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1、信道与信道容量,第三章,2,3.1 信道分类和表示参数3.2 离散单个符号信道及其容量3.3 离散序列信道及其容量3.4 连续信道及其容量,内容,3,信道,设信道的输入X=(X1,X2 Xi,),Xi a1 an 输出Y=(Y1,Y2 Yj,),Yj b1 bm信道转移概率矩阵p(Y|X)：描述输入/输出的统计依赖关系,反映信道统计关系,信 道,X,Y,p(Y|X),4,无干扰(无噪声)信道,无干扰(无噪声)信道信道的输出信号Y与输入信号X之间有确定的关系Y=f(X),已知X后就确知Y转移概率:,5,有干扰无记忆信道,有干扰无记忆信道信道的输出信号Y与输入信号X之间没有确定的关系,但转移概率满
2、足:,有干扰无记忆信道可分为:二进制离散信道离散无记忆信道离散输入、连续输出信道波形信道,6,离散无记忆信道DMC,信道输入是n元符号Xa1,a2,an信道输出是m元符号Yb1,b2,bm转移矩阵已知X,输出Y统计特性,7,3.2 离散单个符号信道及其容量,8,信道容量,平均互信息I(X;Y)：接收到符号Y后平均每个符号获得的关于X的信息量。,信道的信息传输率就是平均互信息,9,信道容量,信道容量C：最大的信息传输率,单位时间的信道容量：,10,信道容量的计算,对于一般信道,信道容量计算相当复杂,我们只讨论某些特殊类型的信道：离散信道可分成：无干扰(无噪)信道无嗓无损信道有噪无损信道 无噪有损
3、信道 有干扰无记忆信道有干扰有记忆信道,11,无干扰离散信道,无嗓无损信道,有嗓无损信道,无嗓有损信道,12,3.2.1 对称DMC信道,对称离散信道：对称性:每一行都是由同一集p1,p2,pm 的诸元素不同排列组成输入对称每一列都是由集q1,q2,qn的诸元素不同排列组成输出对称,满足对称性,所对应的信道是对称离散信道。,13,对称DMC信道,信道矩阵,不具有对称性,因而所对应的信通不是对称离散信道。,14,对称DMC信道,若输入符号和输出符号个数相同,都等于n,且信道矩阵为,此信道称为强对称信道(均匀信道)信道矩阵中各列之和也等于1,15,对称DMC信道,对称离散信道的平均互信息为,16,
4、对称DMC信道,对称DMC信道的容量：,上式是对称离散信道能够传输的最大的平均信息量,它只与对称信道矩阵中行矢量p1,p2,pm 和输出符号集的个数m有关。,强对称信道的信道容量：,17,设二进制对称信道的输入概率空间信道矩阵：,BSC信道容量,18,19,当p固定时,I(X,Y)是的 型上凸函数。,I(XY),BSC信道容量,1-H(p),I(X,Y)对存在一个极大值。,BSC信道容量,20,p,C,当固定信源的概率分布时,I(X,Y)是p的 型 下凸函数。,信道无噪声,当p=0,C=10=1bit=H(X),当p=1/2,信道强噪声,BSC信道容量,BSC信道容量,21,信道容量,定理：给
5、定转移概率矩阵P后,平均互信息I(X;Y)是输入信源的概率分布p(ai)的 型上凸函数。,定理：平均互信息I(X;Y)是信道传递概率p(bj|ai)的 型凸函数。,信道容量是完全描述信道特性的参量,是信道能够传输的最大信息量。,22,当信源输入符号的速率为rs(符/秒),信道容量,BSC信道容量,实际信息传输速率Rt为,进入信道输入端的信息速率,23,例BSC信道如图,rs=1000符号/秒,错误传递概率p=0.1求:信道容量,0,Y,0.9,1,0.1,输入符号等概时有最大信息传输速率,信道实际信息传输速率,24,串联信道,例3-3 设有两个离散BSC信道,串接如图,两个BSC信道的转移矩阵
