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1、2023/7/14,1,4-1 对流换热概述4-2 层流流动换热的微分方程组4-3 对流换热过程的相似理论4-4 边界层理论4-5 紊流流动换热,第四章 对流换热原理,2023/7/14,2,4-1 对流换热概述,1 对流换热过程,对流换热定义：流体和与之接触的固体壁面之间的热量传递过程，是宏观的热对流与微观的热传导的综合传热过程。对流换热与热对流不同，既有热对流，也有导热；不是基本传热方式对流换热实例：1)暖气管道;2)电子器件冷却,2023/7/14,3,对流换热的特点：(1)导热与热对流同时存在的复杂热传递过程(2)必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须有温差特征：以简单的对流换
2、热过程为例，对对流换热过程的特征进行粗略的分析。,2023/7/14,4,图表示一个简单的对流换热过程。流体以来流速度u和来流温度t流过一个温度为tw的固体壁面。选取流体沿壁面流动的方向为x坐标、垂直壁面方向为y坐标。,2023/7/14,5,壁面对流体分子的吸附作用，使得壁面上的流体是处于不滑移的状态（此论点对于极为稀薄的流体是不适用的）。,又由于粘性力的作用，使流体速度在垂直于壁面的方向上发生改变。流体速度从壁面上的零速度值逐步变化到来流的速度值。,同时，通过固体壁面的热流也会在流体分子的作用下向流体扩散(热传导)，并不断地被流体的流动而带到下游（热对流），也导致紧靠壁面处的流体温度逐步从
3、壁面温度变化到来流温度。,2023/7/14,6,2 对流换热的分类,对流换热：导热+热对流；壁面+流动 流动起因自然对流：流体因各部分温度不同而引起的密度差异所产生的流动（Free convection）强制对流：由外力（如：泵、风机、水压头）作用所产生的流动（Forced convection）,2023/7/14,7,流动状态层流：整个流场呈一簇互相平行的流线（Laminar flow）湍流：流体质点做复杂无规则的运动（Turbulent flow）,紊流流动极为普遍自然现象：收获季节的麦浪滚滚，旗帜在微风中轻轻飘扬，以及袅袅炊烟都是由空气的紊流引起的。,2023/7/14,8,2023
4、/7/14,9,流体有无相变单相换热相变换热：凝结、沸腾、升华、凝固、融化 流体运动是否与时间相关非稳态对流换热：与时间有关稳态对流换热：与时间无关,2023/7/14,10,流体与固体壁面的接触方式,内部流动对流换热：管内或槽内外部流动对流换热：外掠平板、圆管、管束,2023/7/14,11,2023/7/14,12,3 对流换热系数与对流换热微分方程,当流体与壁面温度相差1时、每单位壁面面积上、单位时间内所传递的热量.,对流换热系数(表面传热系数),确定h及增强换热的措施是对流换热的核心问题,2023/7/14,13,对流换热过程微分方程式,壁面上的流体分子层由于受到固体壁面的吸附是处于不
5、滑移的状态，其流速应为零，那么通过它的热流量只能依靠导热的方式传递。,由傅里叶定律,通过壁面流体层传导的热流量最终是以对流换热的方式传递到流体中,2023/7/14,14,或,对流换热过程微分方程式,h 取决于流体热导率、温度差和贴壁流体的温度梯度温度梯度或温度场与流速、流态、流动起因、换热面的几何因素、流体物性均有关。速度场和温度场由对流换热微分方程组确定：连续性方程、动量方程、能量方程,2023/7/14,15,4-2 层流流动换热的微分方程组,为便于分析，只限于分析二维对流换热,假设：a)流体为不可压缩的牛顿型流体，（即：服从牛顿粘性定律的流体；而油漆、泥浆等不遵守该定律，称非牛顿型流体
6、）,b)所有物性参数（、cp、）为常量,2023/7/14,16,4个未知量：速度 u、v；温度 t；压力 p需要4个方程:连续性方程（1）;动量方程（2）;能量方程（1）,1 连续性方程,流体的连续流动遵循质量守恒规律。,从流场中(x,y)处取出边长为 dx、dy 的微元体，并设定x方向的流体流速为u，而y方向上的流体流速为v。M 为质量流量 kg/s,2023/7/14,17,单位时间内流入微元体的净质量=微元体内流体质量的变化。,单位时间内、沿x轴方向流入微元体的净质量：,2023/7/14,18,单位时间内、沿y轴方向流入微元体的净质量：,单位时间内微元体内流体质量的变化:,2023/
