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1、第一章 医用力学基础,力学基础刚体定轴转动转动定律角动量守恒定律骨材料力学,恩格斯说：牛顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学,由于进行光的分解而创立了科学的光学,由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科学的数学,由于认识了力学的本性而创立了科学的力学.,牛顿(1643-1727)英国伟大的物理学家、数学家、天文学家,经典力学理论的集大成者,建立了著名的万有引力定律和牛顿运动三定律.,代表人物：牛顿,力学基础,矢量运算 运动描述 牛顿运动定律,一、矢量及其运算,矢量的加法：两矢量和仍为一矢量,即 矢量的减法：矢量的加减法服从平行四边形法则和三角形法则.,平行四边形法则和三角形法则,当两矢量同向
2、时,点积结果数值最大；当两矢量反向时,点积结果数值最小；当两矢量垂直时,点积结果为0.,矢量的标积(点积)矢量 在矢量 上的投影与矢量 大小的乘积,即,矢量的乘法：标积(点积)和矢积(叉积),矢量的矢积(叉积)结果仍为一矢量,大小等于 C=ABsin,方向垂直于矢量 与 构成的平面,并服从右手螺旋法则,即,当两个矢量平行时,叉积结果为零；当两个矢量垂直时,叉积结果最大.,根据叉积运算定义,可以得到如下结果：,一.位置矢量(position vector),二、运动描述,空间一质点 P 的位置可以用三个坐标x,y,z 来确定,也可以用从原点O到P点的有向线段 表示,称 为位置矢量.,质点运动过程
3、中,其位置随时间的改变可以表示为,或,二.位移(displacement),质点在一段时间内位置的改变称为它在这段时间内的位移,记作,大小标志着在这段时间内质点位置移动的多少,方向表示质点的位置移动方向.图中s表示路程.,瞬时速度(instantaneous velocity)：,三.速度,采用分量形式,速度可以表示为：,在直角坐标系中,速度的大小为,瞬时加速度(instantaneous acceleration)：,在直角坐标系中,加速度的分量形式：,四.加速度,物体做曲线运动时,加速度的方向总是指向轨迹曲线的凹侧.常将加速度分解为切向加速度at(在轨道切线方向上的加速度投影)和法向加速度
4、an(物体所在点处圆弧曲率半径上的投影).,可以证明,只改变速度的方向,切向加速度大小为,只改变速度的大小,法向加速度大小为,一.牛顿运动定律 牛顿第一定律：任何物体都保持其静止或直线运动状态,除非有外力作用使其改变那个状态.提出了惯性(inertia)的概念和力是使物体运动状态发生改变的原因.牛顿第二定律：任何物体所获得的加速度的大小与物体所受合外力的大小成正比,与物体的质量成反比,加速度的方向与合外力的方向一致,即,三、牛顿运动定律,说明物体惯性大小的量度是质量.牛顿第三定律：当物体A对物体B施加作用力时,物体B也必定同时对物体A施加一个反作用力；两者大小相等,方向相反,作用在同一条直线上
5、,即牛顿三定律只适用于惯性参考系.,二.功(work),功是力的空间积累效应.恒力的功：,变力的功：,做功必须具备两个条件：1.必须对物体施加力；2.必须使物体在力的作用方向上发生移动.,定义：物体的动能(kinetic energy)为,上式称为动能定理.动能定理描述物体在始末两态之间,合外力对物体所做的功等于物体动能的改变量.,设物体的初动能为Eka,末动能为Ekb,则,三.动能和动能定理,如果力沿着任意一个闭合回路对物体所做的功等于零,即成立,则这个力叫做保守力(conservative force),否则叫做非保守力(non-conservative force).也就是说,保守力做功
6、与路径无关,非保守力做功与路径有关.重力、万有引力、静电力和分子力都是保守力,摩擦力是非保守力.,四.保守力、非保守力、势能,为了描述保守力做功只与物体的位置有关,与路径的选取无关这种性质,引入势能(potential energy)的概念.重力的势能：弹性力势能：保守力所做的功与势能之间的关系：其中,Acon为保守力做的功,Epa、Epb为系统始末态的势能.,对于一个物体系统整体来说,它受到系统外部力和系统内部物体之间的保守力和非保守力共同作用,因此,在计算力对系统所做的功时,应该把它们全部考虑在内,即,五.功能原理,其中 是所有外力所做的功,是系统内部所有非保守力所做的功,是系统内部所有保
7、守力所做的功.,定义系统总的机械能为系统总的动能与总的势能之和,即 功能原理：系统的外力做功与系统内部非保守力做功的总和等于系统总的机械能的改变,即,称为机械能守恒定律.说明一个物理系统,如果外力做功等于零,且系统内部没有非保守力做功,则系统的总机械能将不随系统的状态改变而改变.,系统的外力做功与系统内部非保守力做功的总和等于零,则有,六.机械能守恒定律,刚体力学,刚体定轴转动 转动惯量 转动动能 转动定律 角动量定理、角动量守恒定律,刚体-在外力作用下,大小和形状都不发生变化的物体叫做刚体(rigid body).它是一种理想化的模型.,一、刚体定轴转动,理想模型刚体是质元间相对位置不发生变
