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1、补充：柯西积分公式的推广,如区域D是圆环域，,在D内解析，以圆环的中心,为中心作正向圆周,与,包含,为,之间任一,点，则有,由4.3 知,f(z)在 z0 解析，则 f(z)总可以在z0 的某一个圆域 z-z0R 内展开成 z-z0 的幂级数。若 f(z)在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z-z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1z-z0R2 内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？,例如，,本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。,2.双边幂级数,-含有正负幂项的级数,定义 形如
2、,-双边幂级数,正幂项(包括常数项)部分：,负幂项部分：,级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在z-z0=R2 内收敛，且和为s(z)+;在z-z0=R 2外发散。,(2)在圆环域的边界z-z0=R1,z-z0=R2上,定理5.1 设双边幂级数（5.3）的收敛圆环为,则（1）(5.3)在,内绝对收敛且内闭一致收敛于,（2）函数,在,内解析,（3）函数,在,内可逐项求导,次,（4）函数,可沿,内曲线,逐项积分.,定理5.2 设 在圆环 内解析,则在 内 其中,系数 被 及 唯一确定.称为 的洛朗展式.,证明：对 作,(其中,）且使,由柯西积分公式,有,对于第一个积分,只要照抄泰勒定理证
3、明中的相应部分,即得：,其中,（图5.1）,对于第二个积分,当,时,(右边级数对于,是一致收敛),上式两边乘上,得:,右边级数对 仍一致收敛,沿 逐项积分,可得,其中,于是,其中,下面证明展式唯一,若在H内,另有展开式,右边级数在 上一致收敛,两边乘上 得：,右边级数在,上仍一致收敛,沿,逐项积分,可得,即展式是唯一的.,注：1)定理中的展式称为洛朗展开式,级数称为洛朗级数,称为洛朗系数.,例1求,解：,2)泰勒展式是洛朗展式的特例.,在,中的洛朗展开,3、孤立奇点邻域内的罗朗展式 定义5.2 若 在奇点的某一去心邻域内解析，则称 为 的一个孤立奇点。,若为 的一个孤立奇点，则必存在数，使在的
4、去心邻域 内可展成罗朗级数。,例5.2 求在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。,解：有两个奇点 和。在的（最大）去心邻域,内,在的（最大）去心邻域 内,例 求,在适当圆环内的洛朗展式。,分析：,在,上只以,为奇点，因此,Z平面被分成,两个不相交,的解析区域；以及,解,（展开中心是,（展开中心是,（展开中心是,（展开中心是,此例子说明：同一个函数在不同的圆环内的洛朗展式可能不同.,例2 求,及,在,内的洛朗展式,解,例3 求 在 内的洛朗展式,解,练习：求函数,在适当圆环内的洛朗展式,解析函数在孤立奇点的去心邻域内能展成洛朗级数（由洛朗定理及如上例可见），但在非孤立奇点的邻域内则不能。,例 问函
5、数,能否在,内展开成,洛朗级数？,解：,的奇点是分母,的零点：,及,，而当,时，,。所以,是个非孤立奇点，故不存在一个去心邻域,使得,在其内解析，因此不可能在,内把,展开成洛朗级数。,(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。,小结：把f(z)展成洛朗(Laurent)级数的方法：,根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数。,Laurent级数与Taylor 级数的不同点：Taylor级数先展开求R,找出收敛域。Laure
6、nt级数先求 f(z)的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远 点的所有使 f(z)解析的环，在环域上展成 级数。,2.解析函数的孤立奇点,孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型。以解析函数的罗朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质。,我们称 的正则部分，而称 的主要部分。,1.孤立奇点的三种类型,已经说过，如,的孤立奇点,，则,的某去心邻域,内可以展成罗朗级数,定义5.3 设 的孤立奇点。（1）如果 的主要部分为零，则称的可去奇点（见例5.3）。,（3）如果 的主要部分有无限多项，则称 的本性奇点（见例5.4及例5.5）。,（2）
