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1、1,1.1 函数 1.2 极限 1.3 极限运算法则 1.4 极限存在准则、两个重要极限 1.5 无穷小与无穷大、无穷小的比较 1.6 函数的连续性 1.7 闭区间上连续函数的性质,第一章 函数和极限,2,第一章 函数和极限,1.1 函数,3,一、集合,1.集合的基本概念与运算,集合（简称为集）是数学的一个基本概念.集合通常理解为具有某种性质的事物的全体.集合中的每一个事物称为该集合的元素.,某事物a与集合E具有下列两种关系之一:(1)a是E的元素，记作aE;(2)a不是E的元素，记作aE.,由有限个元素组成的集合，可将它的元素一一列举出来.这种表示法称为枚举法.例如：由元素a1，a2，an组
2、成的集合A，记作 A=a1，a2，an.,4,性质描述法表示:设E是具有性质P的元素x的全体所组成的集合，就记作 E=x|x具有性质P 或 E=x|P(x).,通常，以Z、Q、R和 C分别表示整数集、有理数集、实数集和复数集.,如果集合A的元素都是集合B的元素，即若x A，则必有x B，就称A是B的子集，记作AB或BA.如果AB与AB同时成立，则称A与B相等，记作A=B.例如，设有集合A=-1，-2，B=x|x2+3x+2=0，则A=B.若AB且A B，则称A是B的真子集，记作AB.例如QR.,5,不含任何元素的集合称为空集，记作.如集合 x|x R，x2+1=0=.规定空集是任何集A的子集,
3、即 A.,集合的基本运算有并、交、差：设A和B是两个集合,由A和B的所有元素构成的集合,称为A与B的并,记为AB,即AB=x|xA 或xB.由A和B的所有公共元素构成的集合,称为A与B的交,记为AB,即AB=x|xA 且xB.由属于A而不属于B的所有元素构成的集合,称为A与B的差,记为AB,即AB=x|xA 且xB.,6,如果在某个过程中，我们所研究的对象同属于某一个集合S,那么这个集合称为全集或基础集.本书在一般情况下用实数集R当全集.一般地,设A是全集S的子集,那么S中不属于A的元素全体组成的集合称为A的余集,记为,即=S A.例如,对于全集R,子集A=x|0 x 1的余集就是=RA=x|
4、x 0或x 1.,7,2.邻域、开集、闭集、区间,对于实数a及正数，数集x|x-a|称为a的(以点a为中心、以 为半径的)邻域,记作U(a;),即U(a;)=x|x-a|.如图1-1-1所示.,图1-1-1,8,数集x|0|x-a|称为点a的去心 邻域，记为(a;).当不强调 的大小时，a的 邻域和 去心邻域分别简称为a的邻域和去心邻域，并分别记作U(a)和(a).,设a与b是两个不同的实数，且a b.数集 x|a x b称为开区间，记作(a,b)，即(a,b)=x|a x b，其中a与b称为开区间(a,b)的端点.因此,邻域是一个以a为中心的开区间,即U(a;)=(a-,a+).,9,数集
5、x|a x b称为闭区间，记作a,b，即a,b=x|a x b，其中a与b称为闭区间a,b的端点.数集a,b=x|a x b和 a,b=x|a x b均称为半开区间，a与b称为它们的端点.以上这四种区间都称为有限区间，数b-a称为这些区间的长度,10,类似地，我们可以定义五类无限区间:(a,+)=x|x a,-,b)=x|x b,-,+)=x|-x+=R.a,+=x|x a，-,b=x|x b.这些区间在数轴上表示如图1-1-2.,图1-1-2,11,对(a,b),-,b),(a,+)和-,+)这四类区间做进一步的分析发现,它们中的任何一点x0都至少存在一个邻域U(x0)使得U(x0)整个被包
6、含于x0所在的区间.一般地,设E是R的一个子集,若对任意x0E都存在U(x0)E,则称E是一个开集.因此,这四种区间都是开集,特别,开区间和邻域U(a)都是开集.设F是R的一个子集,若存在开集E使得F=RE,则称F是一个闭集.这就是说，闭集是开集的余集；反之，开集也是闭集的余集.于是，闭区间a,b,-,b 和 a,+都是闭集.,12,二、函数的基本概念,1.函数的定义,在生产、生活或科学技术领域中，我们会遇到两种类型的量：一种是在一定条件下保持不变的量，称为常量，如每天的时间总量T都是24小时，地面上重力加速度g=9.8m/s2，T和g是常量；另一种是在一定过程中变化着的量，称为变量，如运动的
