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1、第十五章 选考部分,第三节 参数方程,第二讲 坐标系与参数方程,课前自主学案,知识梳理,1.参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数,并且对于t的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程（*）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普通方程.,2.圆的参数方程,其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.,3椭圆的参数方程,4双曲线的参数方程,5抛物线的参数方程,6直线的参数方程,直线参数
2、方程的几种形式（1）标准式 直线经过点M0(x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程为 其中，t是直线上的定点M0（x0，y0）到动点M（x，y）的有向线段 的数量，即，当点（x，y）在点（x0，y0）的上方时，t0；当点（x，y）在点（x0，y0）的下方时，t0，当点（x，y）与点（x0，y0）重合时，t=0，以上反之亦然.,于是参数t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离.由于直线的标准参数方程中t具有这样的几何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决，方便了很多.,其中（x0，y0）表示该直线上的一点，b/a表示直线的斜率.当a，b分别表示点M（x，y
3、）在x方向与y方向的分速度时，t就具有物理意义时间，相应的at，bt则表示点M（x，y），则在x方向、y方向上相对（x0，y0）的位移,7.渐开线与摆线的参数方程,（1）渐开线的参数方程,其中r为基圆的半径，为过切点的半径与x轴正方向所成的角。,其中r为圆的半径，为定点作圆周运动时所转过的角。,8参数方程和普通方程的互化（1）由参数方程化为普通方程消去参数.消参数常用的方法有代入法，加减（或乘除）消元法，三角代换法等.消参时应特别注意参数的取值范围对x，y的限制.由参数方程化为普通方程一般是唯一的.（2）由普通方程化为参数方程选参数，参数选法多种多样，所以由普通方程化为参数方程是不唯一的.,基
4、础自测,1.（2009年天津卷）设直线l1的参数方程为直线l2的方程为y=3x+4,则l1与l2间的距离为_,答案：,答案：-1,答案：,答案：,课堂互动探究,（1）化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=/2,Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：距离的最小值.,（2009年宁夏海南卷）已知曲线C1:,解析：,变式探究,1.（2009年南通模拟）已知直线 和圆C：,解析：圆的方程可化为,故直线l与圆C的公共点个数为2,设x=3cos，以为参数，求椭圆的参数方程.,分析：将普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x，y中之一的函
5、数关系.,解析：,点评：将普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x，y中之一的函数关系，同一个普通方程，当选择的参数不同时，得到的参数方程也不同.,解析：,将y=2pt代入y2=2px得,2.设y=2pt，t是参数，则抛物线：y2=2px（p0）的参数方程是_,变式探究,如图所示，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点.当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程.,分析：取xOP=为参数，则圆O的参数方程是当变化时，动点P在定圆O上运动，线段PQ也随之变动，从而使点M运动.所以，点M的运动可以看成是由角决定的.于是，选为参数是合适的.,点评
6、：如何恰当地选择参数，成为解决这类问题的关键.,变式探究,如图所示，经过抛物线y2=2px(p0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程.,解析：,在椭圆 上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离.,分析：直接用直角坐标，则点M(x，y)到直线x+2y-10=0的距离的表达式中有两个变量，虽然可以借助椭圆方程转化为一个变量，但是表达式比较复杂。因此，考虑用椭圆的参数方程求解.,点评：本题是利用椭圆参数方程解决问题的典型例子，可以感受到曲线的参数方程在消元变形中具有重要作用.利用参数方程，一方面椭圆上的点的
7、坐标只含有一个参变量，距离表达式得到简化；另一方面，可以用上三角变换，从而拓广了解决问题的途径.,变式探究,4.已知x00,y00,ab0,点P（x0,y0）在椭圆设点A、B的坐标分别为A（a,0）,B（0,b）,求点P使四边形OAPB的面积最大，并求最大面积.（O是坐标原点）,解析：如右图，将四边形OAPB分割成OAP与OPB,则P点纵坐标为OAP的OA边上的高，P点横坐标OPB的OB边上的高.,温馨提示,1.普通方程是相对于参数方程而言的，适当选择参数，普通方程可以化为参数方程；同样地，消去参数，参数方程就化为普通方程.需要注意的是，在化参数方程为普通方程时，坐标x，y的取值范围不能扩大或
8、缩小，即对应曲线上点的坐标不能有增减，为了防止转化过程中出现范围的变化，可以先由参数方程讨论x，y的变换范围，再对方程进行转化；从普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x，y中之一的函数关系，同一个普通方程，由于选择的参数不同，得到的参数方程也不同.,2.通过求过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程，应进一步明确参数方程中参数的几何意义.由直线l的倾斜角可得，直线l的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）是e=(cos,sin).设M(x，y)为直线上的任意一点，那么，从而必有实数t，使，即(x-x0，y-y0)=t(cos,sin)，于是得到直线l的参数方程：,
9、在上述的推导过程中，共线向量定理起关键作用.因为 由 得到 故直线参数方程中参数t的几何意义是：参数t的绝对值|t|等于动点M到定点M0的距离.当0时，sin 0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上。此时，若t0，则 的方向向上；若t0，则 的方向向下；若t=0，则点M与点M0重合.若直线l与曲线y=f(x)交于M1，M2两点，对应的参数分别为t1，t2.则曲线的弦M1M2的长是|M1M2|=|t1-t2|；线段M1M2的中点M对应的参数,3.应掌握椭圆的参数方程式如何推导出来的，如右图所示，以原点O为圆心，a，b(ab0)为半径分别作两个同心圆.设A为大圆上的任一点，连接OA，与小圆
10、交于点B.过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M.设以Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(x，y).那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y.由于点A，B均在角的终边上,由三角函数的定义有 x=|OA|cos=acos，y=|OB|sin=bsin.当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是 这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆.在上述的椭圆的参数方程中，参数表示x轴正半轴沿逆时针方向旋转到OB的位置时所转过的角度，通常规定参数的范围为0，2).类似地，可得双曲线和抛物线的参数方程.,题型展示台,（2008年海南宁夏卷）已知曲线C1：,（1）指出C1，C2各
11、是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1,C2.写出C1,C2的参数方程.C1与C2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.,解析：,所以压缩后的直线C2与椭圆C1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同.,（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）求证：OAOB.,解析：,题型训练,解析：由题知，直线为3x+4y+10=0,圆为（x-2）2+（y-1）2=25,圆心（2,1）到直线3x+4y+10=0的距离d=|32+41+10|/5=4,所以弦长为,答案：6,2.圆C：的普通方程为_设O为坐标原点，点M（x0,y0）在C上运动，点P（x,y）是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为_,答案：,祝,您,学业有成,
