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1、湖南商学院,1,5.2.1 基本迭代法,为求线性代数方程组(2-1)的解，仿照5.1方程求根的办法，可将方程组(2-1)改写为等价方程组,构成迭代格式,湖南商学院,2,或简写为,(5-26),给定初值x(0)=(x1(0),x2(0),xn(0)T，令k=0,1,，由此可得向量序列x(k)。显然，如果此序列收敛于 x，那么每个分量序列xi(k)必收敛于xi，xi(i=1n)就必然是原方程组的解。这种解法称雅可比(Jacobi)迭代法。,湖南商学院,3,例5-2 用雅可比迭代法解方程组,解 按公式(5-25)，雅可比迭代格式为,取x(0)=(x1(0),x2(o),x3(0)T=(0,0,0)T
2、，令k=0,1,，得X(1)=(1.2,1.5,2)TX(2)=(0.75,1.1,2.14)TX(3)=(0.769,1.13875,2.12)T,湖南商学院,4,X(4)=(0.768125,1.138875,2.125216667)TX(5)=(0.76733,1.13832292,2.12535833)TX(12)=(0.767353807,1.138409760,2.125368111)T=X(13),故。解毕在计算机上使用雅可比法求解方程组(2-1)时，若用x和y分别表示x(K)和x(k+1)，当 时停止迭代，则计算步骤如下：,湖南商学院,5,湖南商学院,6,注意使用雅可比迭代法时
3、，按公式(5-25)计算xi(k+1)，右边全是x(k)的分量，只有x(k+1)的分量全部算出后，在算x(k+1)的分量代换x(k)的分量。所以雅可比迭代法又称同时迭代法或整体代换法或简单迭代法。如果在算x(k+1)时，将已经算出的分量立即代替x(k)对应分量，则得另一种迭代法赛得尔迭代法，或称逐个代换法，其迭代公式为,湖南商学院,7,(5-27),例5-3 用赛得尔迭代法求解例5-2方程组解 按公式(5-27)，赛德尔迭代公式为,取x(0)=(0,0,0)T，令k=0,1,2,得,湖南商学院,8,X(1)=(1.2,1.35,2.11)TX(2)=(0.7485,1.1426875,2.1287375)TX(3)=(0.766420625,1.138105234,2.125431630)TX(4)=(0.767374732,1.138399205,2.125363210)TX(8)=(0.767353807,1.138409760,2.125368111)T故。解毕,在计算机上用赛德尔迭代法解方程组(2-1)时，若要求,时停止计算，则计算步骤如下：,湖南商学院,9,为加速赛德尔迭代法的收敛性，仿方程求根的松弛法，,湖南商学院,10,将迭代公式(5-27)改为,(5-28),按此公式迭代求解方程组(2-1)，称为 逐个超松弛迭代法或SOR法。显然w=1时就是赛德尔迭代法.,