7、路程及花费的时间，一天之中的气温等.,13,例1 正方形的面积S与它的边长a之间的关系可用S=a2来表示，即对任意的a0，面积S相应地有一个确定的值.例2 一个物体作匀加速直线运动，出发后经过t秒时所走过的路程s可按如下公式确定：s=a t2，t 0，T(其中a是加速度，T是最大运动时间).,14,例3 漳州是水仙花的故乡.漳州市郊区农民近六年生产花卉出口创汇日益增加.某村各年出口创汇的数量如下表所示:,以上三个例子都反映了两个变量之间的联系，当其中一个变量在某个数集内取值时，另一个变量在另一数集内有唯一的值与之对应.两个变量之间的这种对应关系反映了函数概念的实质.,15,定义 设D是实数集R
8、的一个非空子集，若对D中的每一个x，按照对应法则f，实数集R中有唯一的数y与之相对应，我们称f为从D到R的一个函数，记作 f:D R y与x之间的对应关系记作y=f(x)，并称y为x的函数值；D称为函数的定义域，数集称为函数的值域.若把x，y看成变量，则x称为自变量，y称为因变量.,当值域f(D)仅由一个实数C组成的集合时,f(x)称为常值函数.这时,f(x)C,也就是说,我们把常量看成特殊的因变量.,16,说明：(1)为了使用方便并考虑传统的表示习惯，我们常用“y=f(x)”表示函数，并称“f(x)是x的函数(值)”.当强调定义域时,也常记作 y=f(x),x D.(2)函数y=f(x)中表
9、示对应关系的符号f也可改用其它字母，如“j”，“F”等等.这时函数就记为y=j(x)，y=F(x)，等等.(3)用y=f(x)表示一个函数时，f所代表的对应法则已完全确定，对应于点x=x0的函数值记为f(x0)或y|x=x0.,例如，设y=f(x)=，它在点 的函数值分别为,17,(4)从函数的定义知，定义域和对应法则是函数的两个基本要素，两个函数相同当且仅当它们的定义域和对应法则都相同.(5)在实际问题中，函数的定义域可根据变量的实际意义来确定；但在解题中，对于用表达式表示的函数，其省略未表出的定义域通常指的是:使该表达式有意义的自变量取值范围.,18,例4 求函数 的定义域.,解:要使函数
10、式子有意义，x必须满足，于是，所求函数的定义域为,19,2.函数的表示法,(1)解析法当函数的对应法则用数学式子表出时，这种表示函数的方法称为解析法.如都是解析法表示的函数，这是我们今后表达函数的主要形式.,20,例5 设x为任一实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分，记为y=x，则.这个函数称为取整函数.,一个函数也可以在其定义域的不同部分用不同的解析式表示，如:例6 例7 绝对值函数.,21,例8.易知，对于任何实数x，都有x=(sgn x)|x|成立.这个函数称为符号函数.像例6、7、8这种形式的函数，称为分段函数.,22,(2)列表法 若函数y=f(x)采用含有自变量x的值与函数f(
11、x)对应值的表格来表示，则称这种表示函数的方法为列表法.如上述例3及通常所用的三角函数表、对数表等等，都是用列表法表达函数的例子.,23,(3)图像法 设函数y=f(x)的定义域为D.那么，对于任意取定的x D，其对应的函数值为y=f(x).这样，以x为横坐标、y为纵坐标,就在xOy平面上确定一点(x,y).当x遍取D上的每一个数值时，就得到平面点集C=(x,y)|y=f(x)，x D，称其为函数y=f(x)的图像.采用图像给出函数的方法称为图像法.图1-1-3、图1-1-4与图1-1-5就是用图像法分别表示的取整函数、绝对值函数和符号函数.,24,图1-1-3,25,图1-1-4,26,图1
12、-1-5,27,三、函数的基本性质,1.函数的有界性,定义 设函数y=f(x)在某一实数集D1上有定义（即D1是f(x)的定义域D的子集），若存在常数M（或m）使得不等式f(x)M(或f(x)m)对所有x D1都成立，则称函数y=f(x)在D1有上界（或有下界），同时称M为f(x)在D1的一个上界（或m为f(x)在D1的一个下界）.若f(x)在D1既有上界又有下界，则称 f(x)在D1有界，或f(x)在D1是有界函数，否则，则称函数f(x)在D1上无界，或称在D1上函数f(x)是无界函数.,28,2.函数的单调性,定义 设函数y=f(x)在某一实数集D上有定义.若对于任意的x1，x2 D，当x
