带衰减p和阻带衰减s不转换。采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为：=T 采用双线性变换法，边界频率的转换关系为,2023/7/8,34,(3)按照模拟低通滤波器的技术指标通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s设计模拟低通滤波器。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从S平面采用适当的映射关系转换到Z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。如果采用脉冲响应不变法如果采用双线性变换法,2023/7/8,35,5.3.
12、3 利用模拟滤波器设计IIR数字高通、带通和带阻滤波器 对于数字高通、带通和带阻滤波器的设计，可以借助于模拟低通滤波器设计方法，通过频率变换，设计一个所需类型的模拟滤波器，最后再通过双线性变换，将其转换成所需类型的数字滤波器，具体设计步骤如下：(1)确定所需类型数字滤波器的技术指标。(2)将所需类型数字滤波器技术指标转换成对应模拟滤波器的技术指标，转换公式为,2023/7/8,36,(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。(4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6)采用双线性变换法，将模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。,
