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1、1,5.1.2 简单迭代法,已知根 的存在区间a,b,自然可取中点c作为根 的精略近似值x0。为求逐次逼近 的近似值x1,x2,自然希望使用相同公式xk+1=(xk),k=0,1,2,(5-3)利用此式求根近似值的方法称为简单迭代法。Xk 称为迭代序列，(x)称为迭代函数，上式称为迭代格式。显然，如果迭代序列收敛于,且(x)连续，则,2,=（）=,即根 满足方程 x=(x)(5-4)因此，为保证迭代序列逐次逼近方程f(x)=0的根，应当选取迭代函数(x),使方程(5-4)与(5-1)同解。,例5-1 用简单迭代法求区间(2,3)内方程x3-2x-5=0的根解一 将方程两边同加2x+5,再开三次
2、方，得式(5-4)型同解方程 x=作迭代格式 xk+1=,k=0,1,取x0=2.5,迭代得 x1=2.154434690,x2=2.103612029,x3=2.095927410,3,X4=2.094760545,x5=2.094583250,x6=2.094556309X7=2.094552215,x8=2.094551593,x9=2.094551498X10=2.094551484,x11=2.094551482=x12由于x12=x11,再迭代已无变化，可见 x11,解二 将方程x3-2x-5=0两边同加2x3+5,再同除3x2-2,得同解方程 x=(2x3+5)/(3x2-2)作
3、迭代格式 xk+1=(2xk3+5)/(3xk2-2)取x0=2.5,得迭代序列:x1=2.164179104,x2=2.097135356,x3=2.094555232,X4=2.094551482=x5,故 x4,4,作迭代格式 xk+1=(xk3-5)/2令x0=2.5,得迭代序列:x1=5.3125,x2=72.46643066,X3=190272.0118,x4=3.444250536 1016,x5=2.042933398 1046,计算x6时溢出,简单迭代收敛定理 设迭代函数(x)满足条件：1 当x a,b时(x)a,b 2 存在正数L1,使对任意x a,b有 L1则对任意初值x
4、0 a,b,迭代序列(5-3)收敛于方程x=(x)在a,b上的唯一根,5,证:先证x=(x)在a,b上有唯一根。因 存在,故(x)连续。令g(x)=x-(x),则g(x)连续。由条件1知g(a)=a-(a)0,g(b)=b-(b)0,故存在 a,b,使g()=0,即=(),证明了方程x=(x)有根。假定还有根,则由拉格朗日中值定理及条件2得,0=,即正数 小于其自身。这是不可能的。这说明方程(5-4)只有一根。最后证明xk收敛于。由条件2知,L,6,=L L2,因为0 L1,可见k 时，。证毕。,定理中条件2最重要。实际上，假定在根 的某邻域 上，则对此邻域上任意x说明(x)也在此邻域，条件1
5、自然成立。,实际问题中满足条件2的区间a,b难以求得。但若 连续，则在根 邻域。因此，1,满足 的邻域 必定存在。所以取初值x0充分靠近根，迭代序列xk必收敛于根。这种在根的邻域具有,7,的收敛性，称为局部收敛性。当 时，在根的邻域也比有；因此，当xk位于此邻域时，,=,表明xk+1比xk距离 更远，可见迭代序列必不收敛于。,对于例5-1三种解法的迭代函数，因 2.094551482,可知,，,8,根据上述道理，前两种迭代收敛，第三种迭代发散。由定理的证明可见，xk的误差,由于L越小Lk趋于零越快，可知L越小xk收敛于 越快。在定理条件下，xk的误差也满足,这是因为，,9,故,10,令m,则得公式(5-6).,序列xk收敛于 时，如果,(5-7),一,则称xk是p阶收敛的。特别，当p=1时称线性收敛；p1时称称超线性收敛；p=2时称平方收敛。在迭代函数 充分可导时，由泰勒公式知,11,可见 时线性收敛，,但 时p阶收敛。对例5-1前两种解法，,故解法一迭代序列线性收敛，解法二迭代序列超线性收敛。进一步可证,故解法二平方收敛。一般收敛阶数p越大，迭代序列收敛越快；线性收敛时常数c(称渐进常数)必满足0c1;常数c越小，收敛也越快。,