13、1 f(x2)，则称f(x)在D上单调减少.单调增加与单调减少的函数统称为单调函数.注：把(1)中的条件改为f(x1)f(x2),则称f(x)在D上不减;把(2)中的条件改为f(x1)f(x2)成立时，则称f(x)在D上不增.不增与不减的函数统称为广义单调函数.,29,3.函数的奇偶性,定义 设实数集满足：x D当且仅当-x D，则称D是一个对称集.设函数y=f(x)的定义域是一个对称集且满足f(-x)=f(x)，x D，则称函数f(x)是偶函数；若且满足f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)是奇函数.偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称.,30,4.函数的周期性,定义 设
14、函数y=f(x)的定义域为集D.若存在一个非零的数T，使得对于任意x D，有xTD且f(xT)=f(x),则称f(x)为周期函数，同时称T为f(x)的周期.显然，若T为f(x)的一个周期，则2T，3T，4T，也都是它的周期，故周期函数有无限多个周期.若在周期函数f(x)的所有正周期中有一个最小者，则称这个最小者为函数f(x)的最小正周期.通常所说的周期就是指最小正周期.,31,四、反函数,定义 设已知函数y=f(x)，x D 的值域为f(D).若对于f(D)中每一个值y，D中有唯一确定的值x使得f(x)=y，就在f(D)上定义了一个函数，称其为函数y=f(x)的反函数，记为x=f-1(y)，y
15、 f(D).,32,y=f(x)与x=f-1(y)互为反函数.习惯上把自变量记为x，因变量记为y，所以反函数x=f-1(y)也可写作y=f-1(x).相对于反函数y=f-1(x)而言，原来的函数y=f(x)称为直接函数.容易看出，在同一坐标平面上，反函数 y=f-1(x)与直接函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称.如图1-1-8.,33,图1-1-8,34,定理 单调函数必有反函数.单调增加的函数的反函数必单调增加，单调减少的函数的反函数必单调减少.例9 函数y=x2 在0，+上是单调增加的，它的反函数 y=在其定义域 0，+上也是单调增加的函数.,35,五、复合函数,例10 某汽车行驶1
16、0小时，每公里耗油量为0.2公升，行驶速度为每小时60公里.于是汽车在行驶过程中，耗油量y是行驶距离s的函数 y=f(s)=0.2 s，s 0，+，而行驶距离s又是行驶时间t的函数 s=g(t)=60t，t 0，10.因此，汽车的耗油量y，通过中间变量s与时间t建立了函数关系 y=0.2s=0.2 60t=12t，t 0，10，在这个例子中，y与t的对应关系是由两个函数y=f(s)与s=g(t)复合而成的.,36,定义 已知两个函数y=f(u)，u E;u=g(x)，x D.设D1=x|g(x)E，xD 是非空集，那么通过下式y=f(g(x)，x D1.确定的函数，称为是由函数u=g(x)与y
17、=f(u)构成的复合函数，它的定义域为集D1，变量u称为中间变量.u=g(x)与y=f(u)构成的复合函数也常记做f g，即 y=(f g)(x)=f(g(x)，x D1.,37,38,六、初等函数,1.基本初等函数,包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等.着重介绍幂函数.函数 y=xm(其中m是常数)叫做幂函数.幂函数y=xm 的定义域根据m的取值而定.例如:当m=3时，y=x3的定义域是(-，+);当m=时，的定义域是0，+);当m=-时，的定义域是(0，+).但无论 m 取什么值，幂函数在(0，+)内总有定义.,39,2.初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运