7、如果,的主要部分为有限多项，设为,则称,极极点,（见例5.2）。一级极点也称为,简单极点。,2.可去奇点 如果 的可去奇点，则有,以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征。,上式右边表圆,内的解析函数。如果命,内与一个解析函数重合。,也就是说，我们将,的值加以适当,定义，,则点,的解析点。这就是我们称为,的可去奇点的由来。,例如，当我们约定 就解析了。,定理5.3 如果,的孤立奇点，则下列三条件是等价的。,因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征。,的主要部分为零；,的某去心邻域内有界。,证 只要证明（1）推出（2）；,（2）推出（3）；,（3）推出（1）就行了。,（1）推出（2）：由（1）知,于是
8、,（2）推出（3）：即例1.27。,（3）推出（1）：设,的某去心邻域,为界。考虑,的主要部分,而,为全含于K内的圆周,可以充分小。,于是由,即知当。即是说，的主要部分为零。,例 证明,为,的可去奇点。,证明：首先因,为函数,的孤立奇点，又,因展式,在,的主要部分为零，所以,为其可去奇点,证明二：因,由定理5.3（2）知，,为,的可去奇点。,练习：设,，试确定奇点,的类型。,3.席瓦尔兹（Schwarz）引理 如果函数,则在单位圆,内恒有,在单位圆,内解析，并且满足条件,且有如果上式等号成立，或在圆 内一点 处前一式等号成立，则（当且仅当）其中 为一实常数。,证 设,令,定义 内解析。,考虑,
9、在单位圆,内任一点,处的值，如果r,满足条件,根据最大模原理，有,让,即得,于是,时，有,即,如果这些关系式中，有一个取等号，这就意味着在单位圆 内的某一点 达到最大值，这只有 时才可能，此即。,从几何上看，席瓦尔兹引理表明，任一解析函数，,它把单位圆变到一个单位圆内的区域,上去时，圆内任一点,的象都比z本身距坐标原点为近。,而如果有一个点的象与这个点本身距坐标原点有相同,距离的话，则,就与单位圆相同，变换就仅仅,是一个旋转（图5.3）。,图5.3,*注 席瓦尔兹引理有如下一个简单改进：,我们保留假设条件不变。如果原点是函数,级零点，就可以考虑函数,与刚才的情形一样，我们,由此可以得到,并且只
10、有当,时，等号才成立。这样，在这个特殊情形下，函数的模,就有了一个比前面公式中更小的界限。,4 极点,定理5.4 如果,为孤立奇点，则下列三个条件,是等价的。,因此，它们中的任何一条都是m级极点的特征,（1）的主要部分为,的某去心邻域内能表成,（5.11）,其中,邻域内解析，且,（可去奇点要当作解析点看，只要令,证（1）推出（2）：若（1）为真，则在点a,的某去心邻域内有,其中,显然在点a的邻域区解析，且,（2）推出（3）：若（2）为真，则有,其中,的某邻域内解析，且,（由例1.28）。因此，的可去奇点，作为解析点来看，只要令 级零点。,例 求函数,奇点，并确定它们的类型。,解：容易看出，,是
11、,在C上的奇点,先考虑,，因为,显然,在,解析（只须令,，且,由定理5.4的（5.11）式知道,是,的单极点,同样的办法，可知,分别是,的二级,和三级极点。,法二 由于,是,的一级零点，所以以z除,的分子和分母，这样,由定理5.4（3），,的分母的零点就是,的极点，,所以,是,的一级极点；,分别是二、三级极点,例 试求出,的全部有限奇点，并确定其类型,解：因为,，所以,的全部,奇点只能出自于使,无意义，及使,的点。,使,无意义；,使,所有,为,的全部,有限奇点，又因为,而,所有,不是,的孤立奇点，而是,的非,孤立奇点，或者说,为,的诸极点的聚点。,是本性奇点）,1.基本概念,3 解析函数在无穷
12、远点的性质,定义5.4：设,在,的去心领域,内解析.则称点,为,的孤立奇点,是任何函数的奇点).,如,以,为孤立奇点,但,以,为非孤立奇点.,定义5.5：设 为 的孤立奇点,令,若,为,的可去奇点(看作解析点)，,m级极点或本性奇点,则相应地,称,是,(解析点)，,的可去奇点,m级极点,本性奇点.,若,的m级零点，称,为,是,的m级零点.,类似于有限孤立奇点的分类，可依,的主要部分的项数对,进行分类。主要部分为,设 为 的孤立奇点,则在 的去心领域内,有,则称上式为,在点,的洛朗展式,并称,为,在,的主要部分.,为,在,的正则部分.,命题1.设 是 的孤立奇点,则 以 为可去奇点 主要部分0.
13、,为本性奇点 主要部分有无穷项,以,为m级极点,主要部分为,以,2.结论：,注意：虽然我们可以定义,，但在无穷远点处,没有定义差商，因此我们没有定义,在无穷远点处的,可微性。但由定义5.5可见，所谓,在点,为,可去奇点，且定义,例5.6 求出,的奇点（包括,），并确定其类别,解：（1）,为可去奇点,以,为一级极点,（因,是,的聚点）,，得该函数的所有奇点为,令,是一级极点，,是非孤立奇点，因是,的聚点,至于,应是可去奇点,例 考查函数,的奇点类型。,解：令,则,。由,得到,为,的一级极点，而,以,为本性奇点，,又,，所以,都是,本性奇点。,因当,时，,故,是,的本性奇点列,的极限点，是个非孤立奇点。,又,是,的可去奇点，因为,只要取,就是,的解析点。,例5.7 若在内解析，且不恒为零，又若有一列异于但却以为聚点的零点，试证必为 的本性奇点。,证：是的孤立奇点，且不能是可去奇点，,若不然，令,则,在,内解析且由假设有以,为聚点的一列零点。由零点的,孤立性，,必恒为0，这与题设矛盾。,
