复变函数期末考试复习题与答案详细讲解.doc

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1、复变函数考试试题（一）1、 _.（为自然数）2. _.3.函数的周期为_.4.设，则的孤立奇点有_.5.幂级数的收敛半径为_.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.7.若，则_.8._，其中n为自然数.9. 的孤立奇点为_ .10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：1. 设，求在的罗朗展式.2. 3. 设，其中，试求4. 求复数的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数在区域解析. 证明：如果在为常数，那么它在为常数.2. 试证:在割去线段的平面能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.复变函数考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设，则2.

2、设，则_.3. _.（为自然数） 4. 幂级数的收敛半径为_ .5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是的_零点.6. 函数ez的周期为_. 7. 方程在单位圆的零点个数为_.8. 设，则的孤立奇点有_.9. 函数的不解析点之集为_.10. .三. 计算题. (40分)1. 求函数的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点与右沿的点处的值.3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4. 求 .四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域D解析，试证：f(z)在D为常数的充要条件是

3、在D解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三）二. 填空题. (20分)1. 设，则f(z)的定义域为_.2. 函数ez的周期为_.3. 若，则_.4. _.5. _.（为自然数）6. 幂级数的收敛半径为_.7. 设，则f(z)的孤立奇点有_.8. 设，则.9. 若是的极点，则.10. .三. 计算题. (40分)1. 将函数在圆环域展为Laurent级数.2. 试求幂级数的收敛半径.3. 算以下积分：，其中是. 4. 求在|z|1根的个数.四. 证明题. (20分)1. 函数在区域解析. 证明：如果在为常数，那么它在为常数.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n

4、，以与两个正数R与M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题（四）二. 填空题. (20分)1. 设，则.2. 若，则_.3. 函数ez的周期为_.4. 函数的幂级数展开式为_5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是_.6. 若函数f(z)在区域D除去有限个极点之外处处解析，则称它是D的_.7. 设，则.8. 的孤立奇点为_.9. 若是的极点，则.10. _.三. 计算题. (40分)1. 解方程.2. 设，求3. . 4. 函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四. 证明题. (20分)1. 证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.2

5、. 证明方程在仅有3个根.复变函数考试试题（五）二. 填空题.（20分）1. 设，则.2. 当时，为实数.3. 设，则.4. 的周期为_.5. 设，则.6. .7. 若函数f(z)在区域D除去有限个极点之外处处解析，则称它是D的_。8. 函数的幂级数展开式为_.9. 的孤立奇点为_.10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数）三. 计算题. (40分)1. 求复数的实部与虚部.2. 计算积分：，在这里L表示连接原点到的直线段.3. 求积分：，其中0a1.4. 应用儒歇定理求方程，在|z|1根的个数，在这里在上解析，并且.四. 证明题. (20分)1. 证明函数除去在外，处处不可微.

6、2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以与两个数R与M，使得当时，证明:是一个至多n次的多项式或一常数.复变函数考试试题（六）1.一、 填空题（20分）1. 若，则_.2. 设，则的定义域为_.3. 函数的周期为_.4. _.5. 幂级数的收敛半径为_.6. 若是的阶零点且，则是的_零点.7. 若函数在整个复平面处处解析，则称它是_.8. 函数的不解析点之集为_.9. 方程在单位圆的零点个数为_.10. 公式称为_.二、 计算题（30分）1、.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.三、 证明题（20分）1、 方程在单位圆的根的个数

7、为6.2、 若函数在区域解析，等于常数，则在恒等于常数.3、 若是的阶零点，则是的阶极点.计算以下积分（分）(1) ； (2) 计算积分（分）求以下幂级数的收敛半径（分）(1)；(2)设为复平面上的解析函数，试确定，的值（分）三、证明题设函数在区域解析，在区域也解析，证明必为常数（分）试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数（分）试卷一至十四参考答案复变函数考试试题（一）参考答案二填空题1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 16. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .三计算题.1. 解 因为 所以.2. 解 因为 ,.所以.3. 解 令, 则它在平面解析, 由柯

8、西公式有在,. 所以.4. 解 令, 则. 故 , .四. 证明题.1. 证明 设在. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为. 消去得, .1) 若, 则 为常数.2) 若, 由方程 (1) (2) 与 方程有, .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明的支点为. 于是割去线段的平面变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.复变函数考试试题

9、（二）参考答案二. 填空题1.1， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.三. 计算题1. 解 .2. 解 令. 则. 又因为在正实轴去正实值，所以. 所以.3. 单位圆的右半圆周为, . 所以.4. 解=0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令,则. (为实常数). 令. 则. 即满足, 且连续, 故在解析.(充分性) 令, 则 , 因为与在解析, 所以, 且.比较等式两边得 . 从而在均为常数,故在为常数.2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个根”. 证明 令, 取, 当在上时, 有 .由儒歇定理知在圆 , 方程 与 有相