18、算和有限次复合所得到的且可用一个式子表示的函数，称为初等函数.如：,40,七、常用的经济函数,1.需求函数,在经济学中,某一商品的需求量是指关于一定的价格水平,在一定的时间内消费者愿意而且有支付能力购买的商品量.通常用Q表示商品的需求量,P表示它的价格,在一定条件下,Q可视为P的函数,记作Q=f(P)或Q=Q(P),并称之为需求函数.,41,根据市场的统计数据构建数学模型时，常采用如下四种类型的函数:线性函数:Q=-aP+b,a0,b0;幂函数:Q=kP-a,k 0,a0;指数函数:Q=ae-bP,a0,b0;二次函数:Q=P(a bP),a0,b0.,42,2.供给函数,供给是与需求相对的概
19、念，需求是就购买者而言，供给是就生产者而言的.供给量是指生产者在某一时刻内，在各种可能的价格水平上，对某种商品愿意并能够出售的商品数量.供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一定时间范围内除价格而外的其他因素变化很小，则供给量Q就是价格的函数，称为供给函数.记作Q=Q(P)或Q=f(P).,43,根据市场的统计数据构建数学模型时,常采用如下三种类型的函数:线性函数:Q=aP-b,a0,b0;幂函数:Q=kPa,k 0,a0;指数函数:Q=a ebP,a0,b0.,44,3.成本函数,某产品的总成本C是指一定数量的产品所需的全部资源投入的价格或费用的总额，它由固定成本C1和可变成本C2组成.其中
20、C1为常数，C2即为产量Q的函数，常表示成C2=C2(Q).同时用C=C(Q)表示总成本函数，于是，总成本函数 C=C(Q)=C1+C2(Q).经常还要研究由总成本函数派生的函数，如平均成本函数(Q):,45,4.收益函数,总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，因此总收益R是出售量Q的函数，称为收益函数，记作R=R(Q).例如，当某产品的价格为P，销售量为Q时，则销售该产品的总收益为R=PQ.,46,5.利润函数,利润L是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，若收益函数R=R(Q)，总成本函数C(Q)都是产量或出售量Q的函数，则利润L也是Q的函数，称之为利润函数.那么，L(Q)=R(
21、Q)-C(Q).,47,第一章 函数和极限,1.2 极限,48,一、数列及数列的极限,1.数列极限的定义,数列是按次序排列的一列数 x1，x2，xn，简记作xn.准确地说,数列是定义在正整数集N上的函数 xn=f(n)，n N,其中每一个n表示项数,xn表示第n项;因为项数n是一个变量,故xn常称为数列的通项或一般项.,49,例2 研究数列 1，-1，1，-1，的变化趋势.解 该数列的通项为xn=(-1)n+1.当n无限增大时，xn总在1和-1两个数值上跳跃，永远不会趋近于一个固定的数.,例1 研究数列 的变化趋势.解 该数列的通项为.当n无限增大时，2n也无限增大，其倒数 会随之越变越小，无
22、限地趋近于0.,例3 研究数列 的变化趋势.解 该数列的通项为.当n无限增大时，数列的通项xn将大于任意给定的正数.,50,上述三个数列，当n无限增大时的变化趋势各不相同，可归纳为两种情形.第一种情形:数列xn随着n的无限增大而（无限）趋于某一个固定的常数a；这时称xn为收敛数列，常数a为该数列的极限；第二种情形:数列xn随着n的无限增大而不趋于任何确定的常数.这时称xn为不收敛.,51,定义1 设xn是一个数列,a是一个常数.如果对任给的 0，总存在一个正整数N，使得当n N时总有|xn-a|成立，则称数列xn收敛于a，称a为xn的极限，并记作 或.若数列xn没有极限，即满足上述条件的常数a
23、不存在,则称xn不收敛，或称xn发散.,52,例4 用定义证明.证 因，为了使 小于任意给定的正数，只要 或.所以，对于任意给定的正数，取正整数，则当nN时总有因此.,53,2.收敛数列的性质,定理1(唯一性)若数列xn收敛，则它只有一个极限.,对于数列xn，如果存在一个正数，使对一切nN，都有|xn|M，就称xn为有界数列，否则就称xn为无界数列.,定理2(有界性)若数列xn收敛，则它必为有界数列.,定理3(保号性)若(或aN时，都有xn 0(或xn 0).,54,二、函数的极限,1.函数的极限的定义,xx0时函数f(x)的极限定义如下.定义2 设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义,而
