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1、第一节 孤立奇点,一、孤立奇点的概念,二、函数的零点与极点的关系,三、函数在无穷远点的性态,四、小结与思考,一、孤立奇点的概念,解,的奇点存在,函数的奇点为,总有,孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,1可去奇点,1可去奇点;2极点;3本性奇点.,如果洛朗级数中不含 的负幂项,那末孤立奇点 称为 的可去奇点.,1)定义,说明:(1),补充定义,2)可去奇点的判定,(1)由定义判断:,(2)判断极限,若极限存在且为有限值,如果补充定义:,时,解,无负幂项,另解,2.极点,即,或写成,1)定义,负幂项,说明:,1.,2.,特点:,(1),是二级极点,是一级极点.,2)极点的判定方法,限项.
2、,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,(1)由定义判别,(2)由定义的等价形式判别,课堂练习,答案,本性奇点,3.,例如，,含有无穷多个z的负幂项,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为有限值,不存在且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,二、函数的零点与极点的关系,1.零点的定义,能表示成,的 m 级零点.,例6,注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.,2.零点的判定,零点的充要条件是,证(必要性),由定义:,其中,展开式的前m项系数都为零,由泰勒级数的系数,公式知:,并且,充分性证明略.,(1)由于,课堂练习,是五级零点,是二级零点.,解,
3、(2)由于,答案,3.零点与极点的关系,证,当 时,由于,只要令,那末,当 时,解析且,说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为,简便的方法.,解,这些奇点是,是孤立奇点.,解,注意:不能以函数的表面形式作出结论.,三、函数在无穷远点的性态,1.定义,令变换,规定此变换将:,映射为,扩充 z 平面,扩充 t 平面,映射为,映射为,映射为,结论:,规定:,m级奇点或本性奇点.,1)不含正幂项;,3)含有无穷多的正幂项;,1)可去奇点;,2)m 级极点;,3)本性奇点.,判别法1(利用洛朗级数的特点),2.判别方法:,不含正幂项,含有无穷多的正幂项,课堂练习,答案,判别法2:(利用极限特点),如果极限,解,所以,因为,四、小结与思考,理解孤立奇点的概念及其分类;掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征;熟悉零点与极点的关系.,思考题,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,