8、化的特殊质点系，简称不变质点系。把质点系的一般概念、规律应用到刚体这个特殊质点系上，就可以得到刚体运动的特殊规律，这就是研究刚体力学的基本思路和方法。,质点系,刚 体,平动的特征：刚体上各质点在同一时刻的速度和加速度均相同，任意一点的运动状态可以代表整个刚体的运动状态.,如:电梯的升降、汽缸中活塞的运动等等.,一、刚体运动,2.刚体转动,刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动称为转动。这条直线叫作转轴。,瞬时转轴：转轴随时间变化 一般转动固定转轴：转轴不随时间变化 刚体定轴转动,定轴转动的特点：各质点都作圆周运动；各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上；各质点的矢径在相同的时间
9、内转过的角度相同。,3.刚体的一般运动,一个汽车轮子在地上的滚动,A、B、C、各点的运动都不相同,刚体的运动平动转动,二、刚体定轴转动的角量描述,转轴,参考方向,转动平面,角位移,1、角位移,3、角加速度 描写角速度变化的快慢程度,角位移、角速度方向按右手螺旋定则确定(如上图),角加速度,角速度,角位移,角坐标,4、匀变速转动,角加速度不随时间变化的转动叫做匀变速转动。,三、角量与线量的关系,角量：运动“共性”的量：,线量：运动”个性”的量：S V a,质点切向加速度与角加速度,质点法向加速度与角加速度,质点P的线速度：,例1一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径r=0.5m，如果升降机从
10、静止开始以加速度a=0.4m/s2匀速上升，求(1)滑轮的角加速度;(2)开始上升后t=5s末滑轮的角速度;(3)在这5s内滑轮转过的圈数(设缆索与滑轮间不打滑)。,解：(1),(2),(3),圈,1、定义：-刚体转动惯性大小的量度.,2、说明,转动惯量是标量；转动惯量有可加性；单位：kgm2,3、转动惯量的计算,若质量连续分布,若质量离散分布,二、转动惯量 转动动能,例1、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx,平行轴定理,刚体对任一转动轴的转动惯量 等于刚体过质心且平行这一转动轴的转动惯量 再加上刚体质量乘上两平行轴之间的距离的平方。,例题2：求质
11、量为m，半径为R，厚度为h，密度均匀的圆盘对通过质心并与盘面垂直的转轴的转动惯量.,解：,4、影响刚体转动惯量的因素,质量有关 质量越大，J越大刚体的质量分布有关 质量分布离轴越远，J越大。例如圆环转轴位置有关,二、转动动能,角速度-质元mi，距转轴 ri，速度为vi=ri,整个刚体的动能就是各个质元的动能之和,动能为,力矩是力和力臂的乘积力矩取决于力的大小、方向和作用线,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,质点获得加速度,改变质点的运动状态,？,三、转动定律,一、力矩(moment of force),1、方向：右手四指沿,，经小于180度的角度转到,的方向，此时拇指所指的方向即力矩（
12、M）的方向,的方向,2、单位：牛顿米（Nm）,根据力矩,例如,T,T,在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算,二、刚体转动定律 刚体在合外力矩的作用下,所获得的转动角加速度的大小与合外力矩的大小成正比,与转动惯量成反比,方向与合外力力矩的方向相同,即称为刚体转动定律.,说明：1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定轴转动问题的基本方程。,三、力矩的功,设 在转动平面内,合外力矩对刚体所做的功等于刚体动能的改变量,即,四、刚体定轴转动的动能定理,例3 自由摆下的杆 有匀质细杆长为 l，质量为m，可以绕过端点的水平轴在竖直平面内自
13、由摆动。今使杆自水平位置由静止释放，求：,杆摆到 位置时的角速度和角加速度；,五、角动量定理、角动量守恒定律,单位：kgm2/s 量纲：ML2T-1,刚体对固定转动轴的角动量L，等于它对该轴的转动惯量和角速度的乘积。动量矩,角动量定理 定义一：刚体角动量的变化率等于该刚体所受到的合外力矩,即,定义：,为冲量矩,描述力矩对时间的积累效应.,四、角动量守恒定律当刚体所受合外力矩等于零时,其角动量不随时间改变,即,定义二：刚体在特定时间内所受到的合外力的冲量矩等于刚体在此时间内角动量的改变量.,1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中
