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1、24.2 圆的基本性质（2）,义务教育教科书（沪科）九年级数学下册,第24章 圆,你学过的具有对称性的图形有哪些？,知识回顾,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线,实践探究,情境引入,1.圆是轴对称图形吗？,你是用什么方法解决这个问题的?,圆是轴对称图形.,其对称轴是任意一条过圆心的直线.,如果是,它的对称轴是什么?,用折叠的方法即可解决这个问题.,你能找到多少条对称轴?,自主预习,操作：CD是圆0的直径，过直径上任一点E作弦ABCD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？,猜想：
2、,新知探究,则OA=OB.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,CDAB于M,证明：,已知：CD是O的直径，AB是O的弦，且CDAB于M，求证：AM=BM，AC=BC,AD=BD,叠 合 法,连接OA,OB，,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。,题设,结论,垂径定理,错,判断题：(1)过圆心的直线平分弦(2)垂直于弦的直线平分弦(3)O中，OE弦AB于E，则AE=BE,错,对,垂径定理,B,A,O,E,几何语言表达：,CDAB,AB是O的一条弦（非直径）,且AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的
3、想法和理由.,过点M作直径CD.,下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,发现:,CD是直径,AM=BM,定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。,下列图形是否具备垂径定理的条件？,例2 如图，O的半径是5cm，弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的距离。,圆心到弦的距离角弦心距。,例3 解决求赵州桥拱半径的问题,赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥
4、的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为37.4m，弓高（弧的中点到弦的距离）为7.2m。求桥拱所在圆的半径（精确到0.1m）,例3 解决求赵州桥拱半径的问题,解得：R279（m）,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,计算如下,1.在O中，若CD AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（）,2.已知O的直径AB=10，弦CD AB，垂足为M，OM=3，则CD=.,3.在O中，CD AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则O的半径是.,C,8,13,注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一
5、种辅助线的添法往往结合勾股定理计算。,随堂练习,判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）平分弦的直径一定垂直于这条弦.（）(3)弦的垂直平分线一定经过圆心.（）,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧,证明：过O作OEAB于E，,在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。,则 AE=BE,CE=DE,AECE=
6、BEDE,即AC=BD,已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD,(1)如图,已知O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30,求弦 AB 的长.,O,A,O,C,A,B,M,(2)如图,已知O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,交点为 M,求 弦 AB 的长.,6,30,E,B,E,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,知识梳理,O,A,B,C,D,E,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理：,推论：,几何语言表述,
