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1、第五章 固体能带理论,一、自由电子模型（前面几节使用的）,在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互作用被忽略.也可以这样说晶格对电子的影响视为平均势场.,索米菲理论：自由电子模型费米狄拉克分布解释：1.电子气热容量 2.电子发射 3.电子气的顺磁与逆磁效应,1.磁阻,困难：,2.霍耳效应,3.电导、热导,二、3个重要近似和周期性势场,多粒子系统,多电子系统,单电子系统,即：每个电子在由正离子产生的和其他电子的平均电荷分布的势场中运动.,绝热近似：,由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动
2、。,单电子近似：,一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。又称hartree-Fock自洽场近似。,周期场近似：,原子实和电子所形成的势场是周期性的。,2.周期性势场：,单电子近似的结果：周期性势场（周期为一个晶格常数）,1D,3D,r为电子位置矢量,为离子的位矢,Schrodinger eq.,3.Bloch波,1）Bloch定理：在周期性势场中运动的电子，气波函数由如下形式,其中u具有晶格的周期性，即,证明：问题：求H的本征函数，直接求困难.,方法：,定义平移算符：,由量子力学知道，如果两算符对易，则它们具有共同的本征函数.,问题：,任意两个算符对易吗？,设,为本征值,取,为变量,则
3、：,其中：,具有晶格周期性,证明：,Bloch定理：,在周期性势场中运动的电子的波函数具有如下形式,推广：,三维情况,描写电子的共有化状态,描写电子在原胞中的运动,2）Bloch波的性质,a.波函数不具有晶体周期性，而（k为实数时）电子分布几率具有晶格的周期性,b.当k为虚数，描写电子的表面态，kis(s0),S小于0时无意义.,c)周期边界条件：,d)波矢相差倒格矢整数倍的Bloch波等效.因此把波矢限制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞数N可容纳的电子数为2N.,证明：,具有共同本征值.,与,描写同一状态.,因此可以把波矢限制在第一布区内,波矢数：,考虑自旋：电子数为2N,解
4、：（1）方法a,方法b.,例：电子波函数为：,求波矢k。,2,三、单电子近似下电子的能量状态,电子满足的薛定谔方程：,在克龙尼克潘纳模型下：,周期运动中的离子许可能级形成能带.能带之间存在不许可能量范围称为禁带，且禁带位于布区边界.,这个模型有多方面适应性.改变的值可以讨论表面态.合金及人造晶格的能带.,关于能带的讨论：,1.在原理布区边界的区域内，电子的能量可粗略的视为自由电子的能量,2.在布区边界上，电子能量不连续，出现禁带，禁带的宽度为：,为势能函数的第l个傅立叶分量,产生禁带的原因：是在布区边界上存在布拉格反射.,3.在同一能带中，能量最大的地方称为带顶，能量最小的地方称为带底，能量最
5、大值与最小值之差称为能带宽度.带底附近能量曲线是一开口向上的小抛物线，带顶附近，能量曲线是一开口向下的小抛物线.,4.能量是k的周期函数，周期为倒格子矢量,同时为k的偶函数：,（1）第一布区图,（2）扩展区图,（3）周期区图,5.能量曲线的三种表示方法,6.E为k的多值函数，以视区别,表示第s个,能带的能量，而k表示在第一布区中取值.,7.每个能带可容纳2N个电子，第一布区分立k的数目为N,考虑自旋2N,解：,例1.求克龙尼克潘纳模型第一、二、三个禁带的宽度.,2.二维情况下，晶体势场,求布区边界,处的能隙宽度,解：,二维,第一布区边界：,能带计算,我们介绍了一维周期场中电子的运动特征，获得了
6、固体能带的主要结论.本章主要考虑三维情况，介绍能带的计算方法.,一回顾单电子近似,1.绝热近似多粒子体系变成多电子体系。原子核质量比电子大的多，运动速度慢，可以认为原子核固定在瞬时位置上.,2.Hatree-Fock近似.多电子体系变为单电子体系.每个电子在离子核势场及其他电子产生的平均势场中运动.,3 势场是周期性的.,二能带计算的一般步骤：,1.选取某个适当的具有Block函数形式的函数集（函数集的选取决定于所取的近似）将电子波函数在此集合中展开.,2.将电子波函数（展开后的）代入薛定谔方程得到一组各展开系数所满足的久期方程.,3.由各系数不全为0的有解条件（久期方程的系数行列式为0），求
