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1、第一类换元公式（凑微分法）,说明,此公式观察的重点不同，所得结论不同.,定理1,复习：,例如.求,解:令,则,故,原式=,求,解,例14 求,解,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,例如.求,法1,法3,法2,例15 求,解,例16.求,解:原式=,例17.求,解:原式=,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元公式,(4)巧妙换元或配元,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,例如：下列各题求积方法有何不同?,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,由,可得：,例如,解决方法
2、,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,称此为第二类积分换元法,例1 求,解,令,例2 求,解,令,例3 求,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),（三角代换很繁琐）,令,解,例5 求,解,令,说明(4),当分母的阶较高时,可采用倒代换,令,解,例7 求,解,令,（分母的阶较高）,例8 求,解,令,基本积分表,三、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒
3、代换、根式代换,基本积分表(2),作业,P207，（36），（38），（41），（43）;,第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1)v 容易求得;,容易计算.,分部积分法,第四章,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,称：分部积分法,一、基本内容,或：,例1 求积分,解（一）,令,显然，选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3 求积分,解,令,例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角
4、函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.,例5 求积分,解,注意循环形式,位置相当,例6 求积分,解,U,V,例7 求,解:令,则,原式=,看不出u、v时，可以设u、,例8 求积分,解,令,例9.求,解:令,则,原式,令,在用分部积分时，有时须先进行化简。,解,两边同时对 求导,得,例11.求,解:令,则,得递推公式,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,分部积分公式：,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指三”,前 u 后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式,或：,作业,P213：4；6；9；16；17；23；24,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,练习1.已知,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,2、求,解法1 先换元后分部,令,即,则,故,解法2 用分部积分法,例12,求,解,(方法1),先分部,再换元,令,则,(方法2),先换元,再分部,令,则,故,为去根式,迎合分母,思考题,1、在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？,思考题解答,1、注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,2.下述运算错在哪里?应如何改正?,得 0=1,答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.,求此积分的正确作法是用换元法.,练 习 题,练习题答案,