24、A是常数.如果对任给的正数，总有某一正数，使得当 时，f(x)都满足不等式.则称当xx0时，f(x)有极限（收敛）且A为f(x)的极限，记作 或 f(x)A（xx0）.如果满足上述条件的常数A不存在，则称当xx0时，f(x)的极限不存在（不收敛）.,55,说明：,1)着重描述xx0时 f(x)的变化趋势，与f(x)在点x0是否有定义并无关系.2)有明显的几何意义:对任给的 0，作平行于x轴的两条直线y=A-与y=A+，总可找到点x0的一个 邻域，使得当 且 时，对应的函数值满足:A-f(x)A+，即函数图像上的点(x，f(x)落在直线y=A-与y=A+之间的带形区域内.,56,例6 证明.证
25、对于任给，由于只要取，那么当 时，就有.所以.,57,x时函数f(x)的极限,定义3 设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，而A是常数.如果对于任给的正数，总有某一个正数X，使得当|x|X时，f(x)都满足不等式，则称当x时，f(x)有极限（收敛）且A为f(x)的极限，记作 或.如果满足上述条件的常数不存在，则称当x时，f(x)的极限不存在（不收敛）.,58,例7 证明.证 对于任给，由于只要取，于是对于适合|x|X的所有x，不等式 成立.所以.,59,单侧极限,定义4 设函数f(x)在点x0的左侧有定义,而A是常数.如果对任给的正数，总有某一正数，使得当时，f(x)都满足不等式 成立，
26、则称当x趋于x0时，f(x)有左极限且A为f(x)的左极限，记作,f(x)A（xx0-）或.,60,类似可给出 当x趋于x0时，A为f(x)的右极限的定义，记作,f(x)A（xx0+）或.,定理4 当xx0时，函数f(x)极限存在的充要条件是当xx0时，函数f(x)的左、右极限都存在且相等，即这里A是一个确定的数.,61,例8 设函数，求 和.,解 根据函数的定义知,f(x)当x0时的左极限为；f(x)当x0时的右极限为.由此可知，f(x)当x0时的极限不存在.,62,定义5 设函数f(x)当 x 大于某一正数（或小于某一负数）时有定义,而A是常数.如果对于任给的正数，总有某一个正数X，使得对
27、于当 x X（或相应地x-X）时，f(x)都满足不等式|f(x)-A|,则称常数A为函数f(x)当x+（或相应地x-）时的极限，记作 或 f(x)A（x+）（或相应地，或 f(x)A（x-）.,63,类似于定理4,也有如下结论：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义,那么当x时，函数 f(x)极限存在的充要条件是当x+时和当x-时函数f(x)的极限都存在且相等，即.,64,2.函数极限的性质,定理5(唯一性)若 存在，则其极限值唯一.,证(反证法)设，.假定,令=|a-b|,那么 0.由极限定义，存在，使得当 时，有;而当 时，有.取，则当 时，总有,矛盾.所以有ab.,65,证 由于，所
28、以对正数，存在正数，使得当x满足 时，都有于是，有记M=1+|a|，则对任意满足 的x都有|f(x)|M.,定理6(局部有界性)若，则存在正数M和正数，使得当 时，都有,66,定理7(局部保号性)若 且a 0（或a 0（或f(x)0）.,证 先设a 0.由于 0，所以对正数，存在 0，使得当0|x-x0|时有.因此，.对a 0的情形，可以类似证明.,67,第一章 函数和极限,1.3 极限运算法则,68,一、收敛数列极限的四则运算,定理1 若数列an与bn皆收敛，则数列an bn与anbn都是收敛数列，且(1)；(2)；特别有，其中c为常数.(3)如果，则 也是收敛数列，而且.,69,例1 求极