7、出能量本征值.,4.依据能量本征值，求出波函数展开系数.,三.平面波方法,一、平面波函数及其正交性,平面波：,的平面波组成一函数集.,正交性：,函数在另一个波函数上的投影为0.,证明：,二、波函数与势函数在平面波函数集中展开：,平面波函数集：,波函数：,势函数：,为展开系数,所以V具有周期性.,三、中心方程及其解,Kittle称之为中心方程.,各方程有解之条件：,矩阵元,如果选取 为某个固定方向，计算这个方向的能带,平面波方法简单，但收敛较慢，取很多个平面波来计算，计算工作量较繁，如果取200个平面波，则得到200阶行列式，40000个矩阵元，这就要求容量相当大的计算机.虽然有求解行列式专用程
8、序，工作量之大是可想而知的.如果计算方法是取一个,计算一个点那么多少阶行列式则可解出多少个能量本征,一个能量本征值代表一个许可态，去不同的 值则可得到,多少个能量谱线.,讨论：,1.近自由近似零级波函数为平面波,与波函数,比较,由中心方程：,与微分结果一致.,2.两分量近似,中心方程得：,由于系数行列式为0,在远离布区处，电子能量大约为自由电子的能量，在布区边界的地方，能带分裂，出现禁带，其宽度为：,3.能带分裂处满足Bragg反射条件,5.4 紧束缚方法,平面波方法的缺点：收敛较慢计算麻烦.,电子几乎为一个原子所有，在空间上稍有扩展，即紧束缚方法认为电子在鼓励原子中的情形，而又不全如此：每个
9、原子对它附近的电子的作用较强，当二者的距离稍远时，作用很小.,紧束缚模型：,一、基函数（Wanner函数）,电子波函数:,性质：,a.区域性：,证明：,b.正交性：,不同格点不同能带的旺尼尔函数正交,物理意义：不同能级的电子云重迭较少，同一原子不同能级的电子云也不重迭.,取旺尼尔函数为孤立原子波函数：,电子波函数：,满足：,二.求系统的能量：,孤立原子：,晶 体：,讨论s态：没有简并，球对称,包含三部 分,例：用紧束缚方法导出体心立方晶体的s能带的表达式，并求出能带宽度和电子的有效质量。,解：,1.体心立方有八个邻近，坐标如下：,为孤立原子的能级，为库仑能.加上J项能级变成能带（因为J较小），
10、J项与k有关，色散关系（能谱）主要由此项体现.s电子与方位无关，如果非s电子，J还与临近原子的方位有关.,由（1）、（4）得：,由（3）、（6）得：,由（2）、（7）得：,由（5）、（8）得：,(a),(b),(c),(d),由（a）、（b）得：,由（c）、（d）得：,(e),(f),由（e）、（f）得：,2.能带宽度,3.解法一：用定义求,带底（0，0，0）,解法二：展开方法,费米面的构造,费米面是电子的占据态与非占据态之间的分界面.晶体（特别是导体）的许多性质决定于费米面附近电子的行为.因此费米面的形状十分重要.,构成费米面的步骤：,1.画出布区广延图,2.用自由电子模型画出费米球,3.用
11、的性质，将费米片断移到这一布区,4.自由电子过渡到准自由电子，由于禁带出现在布区边界，费米面于布区相割处，将费米面锐处钝化.,例1、二维正方晶格1.画出布区广延图,2.求,解：,1 0.798,2 1.128,3 1.384,4 1.596,5 1.784,6 1.954,费米球如右图,解:,所以 每个原子所贡献的电子数为,例2.已知某简立方晶体的费米球与第一布区的边界相切，求每个原子的电子数,狄哈斯阿耳劳效应,1.现象,低温强场条件下，晶体的磁导率随 振荡,（后来发现电导率及比热也有类似现象）,这些现象同费米面附近的电子在强磁场中的行为有关.因而与金属的费米面的结构有关.因此，此现象是研究晶
12、体费米面的工具.,2.解释,a.磁场中电子应满足的schrodinger 方程及其解,磁矢势：,电子的正则动量：,电子应满足的schrodinger eg,上式为一个谐振子的schrodinger方程。由量子力学及：,或,由上式可以看出电子能量在xy面上变成了分立的能级.所以电子的能量成为能带，这个能带称为磁次能带，此能带的最低能量为,能带序号为n.,b.求状态密度：它与加了磁场后相邻圆之间（or每个圆上的简并度）相等.,这说明没有磁场式，本来分布均匀的点在加上磁场后聚集到圆周上.每个圆上的代表点数随磁场增多.,考虑Z方向：在单n个次能带中波矢在,范围的状态数：,有外磁场时：,c.解释：,态密
