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1、第三章复变函数的积分,3.1 复变函数积分的概念 3.2 柯西积分定理 3.3 柯西积分公式及其推论 3.4 解析函数与调和函数的关系,第三章 复变函数的积分,3.1 复变函数积分的概念 3.2 柯西-古萨基本定理 3.3 基本定理的推广 3.4 原函数与不定积分 3.5 柯西积分公式 3.6 解析函数的高阶导数 3.7 解析函数与调和函数的关系,第三章 复变函数的积分,1.有向曲线 2.积分的定义 3.积分存在的条件及其计算法 4.积分性质,3.1 复积分的概念及性质,1.有向曲线,2.积分的定义,定义,3.积分存在的条件及其计算法,定理,证明,由曲线积分的计算法得,4.积分性质,由积分定义
2、得：,例1,解,又解,例2,解,=,=,-,=,-,=,-,+,+,0,0,0,2,),(,),(,0,1,0,1,0,n,n,i,z,z,dz,z,z,dz,r,z,z,n,C,n,p,例3,解,解:,例4,分析1的积分例子:,3.2 Cauchy-Goursat基本定理,由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。,先将条件加强些，作初步的探讨,Cauchy-Goursat基本定理：,也称Cauchy定理,(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。,推论 设f(z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0,z1B,积分c f(z)dz不依
3、赖于连接起点z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。,复合闭路定理：,3.3 基本定理推广复合闭路定理,证明,B,A,A,E,E,F,F,G,H,说明,此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.闭路变形原理,例,解,练习,解,1.原函数与不定积分的概念 2.积分计算公式,3.4 原函数与不定积分,1.原函数与不定积分的概念,由2基本定理的推论知：设f(z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分c fdz与路径无关，只与起点和终点有关。,当起点固定在z0,终点z在B内变动,c f(z)dz在B内就定义
4、了一个变上限的单值函数，记作,定理 设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且,上面定理表明 是f(z)的一个原函数。,设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，,2.积分计算公式,定义 设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作,定理 设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则,此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强,例1 计算下列积分：,解1),例3 计算下列积分：,小结 求积分的方法,利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭
5、路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.,内 容 简 介,3.5 Cauchy积分公式,分析,猜想积分,定理(Cauchy 积分公式),证明,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.(解析函数的平均值定理),例1,解,例2,解,例3,解,补充练习,求积分：1.,2.,内 容 简 介,本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。,6 解析函数的高阶导数,形式上，,以下将对这些公式的正确性加以证明。,定理,证明 用数学归纳法和导数定义。,依次类推，用数学归纳法可得,一个解析函数的导数仍为解析函数。,例1,解,