29、限.,解 用分子和分母同除以n2，得.,70,二、函数极限的四则运算,定理2 若极限 与 都存在，则当 时，的极限也存在，且(1)；(2)；(3)若，则当 时，的极限也存在，且.,71,例2 求极限.,解 因为，即这两个极限均不存在，故不能用减法公式.但当 时，有，于是.,72,例3 求极限.,解 先用x3除分子和分母，然后求极限，得.,一般地，可得如下结论:当 m和n为非负整数时，,73,解 当x1 时分母的极限为0，不能直接应用商的极限运算法则.但是，由于分子与分母有公因式（x-1），而当x1 时只考虑x1的情形，因此,可以先约去（x-1），再做极限运算.,例4 求.,74,第一章 函数和
30、极限,1.4 极限存在准则、两个重要极限,75,一、极限存在准则,准则I(收敛数列的夹逼准则)设 若存在某正整数N0使得当n N0时，均有，则.,准则I(函数极限的夹逼准则)如果在a的去心邻域有，并且，则.,76,递增数列和递减数列统称为单调数列.,如果数列an满足条件，就称an是递增的或单调增加的;如果数列an满足条件，就称an是递减的或单调减少的.,准则II(单调有界准则)单调有界数列必有极限.,注 与单调函数指严格单调函数不同，习惯上把广义单调数列称为单调数列.,77,二、两个重要极限,重要极限1:.（利用准则I来证明）,例1 求.解.,78,例2 求.,解 因为，所以.,79,重要极限
31、2:.（利用准则II证明存在性）,例3 求.解 令，则 时，.于是.,80,例4 求.,解 令t=2x,那么当x0 时有t0.因此,.,81,第一章 函数和极限,1.5 无穷小与无穷大、无穷小的比较,82,一、无穷小及其性质,定义1 如果f(x)当xx0（或x）时以0为极限，则称 f(x)是当xx0（或x）时的无穷小量，简称无穷小.,例如，当x1时，x1是一个无穷小;当x时，是一个无穷小等等.,定理1 若，则 是当 时的无穷小.,83,根据极限性质及四则运算法则，可以证明下列无穷小的性质（1）和（3）:(1)有限个无穷小的代数和是无穷小.(2)有界变量与无穷小的乘积是无穷小.(3)有限个无穷小
32、的乘积是无穷小.,84,证明性质（2）.,设在x0的某个去心邻域，g(x)为无穷小，f(x)为有界函数.那么存在常数M 0使得|f(x)|M在 成立；同时，对任意 0,存在 0使得当 时都有|g(x)|.取,那么当 时有.这就证明了当xx0时，f(x)g(x)为无穷小.,85,例1 求.,解 当x 时分子与分母的极限都不存在，因此不能应用商的极限运算法则来计算.但是，由于sin x是有界函数,当x时 是无穷小,利用无穷小的性质(2)知.,86,二、无穷大,定义2 如果当xx0（或x）时，函数f(x)的绝对值无限地增大，则称f(x)为当xx0（或x）时的无穷大量，简称无穷大.记作(或).,定义
33、若对任意给定的正数M，总存在正数(或K)，使得当x满足(或 K)时，都有|f(x)|M，则称f(x)是当xx0（或x)时的无穷大.,87,例2 证明 是 时的无穷大.,证 对任意给定的正数M，取正数，那么，当 时有，所以，是 时的无穷大.,88,定理2 在同一变化过程中，(1)若f(x)为无穷大，则 为无穷小;(2)若f(x)为无穷小且f(x)0，则 为无穷大.,89,例3 求.,解 当x2 时分母的极限为0，不能直接应用商的极限运算法则.但是，由于分子的极限不为0，因此,可以先求原式倒数的极限=0，再利用无穷小与无穷大的关系，得=.,90,三、无穷小的比较,定义 设u，v是同一变化过程的两个
34、无穷小，即（如果u，v是数列，lim应理解为，否则，u，v是同一自变量的函数，则lim应理解为、或其它单侧极限过程）.又设v 0,并用 表示这一变化过程的极限.,91,(1)若，则称u为比v高阶的无穷小，记为;(2)若，则称u为比v低阶的无穷小;(3)若，则称u与v是同阶无穷小;特别地,若，则称u与v是等价无穷小，记为u v.(4)如果存在正整数k和常数c 0,使得，则称u是v的k阶无穷小.,92,例如，由，知，当x0时，;当x时，与 是同阶无穷小;当x1时，x-1是比(x-1)2低阶的无穷小.,93,例4 证明：当x0时，tan x-sin x x3.,证 利用三角公式变形得:.由于,再由1
