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1、a与角夕的终边重合)：SMCoS1.角函数俵大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、 四象限半所在区域 = 360夕三角函数1.与(0oa = g,正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT.7.三角函数的定义域:三角函数定义域f(x)=sinxxxR/(x)=COSXxx?)f(x)=tanxxIXR.xA+gr,Aez)f(x)=COUxxRMxkykeZ/(x)=SecXxIxRKx左乃+B乃，Azf(x)=CSCXxxeRjIXk,keZ8、同角三角函数的基本关系式：包3=sncosflfCosorSinaanacot=lcscsin=1SeCaCoSa=Isin2a+cos2a
2、-1sec2a-tan2a=1csc2a-cot2a-19、诱导公式：把3a的三角函数化为a的三角函数概括为:“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组一sinx CSCA= 1COSx seat= 1IanX cou=lsin X taiLV=COSXcos COtX=sinxsin2+cos2.r= 11 +tan2 X =sec21+COt2A-=CSC2X公式组二sin(2Ar+x)=Sinxcos(22+x)=cosXtan(2k+x)=tanxcot(2Ar+x)=cotx公式组三sin(-x)=-sinxCOS(T)=cosxtan(-x)=-tanxCot(
3、T)=-cotx公式组四sin(+x)=-sinXCOSQr+x)=-cosxtan(-+x)=tanxC0t(+)=cotx公式组五sin(2-x)=-sinxcos(2,-x)=cosxtan(2乃-X)=-IanXcot(2-x)=-cotx公式组六sin(-x)=sinxcos(-x)=-cosxtan(-x)=-tancot(-x)=-cotx(二)角与角之间的互换公式组二sin2a = 2sinacosa公式组一cos(+/?)=cosacos?-sinasinCOS(-) = COSaCOS力+sin sin cos2 =cos2 flf-sin2 = 2cos2 a- = l-
4、2sin2 asin(a + /?) = sin a cos +cos a sin Sin(Q _ ) = sin a cos - cos a sin tan2 =2 tanal-tan2 a.asin = .2I-COSaa , l + cosa cos = J2 V 2zc、tana+tantan(+)=-1-tanatan/?公式组三公式组四公式组五2tanysina=,2altan2Sinass=sin(+/)+sin(-COSS%a)=SinaCoSaSin=Lsin(a+4)-sin(a12sin(一万一a)=COSa,2a1-tanCoSa=-.2a1+tan212cosacos
5、=cos(a+)+cos(a尸),2tan(-a)=cotasinasin=cos(7)-cos(a-6)c,CABa。-Pcos(-)=-sinasin+sin夕=2sin-cos-)zc、tana-tanZ?tan(-=-1+tanatan/?aIl-cosaSlnaI-CoSatan=J=2Vl+cosal+cosasinaC a2tan-2 tan a =-2 a1 - tan 26-sin 15 - cos75 =4.CCa+P.a-Dsn-sin夕=2cos-Smtan(-)=-cotaa-a-COSa+cos夕=2cos-cos-C.2S叱Ka)=CoSacosa-cos/=-2
6、sin-sinJtan15=cot75=2-3,.tan75=cotl5=2+3sin750=CoSI5=瓜叵410.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y=sinXy=COSXy=tanxy=cotxy=Asin()(A、0)定义域RRxxR且XHk乃+；兀，kzxIXRliXk,%ZR值域-1,+1-L+1RR一A,A周期性221r奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当叩0,非奇非偶当e=0,奇函数单调性F2k,2y+2k上为增函数；I-2kr,2+2M上为减函数(AZ)(2k-),2k上为增函数2k,(2k+l)j上为减函数(Z)(.-+kik上为增函数(Z)OU,（4+1卜）上为减函数
7、（AZ）2k，12+-(-A)1.J上为增函数；CI2k+Z（八）,32+-(Y).J上为减函数反.一般地，若y=）在0,b上递增（减），则y=-f（x）在,b上递减（增）.y=nM与=COSX的周期是4.y=sin(v+0)或y=8式6+夕)(0)的周期T=若.土的周期为2乃（2=p,如图，翻折无效）.My=sin(ar+e)的对称轴方程是+g(AeZ),对称中心(A%,0);y=cos(r+e)的k冗对称轴方程是X=&万(AWZ),对称中心(而+b0)：y=tan(0r+g)的对称中心(一,0).22y-cos2x-原总y=-cos(-2x)-cos2x当tanatan尸=1,a+夕=Ar
8、+g(AeZ)；tanatan/?=-l,a-=k+(keZ).y=cosx与y=sinx+2版是同一函数,而y=（6+是偶函数，则y=(5+9)=sin(0w:+4乃+g乃)=cos(v)函数y=tanx在R上为增函数.（X）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，y=tanx为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是定具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f（-x）=（x）,奇函数：/S）=-/3）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y=tanx是奇函数，y=tan。+；幻是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函