13、度曲线出现峰值，相邻两峰之间的能差是,由于磁场增大，每个峰内所包含的电子数目增多，故可容纳更多的电子.磁次能级减少，次能带的抽空造成了振荡.在某一磁场上，所需的磁次能带n由下式确定：,未加磁场时，电子位于费米海洋中,加上磁场后，电子位于各磁次能级收上，加上磁场B1后，能量上升的电子与能量减少的电子相等.费米能未改变，加上B2后能量上升的电子数多于能量减少的电子.费米能升高.B3同B1时，费米能量的起伏造成与之有关的物理量的振荡.,3.应用用此效应确定晶体的费米面,设在磁场B1由n个磁次能带；B2下有n-1个次能带,S为垂直于磁场方向的费米面的截面积.,5.5 准经典近似,在外场作用下，电子如何
14、运动？如何描述？,用量子理论：不方便；经典理论：困难.,准经典近似：描写波的物理量与描写粒子的量（速度、加速度、质量间）的关系.,一、k态电子的速度,一维,三维,证：波包以,为中心，波矢在,范围中的,波函数迭加而成,比,线度小的多.所以可认为,波包的波函数：,几率：,波包中心位置：,波包运动速度：,分量式：,二、动量定理：,定义电子准动量：,则：,牛顿第二定律：,电子有效质量：,证：,其中,讨论：,1.周期场不存在时，电子的有效质量为自由电子质量.,有效质量确实具有有效质量的量纲,各向同性时：,2.有效质量是二级张量,3.带顶有效质量为负，带底的有效质量为正,由能量曲线的开口方向可以得到解释.
15、,时，电子从外场获得的能量大于交给晶体的能量,时，电子从外场获得的能量小于交给晶体的能量,电子吸收外场能量，使其波矢增加，当增加到一定程度，在从外场中吸收了能量的电子的波矢量刚好满足Bragge反射条件，使电子总的向前的动量减少.对应于有效质量为负.,而是外场引起,变化，而,不随,变化,例：,对于简立方，s电子的能带表达式为：,求：1.k态电子的速度,2.能带宽度,3.用级数展开方法求带顶、带底的,4.由有效质量的定义求,解:（1）,（2）能带宽度,（3）a.带底,（4）,由,b.,带顶,底,顶,7.金属、半导体、绝缘体的能带结构 空穴的概念,固体能带理论的主要贡献在于它成功的解释了物质的导电
16、机理，即说明了有的物质为什么能导电，有的物质为什么不导电.虽然同样有大量的电子存在.,一、几个概念,1.满带电子不导电,这证明k态电子与-k态的电子运动方向相反，大小相等.,（1）无外场时，能带完全被电子占满，分布对称，虽然每个电子均有电流,但总的效果为0,因为彼此完全抵消.,（2）有外场时，所有电子的波矢均向左移动,但这种移动并未改变是电子的填充状态，因为从,移出的电子从,点移进来，整个能带仍是满的,在无外场时，电流为0，没有外场作用时，电流不为0，无外场时，分布对称，电流相互抵消.有外场时电子分布不对称，有净的剩余电流存在.,2.不满带电子导电,二、用能带理论解释倒替、半导体、绝缘体,1.
17、导体能带特点：能带未被完全充满，或能带产生交迭,(2).碱金属：各方向上的周期不一样，能带出现交迭，造成能带实际不满。,2.绝缘体：,价电子刚好填满整个价带，而更高的许可带与价带之间存在着一个很大的禁带，除非很强的电场，否则电子不会被激发到许可带上去而导电。,3.半导体,能带结构基本上与绝缘体相似，只是禁带较窄（一般在2.0eV以下）依靠热激发就可以使电子跃迁到许可带上去而导电.,三、空穴的概念,1.定义：满带顶部附近的空状态（如半导体中电子跃迁后留下的空位）,2.性质：,（1）荷电,（2）有效质量,（3）速度,态电子的速度,证明：,外来电子的电流,不满带的电流,3.空穴在状态空间的运动规律,空穴波矢变化规律与,态电子波矢的变化规律相同,犹如前进队伍中缺一人，这个位置随队伍前进,4.空穴在坐标空间的运动,空穴是一个准粒子，它带正电，因此晶体中导电的粒子有两种：（1）电子；（2）空穴.,空穴的运动规律犹如一个正质量、荷正电的粒子的运动规律，用孔穴的概念能够很好的解释半导体的导电机理.,例：已知价带顶附近电子的能量为：,将一个电子从,处移走，于是能带成为,不满带，试给出：,a.该空穴的有效质量和符号,b.该空穴的波矢量的大小和方向,d.空穴的动量,e.该空穴的速度,f.该空穴的所运载的电流,解：,a.,b.,c.,d.,e.,f.,