10、同个数的根. 而 在 有一个 重根 . 因此次方程在 有 个根.复变函数考试试题（三）参考答案二.填空题.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5.;6. 1; 7.; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1. 解 .2. 解 . 所以收敛半径为.3. 解 令 , 则 .故原式.4. 解 令 , . 则在上均解析, 且, 故由儒歇定理有. 即在 , 方程只有一个根.四. 证明题.1. 证明 证明 设在. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为. 消去得, .1) , 则 为常数.2) 若, 由方程 (1) (2) 与 方程有, .所以

11、. (为常数).所以为常数.2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数.复变函数考试试题（四）参考答案.二. 填空题.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函数;6. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1.2. 解 , . 故原式.3. 解 原式.4. 解 =，令，得，而 为可去奇点 当时， 而为一阶极点.四. 证明题.1. 证明 设, 在下半平面任取一点, 是下半平面异于的点, 考虑.而, 在上半平面, 已知在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面解析.2. 证明 令, , 则与

12、在全平面解析, 且在上, ,故在.在上, , 故在.所以在仅有三个零点, 即原方程在仅有三个根.复变函数考试试题（五）参考答案一. 判断题.1 6 10.二. 填空题.1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. . 三. 计算题.1. 解 令, 则. 故 , .2. 解 连接原点与的直线段的参数方程为 , 故.3. 令, 则. 当时, 故, 且在圆只以为一级极点, 在上无奇点, 故, 由残数定理有.4. 解 令 则在解析, 且在上, 所以在, , 即原方程在 只有一个根.四. 证明题.1. 证明 因为, 故. 这四

13、个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, 故只在除了外处处不可微.2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数.复变函数考试试题（六）参考答案二、填空题：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 欧拉公式 三、计算题：1. 解：因为 故.2. 解： 因此 故.3.解：4.解：5解：设, 则.6解：四、1. 证明：设则在上， 即有. 根据儒歇定理，与在单位圆有相同个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆的根的个数为6. 2.证明：设，则, 由于在解析，因此有 , .于是故，即在恒为常

14、数. 3.证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域解析且，于是 由可知存在的某邻域，在恒有，因此在解析，故为的阶极点.复变函数模拟考试试题复变函数考试试题（一）一、 判断题（4x10=40分）：1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域可导。（ ）2、有界整函数必在整个复平面为常数。（ ）3、若函数在D连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D连续。( )4、cos z与sin z在复平面有界。（ ）5、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。（ ）6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（ ）7、若存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（ ）8、若

15、f(z)在单连通区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有。（ ）9、若函数f(z)是单连通区域D的解析函数，则它在D有任意阶导数。（ ）10、若函数f(z)在区域D的解析，且在D某个圆恒为常数，则在区域D恒等于常数。（ ）二、填空题（4x5=20分）1、若是单位圆周，n是自然数，则_。2、设，则_。3、设，则f(z)的定义域为_。4、的收敛半径为_。5、_。三、计算题（8x5=40分）：1、设，求在的罗朗展式。2、求。3、求函数的幂级数展开式。4、求在的罗朗展式。5、求，在|z|1根的个数。复变函数考试试题（二） 一、判断题（4x10=40分）：1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续

16、。（ ）2、有界整函数必为常数。（ ）3、若收敛，则与都收敛。( )4、若f(z)在区域D解析，且，则（常数）。（ ）5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数。（ ）6、若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件。（ ）7、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（ ）8、若f(z)在区域D解析，则|f(z)|也在D解析。（ ）9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆解析。（ ）10、cos z与sin z的周期均为。（ ）二、填空题（4x5=20分）1、_。2、设，则f(z)的孤立奇点有_。3、若函数f(z)在复平面上处处解析，则

17、称它是_。4、 _。5、若函数f(z)在区域D除去有限个极点之外处处解析，则称它是D的_。三、计算题（8x5=40分）：1、2、求3、4、求在的罗朗展式。5、求在|z|0，则z0是的_零点。7、若函数f(z)在区域D除去有限个极点之外处处解析，则称它是D_。、8、函数的不解析点之集为_。9、_，其中n为自然数。10、公式称为_.三、计算题（8x5=40分）：1、设，其中，试求2、求。3、设，求4、求函数在的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、求四、证明题（6+7+7=20分）：1、设是函数f(z)的可去奇点且，试证：。2、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆部且，则。3、证明方程在仅有3个根

