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1、,教学目的:不定积分换元法教学重点:凑微分法教学难点:第二类换元法,第二讲 换元法,主视图,问题,?,解决方法,利用复合函数,设置中间变量.,过程,令,换元,换元以后再还原,求导数验证结果,凑微分法,第一类换元公式(凑微分法),说明,使用此公式的关键在于将,定理1,难,易,凑微分法,证明,公式()说明:当积分,不便计算时,可考虑将,g(x)化为,的形式,那么,例1 求,解(一),解(二),解(三),例题,例2 求,解,一般地,例题,例3 求,解,例题,例4 求,解,例题,例5 求,解,例题,例6 求,解,例题,例7 求,解,例题,例8 求,解,例题,例9:求,解:原式,例题,例10:求,解:原
2、式,解:原式=,例11:,例题,例12 求,解,例题,例13 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分.,例题,例14 求,解,例题,例15:求,解(一),例题,解(二),类似地可推出,例题,思考:以下几种形式的积分,如何用凑微分法求积,思考,解,例16 设 求.,令,例题,例17 求,解,换元积分法技巧性强,需要多作练习,不断归纳,积累经验,才能灵活运用,例题,通过以上例题,可以归纳出如下一般凑微分形式:,凑微分公式,;,;,;,凑微分公式,回主视图,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,再用“凑微分”,难,易,第二类换元法,证:只要证右端的导数等于左端的被
3、积函数,定理2,由复合函数与反函数的导数,有,第二类换元法,第二类积分换元公式,注:1)保证代换x=(t)的单调连续(有反函数);,代换 x=(t),一起换。,利用第二类换元法求不定积分的关键 在于选择适当的变量代换第二类换元法常用于求无理函数的积分.,注意,被积函数含有根式,解:,注:一般地说,当被积函数含有形如:,的根号时,可作代换,有理根式积分,,于是,该例可利用凑微分法求解,而且更简洁:,例题,被积函数含有,或,例18:求,解:被积函数含有,为此可令,化去根式 此时,于是,二次根式,由于,,故,故,也可用图解法(右图)直接得到:,例题,例19 求,解,令,例题,例20:求,解,令,例题
4、,例18 求,解,令,例题,说明(3):,以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下:当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的,需根据被积函数的情况来定.,说明(2),(三角代换很繁琐),令,解,例题,例20 求,解,令,例题,说明(3),当分母的阶较高时,可采用倒代换,令,解,例题,例22 求,解,令,(分母的阶较高),例题,倒代换:,例题,本节得到的一些积分结果常作公式使用,扩充积分公式,习题 42,1 填空:,习题,3 设,,求,4 求下列不定积分:,(1),(2),(3),(4),(8),(7),(6),(5),(9),(10),习题,5 写出计算下列积分时所需之变换:,(1),(2),(4),(3),6 求下列不定积分:,(4),(3),(2),(1),习题,回主视图,