14、,人、哑铃与转动平台组成的系统的,（A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒,（C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒.,2、人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的,1）舞蹈演员与滑冰运动员,2）跳水运动员,3）茹可夫斯基凳,例2 匀质杆：长为l、质量M，可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度o射入杆的端点，并嵌在杆中，求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度;(2)杆能转过的最大角度。,物体的弹性,人体受力分析 应力和应变 弹性模量,一、人体受力分析,刚体平衡条件：,分析关节受力,N,W,M,J,
15、b,a,O,c,质点:只考虑物体质量,忽视大小和形状.,刚体:考虑质量分布与大小,忽视在力作用下形状 的变化.,实际物体在受到力的作用时,其形状或多或少会发生改变,形变问题也是力学中研究物体受力的一个重要特征,在工程技术和生物医学方面也十分重要,接下来介绍物体形变与力的关系.,一、基本概念,二、应力与应变,二、应力与应变,1、基本概念：,形变：物体在外力作用下,大小和形状发生的改变，,弹性：当形变不超过某限度，外力撤除后形变随之 消失，物体会恢复原状，这种性质为弹性。,弹性形变：在一定形变限度内，外力撤除后物体恢复 原状的形变，为弹性形变。,塑性形变：形变超过一定限度，外力撤除后物体不能 恢复
16、原状的形变，为塑性形变。,常见的形变：长度，形状，体积改变。用应变描述形变程度,2、应变：它表示物体受外力作用时，其长度、形状或体积发生的相对变化。,a)正应变:表拉伸或压缩时长度相对变化=LL0,b)切应变：表面施切力作用，形状变化体积不变=x/d=tan,c)体应变：表体积变化而形状不变=VV0,x,3、应力 物体产生形变时物体内部各处会产生一种内应力，其单位面积的内力可反映出内力产生的强度，定义为应力。应力=力/面积（单位：1N/m2=1Pa）,对应以上三种应变，其应力分别为：a)正应力(=F/S)b)体应力（体压强）p(=F/S)c)切应力(=F/S),说明：,1、三种应变是无量纲无单
17、位的纯数，表程度，与物 体原有的状态(L0,V0等)无关,2、液体（流体）只有体应变 固体有体应变和切应变,3、应力表示内力产生的强度，有单位。,4、应力有切向与法向之分：压应力 p(=F/S)（法向）切应力(=F/S)（切向）,三、弹性模量,举例：拉伸应变与张应力之间的关系（弹性与塑性）,对不同的金属材料图形大致相同,弹性,塑性,正比关系,a为正比极限b为弹性极限c为断裂点,非正比关系，但在弹性限度内,塑性范围,a)杨氏模量 E=张应力/张应变=/,4、弹性模量,正比极限范围内，应力与应变成正比（即胡克定律），应力与应变的比值为一恒量，称该物体的弹性模量：,弹性模量=应力/应变,弹性模量决定
18、于物体材料性质，单位与应力同（N/m2),b)切变模量 G=切应力/切应变=,c)体变模量 K=体应力/体应变=-p/,(负号表示,说明：,1、弹性模量表示物体形变难易程度，一般只与材料 本身性质有关，弹性模量越大，越不易形变；,2、正比极限范围内，模量为常量，超过正比极限，模量不为常量；,3、模量与形变有关的物体为非线形弹性体，如生物材料。,总结:,应力类型,应力公式,应变公式,模量公式,模量名称,(=F/S),p(=F/S),(=F/S),张应力,压应力,切应力,=LL0,=tan,=VV,杨氏模量,体变模量,切变模量,例1-5 人骨骼上的肱二头肌，可对相连的骨骼施加约600N的力，设肱二
19、头肌横截面面积的平均值为,与骨骼相联肌腱的横截面积的平均值为，试求肱二头肌和肌腱的张应力。,解：根据张应力的公式，对肱二头肌，张应力为,对肌腱而言，张应力为,例、将 2 kg 的重物悬挂在圆柱型金属丝下，其长度由 60.00 cm 变成60.06 cm.金属丝直径为 0.05 mm，试计算金属丝的应力、应变及杨氏模量。,解：,在医学上，弯曲是引起骨折的重要原因之一。,1、弯曲,弯曲是一种长度变化的表现，而扭转则是一种形状变化的表现。,应用弯曲和扭转,弯曲时材料各层应变和应力的大小都与材料(横梁)弯曲的程度有关，或者说与其弯曲时材料的曲率半径有关。越小，表示材料弯曲程度越大。,材料中间层附近的各层的应变和应力都是比较小的它们对抗弯所起的作用不大，因此可以用中空材料来代替实心材料。,当这个最大拉伸应力超过抗张强度或此最大压应力超过抗压强度时，材料即有可能出现断裂。,可见：拉伸部分的最大拉伸应力在最下层（X最大，而R不变），而压缩部份的最大压应力在最上一层（同理）。,二、扭 转,扭转的角度超过某一数值时，物体就会断裂。,实验与计算表明，在一定的弹性范围内，圆杆或圆管的扭转角度是和所加的力矩成正比的。,常用扭转的角度（图中角）来说明扭转的程度。,本章结束,谢谢！,