18、。复变函数考试试题（四）一、判断题（3x10=30分）：1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域可导。（ ）2、如果z0是f(z)的本性奇点，则一定不存在。（ ）3、若存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点。( )4、若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析。（ ）5、若数列收敛，则与都收敛。（ ）6、若f(z)在区域D解析，则|f(z)|也在D解析。（ ）7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆解析。（ ）8、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆部。（ ）9、若函数f(z)是区域D的解析函数，且在D的某个圆恒等于常数，则f(z)在区域D恒等于常数。（ ）10、。（

19、 ）二、填空题（2x10=20分）1、函数ez的周期为_。2、幂级数的和函数为_。3、函数ez的周期为_。4、设，则的孤立奇点有_。的收敛半径为_。5、幂级数的和函数为_。6、若函数f(z)在区域D除去有限个极点之外处处解析，则称它是D的_。7、若，则_。8、_，其中n为自然数。9、方程在单位圆的零点个数为_。10、函数的幂级数展开式为_。三、计算题（5x6=30分）：1、2、求3、4、求函数在的罗朗展式。5、求方程在单位圆零点的个数。6、求。四、证明题（6+7+7=20分）1、设函数f(z)在区域D解析，试证：f(z)在D为常数的充要条件是在D解析。2、如果函数在上解析，且，则。3、设方程

20、证明：在开单位圆根的个数为5。复变函数考试试题（五）一、判断题（3x10=30分）：1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（ ）2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（ ）3、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件。( )4、若函数f(z)在是区域D的单叶函数，则。（ ）5、若f(z)在单连通区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有。（ ）6、若f(z)在区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有。（ ）7、若，则函数f(z)在是D的单叶函数。（ ）8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f

21、(z)的m阶极点。（ ）9、如果函数f(z)在上解析，且，则。（ ）10、。（ ）二、填空题（2x10=20分）1、若，则_。2、设，则的定义域为_。3、函数sin z的周期为_。4、_。5、幂级数的收敛半径为_。6、若z0是f(z)的m阶零点且m1，则z0是的_零点。7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_。8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程在单位圆的零点个数为_。10、公式称为_。三、计算题（5x6=30分）：1、2、设，其中，试求3、设，求4、求函数在的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、求的值。四、证明题（6+7+7=20分）1、方程在单位圆的根的个数为6

22、。2、若函数在区域D解析，等于常数，则在D恒等于常数。3、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。复变函数考试试题（六）一、判断题（3x8=24分）1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域可导。（ ）2、若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件。（ ）3、如果z0是f(z)的可去奇点，则一定存在且等于零。( )4、若函数f(z)是区域D的单叶函数，则。（ ）5、若函数f(z)是区域D的解析函数，则它在D有任意阶导数。（ ）6、若函数f(z)在区域D的解析，且在D某个圆恒为常数，则在区域D恒等于常数。（ ）7、若z0是f(z)的m阶零点

23、，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ）8、。（ ）二、填空题（2x10=20分）1、若，则_。2、设，则的定义域为_。3、函数的周期为_。4、_。5、幂级数的收敛半径为_。6、若z0是f(z)的m阶零点且m1，则z0是的_零点。7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_。8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程在单位圆的零点个数为_。10、_。三、计算题（5x6=30分）1、求2、设，其中，试求3、设，求4、求函数在的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分：四、证明题（6+7+7=20分）1、方程在单位圆的根的个数为7。2、若函数在区域D解析，等于常

24、数，则在D恒等于常数。3、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘保形映射为w平面的单位圆盘。复变函数考试试题（七）一、 判断题（2x10=20分）1、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（ ）2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（ ）3、如果z0是f(z)的极点，则一定存在且等于无穷大。( )4、若f(z)在单连通区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有。（ ）5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数。（ ）6、若f(z)在单连通区域D解析

25、，则对D任一简单闭曲线C都有。（ ）7、若函数f(z)在区域D的解析，且在D某一条曲线上恒为常数，则f(z)在区域D恒等于常数。（ ）8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ）9、如果函数f(z)在上解析，且，则。（ ）10、。（ ）二、填空题（2x10=20分）1、若，则_。2、设，则的定义域为_。3、函数sin z的周期为_。4、_。5、幂级数的收敛半径为_。6、若z0是f(z)的m阶零点且m1，则z0是的_零点。7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_。8、函数的不解析点之集为_。9、方程在单位圆的零点个数为_。10、_。三、计算