6、为:,X0,0Z,Y,1,1,1-p,1-p,1-p,p,串联信道的转移矩阵为:,1-p,p,25,串联信道,X0,0Z,Y,1,1,求得:,在实际通信系统中,信号往往要通过几个环节的传输,或多步的处理,这些传输或处理都可看成是信道,它们串接成一个串联信道。,p,p,1-p,1-p,1-p,1-p,26,串联信道,由信息不增原理,信道2,信道m,信道1,可以看出,串接的信道越多,其信道容量可能会越小,当串接信道数无限大时,信道容量可能会趋于0,X,Y,Z,27,3.2.3 准对称DMC信道,准对称信道转移概率矩阵P是输入对称而输出不对称将信道矩阵P的列划分成若干个互不相交的子集mk,由mk为列
7、组成的矩阵Pk是对称矩阵。,它们满定对称性,所以P1所对应的信道为准对称信道。,28,准对称信道的信道容量,准对称信道,准对称信道容量,29,准对称信道的信道容量,当输入分布为等概率时：,其中n是输入符号集的个数,(p1,p2,pm)为准对称信道矩阵中的行元素。设矩阵可划分成r个互不相交的子集。Nk是第k个子矩阵Pk中行元素之和,Mk是第k个子矩阵Pk中列元素之和。,30,例：设信道传递矩阵为,计算得：N1=3/4,N2=1/4,M1=3/4,M2=1/4,将它分成,31,3.2.4 一般DMC信道,定理：一般离散信道的平均互信息I(X;Y)达到极大值的充分和必要条件是输入概率p(ai)必须满
8、足:I(ai;Y)=C 对于所有ai其p(ai)0 I(ai;Y)C 对于所有ai其p(ai)=0,上式说明：当信道的平均互信息I(X;Y)达到信道容量时,输入符号概率集p(ai)中每一个符号ai对输出端Y提供相同的互信息,只是概率为0的除外。,32,3.3 离散序列信道及容量,33,离散序列信道及容量,设信道的输入X=(X1,X2 Xi,),Xi a1 an 输出Y=(Y1,Y2 Yj,),Yj b1 bm,信 道,X,Y,p(Y|X),对于无记忆离散序列信道,其信道转移概率为,仅与当前输入有关。若信道是平稳的,34,定理：若信道的输入和输出分别是L长序列X和Y,且信道是无记忆的,亦即信道传
9、递概率为,则存在,定理：若信道的输入和输出分别是L长序列X和Y,且信源是无记忆的,亦即,则存在,35,离散序列信道及容量,若信源与信道都是无记忆的,L次扩展信道的信道容量,当信道平稳时:,一般情况下:,36,例3-7.BSC信道二次扩展,00,X,01,10,11,00,01,10,11,Y,转移概率矩阵,2次扩展信道的信道容量,若 p=0.1 则 C2=(20.938)bit/序列=1.062bit/序列 C1=0.531bit/序列,37,独立并联信道,设有L个信道,它们的输入、输出分别是：X1,X2XL；Y1,Y2YL,信 道,信 道,信 道,p(Y1|X1),p(YL|XL),p(Y2
10、|X2),每一个信道的输出Yl只与本信道的输入Xl有关,与其他信道的输入、输出都无关。独立并联信道的信道容量,X1,X2,XL,Y1,Y2,YL,38,3.3 连续信道及其容量,39,连续信道及其容量,连续信道的容量不容易计算。当信道为加性连续信道时,情况简单一些。设信道的输入和输出信号是随机过程x(t)和y(t)y(t)=x(t)+n(t),n(t)：信道的加性高斯白噪声,一个受加性高斯白噪声干扰的带限波形信道的容量,由香农(1948)正式定义：,信 道,n(t),x(t),y(t),40,连续信道及其容量,高斯白噪声加性信道单位时间的信道容量,这就是著名的香农公式,41,习题,3-13-33-43-10,