35、.4例2知,.故由极限的四则运算法则得 所以tan x-sin x x3.,94,定理1 u 与 v是等价无穷小的充分必要条件是u=v+o(v).,定理2 设u u,v v且存在,则存在 且.,95,例5 求.,解 当x0时,tan x x,无穷小3x2+x 与自身等价,所以.,96,注意：记住一些常用的等价无穷小,这对于求极限运算常带来许多方便.同时应该注意,等价无穷小只适用于代替分子或分母的因子,不可随意代替非因子的式子.比如,在例4求极限时,若把分子tan x sin x分别用tan x和sin x的等价无穷小代入,将出现如下错误:,97,第一章 函数和极限,1.6 函数的连续性,98,
36、一、函数连续性的概念,假定函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量从 x0变化到x时，对应的函数值从f(x0)变化到f(x)，称x=x-x0为自变量x（在点x0）的改变量或增量.相应地，把 y=f(x)-f(x0)即y=f(x0+x)-f(x0)称为函数y（在点x0）的改变量或增量应注意，自变量的增量x和函数的增量y可以是正数也可以是负数或0,99,定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数y=f(x)在点x0连续,由于 等价于，等价于，因此函数y=f(x)在点x0连续等价于 所以，函数y=f(x)在点x0连续的定义又可叙述为：对任意的，总存在，使得当 时
37、，有,100,如果 f(x)在区间I的每一个点都连续，则称y=f(x)在I上连续或y=f(x)是I上的连续函数，这里对于区间的端点(如果它属于I的话)只要求单侧(左或右)连续.,定义2 若函数y=f(x)在点x0的某右（左）邻域内有定义，如果那么就称函数f(x)在点x0右（左）连续.,101,定理1 函数f(x)在点x0连续的充要条件是：f(x)在x=x0既是右连续的，又是左连续的,例1 证明正弦函数y=sin x在(-,+)上连续证 对任意x0(-,+)，由和差化积公式得.因为 所以 故y=sin x在x0点连续，由x0(-,+)的任意性可知，y=sin x在(-,+)连续,102,二、函数
38、的间断点及其分类,根据函数y=f(x)在x0点处连续的定义可知，函数f(x)在x0点处连续必须且只需同时满足下面三个条件：(1)f(x)在x0处有定义；(2)存在，即 存在且相等；(3),103,如果这三个条件中有一个不满足，也就是说，如果f(x)在x0无定义；或者 f(x)在x0虽有定义但在x0的极限不存在；或者f(x)在x0有定义，极限也存在，但极限值不等于f(x0)，则f(x)在x0处不连续使函数f(x)不连续的点x0称为f(x)的间断点通常将函数的间断点分为两类：一类是左右极限都存在的间断点，称为第一类间断点；不是第一类的间断点，都称为第二类间断点,104,例3 考察函数 由于它在x=
39、1处无定义，所以x=1是间断点又因为所以x=1是第一类间断点.同时我们发现，只要补充定义f(1)=2，则所给函数在x=1处就连续了,一般地，若x0是函数f(x)的间断点且 存在，则称x0为函数f(x)的可去间断点.对于f(x)的可去间断点x0，可用f(x)在x0的极限值来补充或修改f(x)在x0处的定义，得到在x0处连续的函数.,105,例4考察函数 的间断点.,由于，即函数在x=0处的左右极限存在，但不相等，故极限 不存在，所以点x=0是函数f(x)的第一类间断点,但不是可去的.这种左右极限都存在但不相等的间断点又称为跳跃间断点,106,例5考察函数 的间断点.该函数在 x=0没定义，点x=
40、0是它的间断点由于当 时，的左右极限都不存在,所以点x=0是函数的第二类间断点.实际上,当 时函数值在1与1之间变动无限多次，因此,这种间断点也称为函数的振荡间断点,107,根据定义知,可去间断点和跳跃间断点都是第一类间断点，振荡间断点和无穷间断点都是第二类间断点.,例6考察正切函数 在 的间断点.因为，所以点 是函数 的第二类间断点;同时，根据它的极限状态，我们又称是函数 的无穷间断点,108,三、连续函数的和、差、积、商的连续性,定理2 有限个在同一个点连续的函数的和是一个在该点连续的函数,定理3 有限个在同一个点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数,定理4 两个在同一个点连续的函数的商