26、题（5x6=30分）1、2、设，其中，试求3、设，求4、求函数在的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分。四、证明题（6+7+7=20分）1、方程在单位圆的根的个数为6。2、若函数在区域D解析，等于常数，则在D恒等于常数。3、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z平面上的带形区域保形映射为w平面的单位圆盘。复变函数考试试题（八）二、 判断题（4x10=40分）：1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域可导。（ ）2、如果z0是f(z)的本性奇点，则一定不存在。（ ）3、若函数在D连续，则u(x,y)与v(x,y

27、)都在D连续。( )4、cos z与sin z在复平面有界。（ ）5、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。（ ）6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（ ）7、若存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（ ）8、若f(z)在单连通区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有。（ ）9、若函数f(z)是单连通区域D的解析函数，则它在D有任意阶导数。（ ）10、若函数f(z)在区域D的解析，且在D某个圆恒为常数，则在区域D恒等于常数。（ ）二、填空题（4x5=20分）1、函数ez的周期为_。2、幂级数的和函数为_。3、设，则f(z)的定义域为_。4、的收敛半径为_。5、_。

28、三、计算题（8x5=40分）：1、2、求3、。4 设。求，使得为解析函数，且满足。其中（D为复平面的区域）。5、求，在|z|1根的个数复变函数考试试题（九）一、判断题。（正确者在括号打，错误者在括号打，25=10分）1当复数时，其模为零，辐角也为零。 （ ）2若是多项式（）的根，则也是 的根。 （ ）3如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数。 （ ） 4设函数与在区域D解析，且在D的一小段弧上相等，则对任意的，有。 （ ） 5若 是函数的可去奇点，则。 （ ）二、填空题（每题2分）1 。2设，且，当时，。3函数将平面上的曲线变成平面上的曲线。4方程的不同的根为。5。6级数的收敛半径为。

29、7在（n为正整数）零点的个数为。8函数的零点的阶数为。9设为函数的一阶极点，且，则。10设为函数的m阶极点，则。三、计算题。（50分）1 设。求，使得为解析函数，且满足。其中（D为复平面的区域）。（15分）2求以下函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）。（10分） （1） ； （5分） （2）。（5分）3计算以下积分。（15分） （1） （8分）， （2）（7分）。4表达儒歇定理并讨论方程在根的个数。（10分）四证明题。（20分）1设是上半复平面的解析函数，证明是下半复平面的解析函数。（10分）2 设函数在解析，令。证明：在区间上是一个上升函数，且若存在与（），使，则常数。（10分

30、）复变函数试卷(十)一、填空题。(每题2分)1、 设，则。2、 设函数，则 的充要条件是。3、 设函数在单连通区域解析，则在沿任意一条简单闭曲线的积分。4、 设为的极点，则。5、 设，则是的阶零点。6、 设，则在的邻域的泰勒展式为。7、 设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是。8、 设，则的三角表示式为。9、 。10、 设，则在处的留数为。 二、计算题。1、 计算以下各题。(9分)(1) ; (2) ; (3) 2、 求解方程。(7分)3、 设，验证是调和函数，并求解析函数，使之。(8分)4、计算积分。(10分)(1) ，其中是沿由原点到点的曲线。(2) 。积分路径为自原点沿虚轴到，再由沿水平方向

31、向右到。5、 试将函数分别在圆环域和展开为洛朗级数。(8分)6、 计算以下积分。(8分) (1) ; (2) .7、 计算积分。(8分)8、求以下幂级数的收敛半径。(6分)（1） （2）9、讨论的可导性和解析性。(6分)三、 证明题。1、 设函数在区域解析，为常数，证明必为常数。(5分)2、 试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数。(5分)复变函数考试试卷(十一)一、填空题。(每题2分)1、设，则。2、设函数，则 的充要条件是。3、设函数在单连通区域解析，则在沿任意一条简单闭曲线的积分。4、设为的可去奇点，则为。5、设，则是的阶零点。6、设，则在的邻域的泰勒展式为。7、设，其中为正常数，

32、则点的轨迹曲线是。8、设，则的三角表示式为。9、。10、设，则在处的留数为。 二、计算题。1、计算以下各题。(9分)(1) ; (2) ; (3) 2 求解方程。(7分)3设，验证是调和函数，并求解析函数，使之。(8分)4、 计算积分。积分路径为(1)自原点到的直线段；(2) 自原点沿虚轴到，再由沿水平方向向右到。(10分)5、 试求在的邻域的泰勒展开式。(8分)6、 计算以下积分。(8分)(1) ; (2) .7、 计算积分。(6分) 8、求以下幂级数的收敛半径。(6分)（1） （2）9、设为复平面上的解析函数，试确定的值。(8分)三、 证明题。1设函数在区域解析，在区域也解析，证明必为常数。(5分)2试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数。(5分)35 / 35