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1、凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,微分方程的定义,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的 最高阶导数的阶数.,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,（隐式通解）,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲
2、线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,齐次方程_可化为可分离变量方程,可化为齐次方程的方程,可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,例2 求微分方程,解,分离变量,两端积分，得,求特解的另一方法：由,通解为,解,解,由题设条件,衰变规律,解,例5,某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有 的,为了降低车间内空气中 的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内 的百分比降低到
3、多少?,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,6分钟后,车间内 的百分比降低到,例6(物体冷却问题)将某物体放置于空气中，在时刻 时，测得它的温度为，10分钟后测得温度为.试确定此物体的温度 和时间 的关系，并计算20分钟后物体的温度.假定空气的温度保持为.,设物体在时刻 的温度为,则,解 Newton冷却定律：物体的温度变化速度与该物体的温度和其所在介质温度的差值成正比.,解,为所求解.,例7 求解微分方程,奇解,二、齐次方程_可化为可分离变量方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,齐次的.,例 8 求解微分方程,微分方程的解为,解,例 9 求解微分方程,解,微分方程的解为,三、可化为齐次的方程,为齐次方程.,否则为非齐次方程.,1.,解,代入原方程得,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,四、小结,齐次方程,可化为齐次方程的方程,思考题,方程,是否为齐次方程?,思考题解答,方程两边同时对 求导:,原方程是齐次方程.,练 习 题,练习题答案,练 习 题,练习题答案,
