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1、第二讲 参数方程,一 曲线的参数方程,1、参数方程的概念：,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？,提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？,1、参数方程的概念：,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
2、,1、参数方程的概念：,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？,一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。,（2）,并且对于t的每一个允许值,由方程组(2
3、)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,关于参数几点说明：参数是联系变数x,y的桥梁,参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围,1、参数方程的概念：,一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,例1:已知曲线C的参数方程是（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,
4、a)在曲线C上,求a的值。,一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）,变式:,2、方程 所表示的曲线上一点的坐标是（）,练习1,A、（2，7）；B、C、D、（1，0）,1、曲线 与x轴的交点坐标是()A、（1，4）；B、C、D、,B,已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上.（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.,解:,(1)由题意可知:,1+2t=5,at2=4,解得:,a=1,t=2,a=1,(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:,x=1+
5、2t,y=t2,由第一个方程得:,代入第二个方程得:,训练2：,思考题：动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程。,解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得,所以，点M的轨迹参数方程为,参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y)（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程,小结：,并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，,那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，系
6、变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。,2、圆的参数方程,y,x,o,r,M(x,y),圆的参数方程的一般形式,由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。,例、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。,解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，,参数方程为,(为参数),例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ
7、的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。,（2，1）,参数方程和普通方程的互化,例3：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,1.将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。2.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x、y的取值范围保持一致。,代入(消参数)法,恒等式(消参数)法,曲线C的普通方程和参数方程是曲线C的两种不同代数形式，以本质上讲它们是互相联系的，一般可以进行互化.,通常使用代入消参，加减消参，使用三角公式消参。,曲线的参数方程,曲线的普通方程.,说明:把参数方程化为普通方程,常用方法有:
8、,(1)代入(消参数)法,(2)加减(消参数)法,(3)借用代数或三角恒等式(消参数)法,常见的代数恒等式:,在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。,如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，那么,这就是曲线的参数方程。,例4,例4,还有其它方法吗？,例4,法二：,思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,分别对应了椭圆在y轴的右，左两部分。,（1）判断点P1（1，2），P2（0，1）与曲线C的位置关系（2）点Q(2,a)在
9、曲线l上，求a的值.（3）化为普通方程，并作图（4）若t0，化为普通方程，并作图.,分析与解答:（1）若点P在曲线上，则可以用参数t表示出x,y，即可以求出相应t值.所以，令,t无解，点P1不在曲线C上.,同理，令,点P2在曲线C上.,（2）Q在曲线C上，,如图.,（4）t0,x=2t0,y=3t2+11,消去t，得：,t0时，曲线C的普通方程为,(x0,y1).,点评:在（4）中，曲线C的普通方程的范围也可以只写出x0,但不能写成y1，这是因为,是以 x为自变量，y为因变量的函数，由x的范围可以确定y的取值范围，但反过来不行.,即:所得曲线方程为y=f(x)或x=g(y)形式时，可以只写出自