41、是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零,109,例7考察函数tan x 和cot x 的连续性.解 因，而sin x和cos x都在区间(-,+)内连续，故由定理4知tan x和cot x在它们的定义域内是连续的,110,四、反函数与复合函数的连续性,定理5如果函数y=f(x)在区间I上单调增加（或单调减少）且连续，那么f(x)的值域J=f(I)也是一个区间，且反函数x=f-1(y)在J上也单调增加（或单调减少）且连续,111,例8考查y=arcsin x在区间1，1上的单调性与连续性.解 由于y=sin x在区间 上单调增加且连续，值域为1，1，所以它的反函数y=arcsin x在区间
42、1，1上也单调增加且连续同样，应用定理可证：反三角函数arcsin x，arccos x，arctan x，arccot x在它们的定义域内都是连续的,112,定理7设函数 在x=x0点连续且，而函数y=f(u)在点u=u0连续，那么复合函数 在点x=x0也是连续的.,定理6设函数 当 时的极限存在且等于a，即而函数 在点u=a连续，那么复合函数当 时的极限也存在且等于f(a)，即,113,五、初等函数的连续性,定理8 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的,定理9 所有初等函数在其定义区间上都是连续的,如果f(x)是初等函数，且x0是f(x)的定义区间内的点，则,当x0是f(x)的区间内的端
43、点时，上式仅考虑左、右极限.,114,例9求(其中a是常数),解：,115,例10求,解：特别,116,第一章 函数和极限,1.7 闭区间上连续函数的性质,117,一、最大值和最小值定理,定义对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果存在x0 I，使得对于任一x I都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（或最小值）,定理1（最大值、最小值定理）若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上一定取到最大值和最小值,推论 若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有界,118,二、介值定理,如果f(x0)=0，则x0称为
44、函数f(x)的零点,定理2(零点存在定理)设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)0），那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(a,b)使得f()=0,119,定理3（介值定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且f(a)f(b).记A=f(a),B=f(b)，那么，对介于A与B之间的任意一个实数C，则至少存在一点(a,b)使得f()=C,推论设f(x)在闭区间a,b上连续，M与m分别是函数f(x)在a,b上的最大值与最小值，则对任意常数 m,M，必存在x0a,b，使得f(x0)=,120,例1 证明方程x3-4x2+1=0
45、在区间(0,1)内至少有一个根,证明 因为函数f(x)=x3-4x2+1在闭区间0,1上连续，且根据零点存在定理，在(0,1)内至少有一点，使得f()=0.这等式说明x=是方程x3-4x2+1=0在区间(0，1)内的一个根从而结论获证.,121,例2（不动点定理）设f(x)在a,b上连续，值域f(a,b)a,b证明存在x0a,b，使得f(x0)=x0,证明 因f(a,b)a,b,故对任何xa,b有a f(x)b，特别有a f(a)以及f(b)b.若a=f(a)或f(b)=b，则取x0=a或b，从而结论成立现设a 0，F(b)=f(b)-b 0那么由零点存在定理，存在x0a,b，使得F(x0)=0，即f(x0)=x0 证毕.,
