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1、第一节 函数与极坐标,一、区间和邻域,二、函数,三、初等函数,四、函数的性质,五、极坐标,一、区间和邻域,设实数a 和 b，取ab,数集,x|axb,称为开区间，记（a，b），即,（a，b）=x|axb.,数集,x|axb,称为闭区间，记a，b，即,a，b=x|axb.,从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段.,类似地,a，b)=x|axb，(a，b=x|axb，,称为半开半闭区间.,以上区间都称为有限区间，区间长度为b a.,此外还有所谓无限区间,引进记号+(读作正无穷大)和-(读作负无穷大),例如,a，+)=x|ax,(-，b)=x|xb.,全体实数的集合R也可记作(,+),它也是无穷
2、区间.,设是任一正数,则开区间(a,b)称为点a 的 邻域，记为,U(a,)=x|xa|.,点集,x|0|xa|,称为点a 的去心邻域,如图,记作,x|0|xa|,在平面直角坐标系下点集,二、函数,定义1 设D是R的非空子集，则从D到R的对应关系f 称为定义在D上的函数，记为,y=f(x)，xD.,其中x称为自变量，y称为因变量,D称为函数 f 的定义域，记为Df.集合Rf=y|y=f(x)，xD 为函数 f 的值域.,(x，y)|y=f(x)，xD,称为函数 y=f(x)，xD的图像,例1 求函数 的定义域，值域，并画出其图像.证明数列,解 定义域,1 x2 0，即 D=1,1.,值域 Rf
3、=y|y0.图像为半圆(如图),例2 绝对值函数,定义域 D=(，+).,值域 Rf=0，+，图像如图.,例3 符号函数,图像如图.,例4 取整函数,y=x，,表示不超过x的最大整数.图像如图.,如1.25=1，3.5=4，1=1.,从例2到例4看到，有时一个函数要用几个式子来表示.这种在自变量的不同变化范围中，对应关系用几个不同式,子表示的函数，称为分段函数.,三、初等函数,1.基本初等函数.,初等数学对下面六类函数的定义域、值域及函数的性态进行了讨论：,常数函数 y=C(C是常数)；,幂函数 y=xa(aR);,指数函数 y=ax(a 0，且a1);,对数函数 y=logax(a 0，且a
4、1);,三角函数 y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx；,反三角函数 y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx.,这六类函数统称为基本初等函数.,2.反函数,在函数定义中，如果 f 是D到R的一一映射，则它的逆映射f-1称为函数的反函数，记为x=f-1(y).显然 f 1的定义域为Rf，值域为D.,例如，函数y=x3，xR是一一映射，所以它的反函数存在，其反函数为,习惯上写为,yR.,xR.,一般地，y=f(x)，xD的反函数记成 y=f-1(x)，xf(D).把函数 y=f(x)和它的反函数 y=f-1(x)的图像画在同一坐标平面上，这两个图像关于直线是对
5、称的(如图).,函数 g 在D上的值域 g(D)必须含在 f 的定义域内，即g(D)Df.否则，不能构成复合函数.,3.复合函数,设函数 y=f(u)的定义域为D1，函数u=g(x)在D上有定义，且 g(D)D1，则由下式确定的函数,y=f g(x)，xD,函数g与函数 f 能构成复合函数的条件是:,称为由函数 y=f(u)和函数u=g(x)构成的复合函数，它的定义域为D，变量u称为中间变量.,两个及多个函数能够构成复合函数的过程叫函数的复,合运算.,复合函数y=arcsin(x2-1)的定义域为,例5 函数 y=arcsin(x2 1)可以看成是函数,y=f(u)=arcsinu和u=g(x
6、)=x2 1,y=f(u)的定义域U0=u|u|1,u=g(x)的定义域D=x|x+，,复合而成的函数.,4.四则运算,设函数f(x),g(x)的定义域分别为D1,D2,记 D=D1D2,且D(是空集),在D上,通过加、减、乘、除四则运算可定义新的函数,f(x)g(x)f(x)g(x),(g(x)0).,5.初等函数,由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的可用一个式子表示的函数称为初等函数.,例如，,等都是初等函数.,四、函数的性质,设函数f(x)的定义域为D.如果存在数M1，使得对任一xD都有,则称函数f(x)在D上有上界，M1称为函数f(x)在D上的一个上界.,如果存在
7、数M2，使得对任一xD都有,f(x)M1,f(x)M2,则称函数f(x)在D上有下界，M2称为函数f(x)在D上的一个下界.,如果存在数M，使得对任一xD都有,f(x)|M|,则称函数 f(x)在D上有界.如果这样的M不存在，就称函数,f(x)在D上无界.,y=ex在(-,+)上无界，如定义域取有限区间，则它也是有界的.,例如 y=sinx在(-，+)上有界；,2.单调性,设函数f(x)的定义域为D，如果对于D上的任意两点x1及x2，当x1 x2时，恒有,则称函数f(x)在区间D上是单调增加的；,如果恒有,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),则称函数f(x)在区间D上是单调减少的.,3
8、.奇偶性,设函数f(x)的定义域为D关于原点对称.如果对于任意xD，都有,则称函数f(x)为偶函数；,如果对于任意xD，都有,f(x)=f(x),f(x)=f(x),则称函数f(x)为奇函数.,偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点轴对称.,则称 f(x)为周期函数，T 称为 f(x)的周期，通常说周期函数的周期是指最小正周期.,4.周期性,设函数 f(x)的定义域为D.如果存在一个正数T，使得对于任意 xD有（xT）D，且,恒成立，,f(T+x)=f(x),例如，函数sinx，cosx都是以2为周期的周期函数；,函数tanx是以 为周期的周期函数.,其中r表示点P到极点O的距离,表示
9、射线OP与极轴正向的夹角.这里,五、极坐标,在平面上定义由一定点和一条定轴所组成的坐标系称为极坐标系，其中定点称为极点，定轴称为极轴.如图,坐标系中的点 P 用有序数(r,)表示.,r0,0 2.,若取极点作为原点，极轴作为x轴建立直角坐标系，这样得到极坐标与直角坐标的关系：,或,(2),x=r cos，y=r sin(1),建立 r 与 关系的等式称为极坐标方程，如,r=1，,表示圆心在极点，半径为1的圆.,利用式(1)、(2)可以把直角坐标方程和极坐标方程进,行互化.,r2=2rcos,例6 将极坐标方程,r=2cos,解 方程两边同乘以 r 得,化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线.,则 x2+y2=2x,(x-1)2+y2=1,所以它表示圆心为(1,0)，半径为1的圆.,r=a(1+cos),下面给几个特殊的极坐标方程：,(1)心形线(外摆线的一种)如图,极坐标方程为,化为直角方程为,r2=a2cos2,下面给几个特殊的极坐标方程：,(2)双纽线,如图,极坐标方程为,化为直角方程为,(x2+y2)2=a2(x2-y2),r=a,下面给几个特殊的极坐标方程：,(3)阿基米德螺线,如图,极坐标方程为,小结,(1)函数的定义；,(2)函数的基本特性；,(3)极坐标.,