9、数特有性质：若0x的定义域，则/（%）一定有o）=（Ocx的定义域，则无此性质）Iy=Sinl.q不是周期函数；、=卜山1|为周期函数（7=4）；JFol15做y=c（是周期函数（如图）；y=cos为周期函数（T=笈）;y=cos2x+的周期为万（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如:2y=/（x）=5=f（x+k）,kcR.y=cos+力Sin=-Ja2+b2sin(+)+cos=-有Ja2+b2y.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=Asin（+）的振幅A,周期丁二生，频率=_!_=应!，相位）X+Q；初相0T2万（即当X=O时的相位）.（当A0,0时以上公
10、式可去绝对值符号），由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当A1）或缩短（当OVlAll）到原来的倍，得到y=sinaX的图象，叫做周期变换或叫做沿X轴的伸缩变换.（用ax替换X）由y=Sinx的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）或向下（当b0,0)(xR)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延X轴量伸缩量的区别。高中数学三角函数常见习题类型及解法1 .三角函数恒等变形的基本策略。(1)常值代换：特别是用“1”的代换，如I=Cos2+sin2=tanxcotx=tan45o等。(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(s
11、in2x+cos2x)+cos2x=l+cos2x;酉己凑角：=()-,二+2_a-笺2 (3)降次与升次。(4)化弦(切)o(4)引入辅助角。asin+bcos=ya2+b2sin(+),这里辅助角/所在象限由a、b的符号确定，角的值由tane=2确定。a2 .证明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。(2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3 .证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4 .解答三角高考题的策略。
12、(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析例1.已知tanO=V,求(1)土Smg；(2)sin?。一SinaCOSe+2cos?6COSe-Sine的值.I+sin。解：(1)cos。+Sine二士通JtanJ二比g_3_2要；COSe+sin81Sine1-tan1-2cos，o.2八C2Sin2-sincos0+2cos20(2) sin-sincos+2cos2=；sin2+cos2sin2sin=cos2。COS+=2-V+2=4-Vsin212
13、+13,cos说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例2.求函数y=l+sinx+cosx+(sinx+cos)2的值域。解：r=sinx+cosx=V2Sin(X+)7,则原函数可化为4y=r2+r+l=(r+l)2+-,因为-0,所以24当时，Va=3+,当J时，为E=(，所以，函数的值域为y3,3+4例3.已知函数/(x)=4sin?x+2sin2x-2,XeRo(1)求/(x)的最小正周期、AX)的最大值及此时X的集合；(2)证明：函数/(X)的图像关于直线l=-工对称。8解：f(x)=4sin2X+2sin2x-2=2sin
14、-2(1-2sin2x)=2sin2x-2cos2x=22sin(2x-)4(1)所以/(x)的最小正周期T=乃，因为xR,所以，当2x-生=2H+生，即X=反+四时，/(元)最大值为2立；428(2)证明：欲证明函数/(X)的图像关于直线X=-生对称，只要证明对任意R,8有了(一白一X)=/(一+x)成立，OO因为f(x)=2sin2(,)=22sin(2x)=-2f2.cos2x,/(-+x)=2sin2(-+%)-=22sin(-2x)=-2五cos2x,8842所以-=一+x)成立，从而函数“幻的图像关于直线X=-生对称。88816例4.已知函数y=cos+sinxcosx+1(xR)
15、,22(1)当函数y取得最大值时，求自变量X的集合；(2)该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？:(1)y=-cos2x+sinxcosx+l=-(2cos2-1)+(2sinxcosx)22444+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+4442664=sin(2x+-)+264所以y取最大值时，只需2x+X=X+2kn,(kZ),即x=-+k11,(kZ)o626所以当函数y取最大值时，自变量X的集合为xx=X+k,kZ6(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：(i)把函数y=sinx的图像向左平移卫，得到函数y=sin(x
16、+工)的图像；66(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到2函数y=sin(2x+g)的图像;6(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的L倍(横坐标不变)，得到2函数y=-sin(2x+-)的图像；26(iv)把得到的图像向上平移2个单位长度，得到函数y=1sin(2x+工)+4264的图像。综上得到y=-cos2x+-sinxcosx+1的图像。22说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于sinx,Cosx的齐次式，降塞后最终化成y=VT寿Sin(+)+k的形式，二是化成某一个三角函数
17、的二次三项式。本题(1)还可以解法如下：当COSX=O时，y=l；当COSX0时，I23,13cosxSinxcosx+tanxy=2,2,+1=2+1sin2x+cos2X1tan2x化简得：2(y1)tar?x-VJtanx+2y-3=037VtanxR,=3-8(y-l)(2y-3)20,解之得：-y-44ymax=L此时对应自变量X的值集为I=kn+,kZ46例5.已知函数/(x)=SinmCOSq+百COS2(I)将FG)写成ASin(5+0)的形式，并求其图象对称中心的横坐标；(II)如果aABC的三边a、b、C满足bac,且边b所对的角为x,试求X的范围及此时函数f0的值域.2.
