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1、,第十一章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对弧长的曲线积分,第十一章,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小,常代变,近似和,求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.引例:曲线形构件的质量,采用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 是空间中一条有限长的光滑曲线
2、,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,局部的任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，,称为积分弧段.,曲线形构件的质量,和对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果 L 是闭曲线,则记为,分为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?,3.性质,（k 为常数),(由 组成),(l 为曲线弧 的长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本
3、思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,证:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,根据定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,因此积分限必须满足,(2)注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,设空间曲线弧的参数方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广:,例1.计算,其中 L 是抛物线,与点 B(1,1)之间的一段弧.,解:,上点 O(0,0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例
4、2.计算半径为 R,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量I(设线密度=1).,解:建立坐标系如图,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.计算,其中L为双纽线,解:在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解:由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5中 改为,计算,解:令,则,圆的形心在原点,故,如何,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,例6.计算,其中为球面,解:,化为参数方
5、程,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.有一半圆弧,其线密度,解:,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.已知椭圆,周长为a,求,提示:,原式=,利用对称性,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为,(1)求它关于 z 轴的转动惯量,(2)求它的质心.,解:设其密度为(常数).,(2)L的质量,而,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,故重心坐标为,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.定义,2.性质,(l 曲线弧 的长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界,求,提示:分段积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.L为球面,面的交线,求其形心.,在第一卦限与三个坐标,解:如图所示,交线长度为,由对称性,形心坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、填空题,