10、变量的范围，但对于非函数形式的方程，即F(x,y)=0，一般来说，x,y的范围都应标注出来.,（1）互化时，必须使坐标x,y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的.如曲线y=x2的一种参数方程是（）,分析:在y=x2中，xR,y0，在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，因而与y=x2不等价，而在D中，x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，且以x=t,y=t2代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,（2）在求x,y 的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。,注意:
11、,解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2,应选C.,补例4：下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是(),解：普通方程x2-y中的xR，y0，A.中x=t0，B.中x=cost-1,1，故排除A.和B.C.中,=ctg2t=,即x2y=1，故排除C.应选D.,补例5.直线：3x-4y-9=0与圆：,的位置关系是()A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心,A线段B双曲线一支 C圆弧D射线答案：A。分析 由,，将其代入,，整理得：,B抛物线一部分，这部分过点,C双曲线一支，这支过点,D抛物线一部分，这部分过点,分析 因为,因此，参数方程表示抛物线
12、,的一部分，这部分过点,，故选B。,A双曲线一支，这支过点,补例8已知直线l1:x-ky+k=0,l2:kx-y-1=0.其中k为参数，求l1,l2交点的轨迹方程.解法1:求出两直线的交点坐标，即解方程组:,当k21时，得到,这就是所求轨迹的参数方程，但如果要求轨迹的普通方程，需消去参数k.,（k为参数）,解法2：由kx-y-1=0，当x0时，可得,代入方程x-ky+k=0 得:,点评:解法2中，方程两边同除以x，会丢x=0的解；方程两边同乘以x，会增x=0的根，所以最后得到轨迹方程后应检验是否是同解变形.两种方法得到轨迹的不同形式的方程，只要把参数方程中的参数消去，便可得到同样的普通方程.（
13、不妨试试，可利用加减消元法消去k，但应关注y1的限制条件。）,去分母，化简得:x2-y2+1=0(x0)当x=0时，存在k=0，使得y=-1.所以，所求轨迹的普通方程为:x2-y2+1=0(y1).,补例9:在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：,（为参数）,则圆上点P坐标为(2+5cos，1+5sin)，它到所给直线之距离,故当cos(-)=1，即=时，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(-)=-1,即-时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).,例10：等腰直角三角形ABC，三顶点A、
14、B、C按顺时针方向排列，A是直角，腰长为a，顶点A、B分别在x轴y轴上滑动，求顶点C的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标系的普通方程）,分析 设点C的坐标为(x,y)，不易直接建立x,y之间的关系，所以可考虑建立x,y之间的间接关系式.CAX完全确定了顶点C的位置，即顶点C的位置是CAX的函数，所以可选CAX为参数,C点的参数方程为：,消去参数，得普通方程为：,小结：与旋转有关的轨迹问题，常选角为参数。,补例11：已知线段BB=4，直线l垂直平分BB=于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P，使OP.OP9。求直线BP与直线BP，的交点M的轨迹方程。,分析 以O为原点，l为x轴，B
15、B为y轴建立一直角坐标系xoy，如右图所示，则B(0,2),B(0,-2).,如图可知，当P点的位置一定时，P点的位置完全确定，从而完全确定了M点的位置，所以可选P点的坐标为参数。,直线BP的方程为：,直线,的方程为：,两直线方程化简为：,解和组成的方程组。可得直线BP与,的交点坐标为：,消去参数a，得：,本题也可将直线BP和,的方程变形为：,、两式相乘，得,小结：本题第二种解法，即交轨法。它是求两条曲线系交点轨迹的常用方法，这种方法不解方程组，而是直接由方程组消去参数而得交点的轨迹方程。,所求点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆，但不包含点B和,参数方程与普通方程互化,例1、将下列参数方
16、程化为普通方程,解：由式变形得：,将两式相加得：,由式变形得：,例2、将下列参数方程化为普通方程,解：由得：,代入，消去参数 t，得普通方程,例3、将直线的点斜式方程 y-y0=tg(x-x0)化为参数方程,解:将直线的点斜式方程变形为,即,例4、将下面参数方程化为普通方程,解：将参数方程变形为：,再将两方程的两边平方后相减，得,解：圆C的参数方程化为普通方程为,圆心到直线 l：3x-4y-9=0的距离为：,因为圆心到直线的距离小于圆的半径，所以直线与圆相交。,例6 求椭圆 的焦点坐标。,解：将椭圆的参数方程化为普通方程为,椭圆的焦点坐标为：,（1，3）和（1，-5）,例7、参数方程 表示的,曲线是_.,解：曲线的普通方程是：x y=0,其中变量 x 的取值范围是 0，1.,方程表示的曲线是线段.,例8、方程,（1）当是参数，t 是常数时，方程表 示什么曲线？,（2）当 t 是参数，是常数时，方程表 示什么曲线？,（1）,再将两方程的两边平方后相加，得,（椭圆）,（2）当 t 是参数，（k是整数）,消去 t，得,（双曲线）,小结：1.本节课讲述了参数方程和普通方程的互化，重点研究了参数方程化为普通方程。参数方程化为普通方程关键是消去参数;普通方程化为参数方程关键是设适当的参数.,2.对于一些参数方程的问题，可以先将参数方程化为普通方程后再解，体现了转化思想的应用。,