18、r/1.2XA/52x1.2x32x3.2x3川牛：f()=sin+(1+cos)=sin+cos+=sm(+)+232323232332(I)由Sin(B+?)=()即B+(=攵乃(Zz)彳导X=乃Zz即对称中心的横坐标为“一kez2(II)由已知b2=aca2+c2-b2a2-Vc2-ac2ac-ac1COSX=,2aclac2ac21,1八,2x,K一Cosx1,OVX一,一12333395.2x、八11.2x、八3一.sinsn(+-)1,.V3sin(一)1H,2333332即F(X)的值域为(瓜1+综上所述，X (0,y幻值域为(6,1 +半.说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理
19、、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例6.在eABC中，、b、C分别是角A、B、。的对边，且=生cosBb(1)求sin8的值；(2)若b=4L且=c,求-ABC的面积。az,/八占-r升-ETLCoSC3a-ccosC3sinA-sinC解：(1)由正弦定理及=，有=,COSBbCoSBsinB即sinBeoSC=3sincosB-SinCcosB,所以sin(B+C)=3sinAcosB,又因为A+8+C=7,sin(8+C)=sinA,所以SinA=3sinAcosB,因为SinA0,所以cos8=J,又OvB
20、vtt,所以SinB=Jl-Cos?8=逑。337在.ABC中，由余弦定理可得6+。2一团=32,又q=c,所以有g/=32,即/=24,所以,.ABC的面积为S=-acsnB=-a2sinB=8五。22三角翦教一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1 .已知点P(Uma,cos)在第三象限，则角的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限lrrZr272 .集合M=Mx=y,女Z与N=xx=丁，4Z之间的关系是()A.MNB.NMCM=NDMN=03 .若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是()A.60oB.-60oC.30oD.30o4 .已知下列各角(1)
21、787,(2)-957%(3)-289,(4)17110,其中在第一象限的角是A.(1)(2)B.(2)(3)C(I)(3)D.(2)(4)5.设a0,角a的终边经过点P(-3a,4a),那么sina+2cosa的值等于A.IB.-1C.ID.-1()136.若cos(a)=-,a2,则sin(2r-a)等于()A.一坐B.坐C.ID.+-7 .若a是第四象限角，则La是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8 .已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是()2A.2B.C.2sinlD.sin29 .如果 SinX+cosx=g ,且 0xg=2+si
22、n仇则w+1+IV-Iol的值等于（）4-3-A.3- 4 4-33一 4-C4-3D.A.2r-9B.9-2C.llD.9二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11 .an300。+COt765。的值是.升Sina+cosrl,l.4人士口12 .若:=2,则sncos的值是.sn-cos13 .不等式（lg20）2c*l,（x（0,乃）的解集为.14 .若夕满足cos。一；，则角夕的取值集合是.15 .若CoSI300=4,则tan50o=.一16 .已知J（X）=；+：,若，）,则y（coso）+4-cos）可化简为.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、
23、证明过程或演算步骤）P (x,小)，且 cosa=17 .（本小题满分12分）设一扇形的周长为C（C0）,当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？18 .（本小题满分14分）设90。VaVI80。，角的终边上一点为求sina与tana的值.19.（本小题满分14分）己知9-, sin=42m,求加的值.20.(木小题满分15分)已知0。145。，且Ig(Iana)-Ig(Sina)=Ig(CoSa)-Ig(COta)+21g332lg2,求cos3q-si/a的值.21.(本小题满分15分)己知sin(5-)=*2CoS(W兀+夕)和，5cos(-a)=2cos(,/?),且0aV
24、兀，0 k+ (ZrZ)OOB. r+5 , (Z)C.以1一，kir (ArZ)D., k+爷(Z)5 .若Sina+cos=?,且一m-1,则角所在象限是A.第一象限C.第三象限26 .函数丁=|03山（02)=0可得占一及必是的整数倍；y=7(x)的表达式可改为y=4cos(2-看)；y=兀0的图象关于点(一会，0)对称；y=2的图象关于直线X=*对称.其中正确的命题的序号是.三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 .(木小题满分12分)如图为函数y=Asin(ttr+w)(AO,/0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.18 .(木小题满
25、分14分)已知函数y=(sinx+cosx)2+2cos2.(ER)(1)当)，取得最大值时，求自变量X的取值集合.(2)该函数图象可由y=shuR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?19 .(本小题满分14分)已知函数y(x)=log(sinxcosx)2(1)求它的定义域和值域；(2)求它的单调减区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.20 .(本小题满分15分)某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图)，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值加，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角应为多少时，方能使修建的成本最低？21 .(本小题满分15分)已知函数(x)=Sin(CyX+9)(0,OWpW%)是R上的偶函数，其图象关于点M(y,0)对称，且在区间0,J上是单调函数，求8和的值.