7、7/14,19,单位时间：流入微元体的净质量=微元体内流体质量的变化,连续性方程：,对于二维、稳定、常物性流场：,2023/7/14,20,2 动量微分方程,作用力=动量变化率 F=d(mc)/d,动量微分方程式描述流体速度场动量守恒,动量微分方程是纳维埃和斯托克斯分别于1827和1845年推导的。Navier-Stokes方程（N-S方程）,牛顿第二运动定律：作用在微元体上各外力的总和等于控制体中流体动量的变化率,控制体中流体动量的变化率,2023/7/14,21,从x方向进入元体质量流量在x方向上的动量：,从x方向流出元体的质量流量在x方向上的动量,从y方向进入元体的质量流量在x方向上的动
8、量为：,从y方向流出元体的质量流量在x方向上的动量：,2023/7/14,22,x方向上的动量改变量：,化简过程中利用了连续性方程和忽略了高阶小量。,同理，导出y方向上的动量改变量：,作用于微元体上的外力,作用力：体积力、表面力,2023/7/14,23,体积力：重力、离心力、电磁力,设定单位体积流体的体积力为F，相应在x和y方向上的分量分别为Fx和Fy。,在x方向上作用于微元体的体积力：在y方向上作用于微元体的体积力：,表面力:作用于微元体表面上的力。通常用作用于单位表面积上的力来表示，称之为应力。包括粘性引起的切向应力和法向应力、压力等。法向应力 中包括了压力 p 和法向粘性应力。,202
9、3/7/14,24,在物理空间中面矢量和力矢量各自有三个相互独立的分量（方向），因而对应组合可构成应力张量的九个分量。于是应力张量可表示为,式中 为应力张量，下标i表示作用面的方向，下标j则表示作用力的方向,通常将作用力和作用面方向一致的应力分量称为正应力，而不一致的称为切应力。,2023/7/14,25,对于我们讨论的二维流场应力只剩下四个分量，记为,x为x方向上的正应力（力与面方向一致）；y为y方向上的正应力（力与面方向一致）；xy为作用于x表面上的y方向上的切应力；yx为作用于y表面上的x方向上的切应力。,2023/7/14,26,作用在x方向上表面力的净值为:,作用在y方向上表面力的净
10、值为,斯托克斯提出了归纳速度变形率与应力之间的关系的黏性定律,2023/7/14,27,得出作用在微元体上表面力的净值表达式：,x方向上,y方向上,动量微分方程式,在x方向上,y方向上,2023/7/14,28,对于稳态流动：,只有重力场时：,3 能量微分方程,能量微分方程式描述流体温度场能量守恒,导入与导出的净热量+热对流传递的净热量+内热源发热量=总能量的增量+对外作膨胀功,2023/7/14,29,Q=E+W,2023/7/14,30,Q=E+W,2023/7/14,31,Q导热+Q对流=U热力学能+推动功=H,耗散热（）：由表面粘性应力产生的摩擦力而转变成的热量。,对于二维不可压缩常物
11、性流体流场而言，微元体的能量平衡关系式为：,Q1为以传导方式进入元体的净的热流量；Q2为以对流方式进入元体的净的热流量；Q3为元体粘性耗散功率变成的热流量；H为元体的焓随时间的变化率。,2023/7/14,32,以传导方式进入元体的净热流量,单位时间沿x轴方向导入与导出微元体净热量：,单位时间沿y轴方向导入与导出微元体净热量：,2023/7/14,33,以对流方式进入元体的净热流量,单位时间沿 x 方向热对流传递到微元体净热量,单位时间沿y 方向热对流传递到微元体的净热量：,2023/7/14,34,元体粘性耗散功率变成的热流量,单位时间内、微元体内焓的增量：,2023/7/14,35,能量微
12、分方程,2023/7/14,36,4层流流动对流换热微分方程组,（常物性、无内热源、二维、不可压缩牛顿流体）,4个方程，4个未知量，可求速度场和温度场,2023/7/14,37,再引入换热微分方程(n为壁面的法线方向坐标)，最后可以求出流体与固体壁面之间的对流换热系数，从而解决给定的对流换热问题。,5 求解对流换热问题的途径,分析求解。实验研究。数值求解。,6 对流换热单值性条件,2023/7/14,38,单值性条件：能单值反映对流换热过程特点的条件完整数学描述：对流换热微分方程组+单值性条件单值性条件包括：几何、物理、时间、边界,几何条件：说明对流换热过程中的几何形状和大小，平板、圆管；竖直
13、圆管、水平圆管；长度、直径等物理条件：说明对流换热过程物理特征，如：物性参数、c 和 的数值，是否随温度 和压力变化；有无内热源、大小和分布,2023/7/14,39,时间条件：说明在时间上对流换热过程的特点，稳态对流换热过程不需要时间条件 与时间无关边界条件：说明对流换热过程的边界特点，边界条件可分为二类：第一类、第二类边界条件（1）第一类边界条件：已知任一瞬间对流换热过程边界上的温度值（2）第二类边界条件：已知任一瞬间对流换热过程边界上的热流密度值,2023/7/14,40,4-3 对流换热过程的相似理论,由于对流换热是复杂的热量交换过程，所涉及的变量参数比较多，常常给分析求解和实验研究带
14、来困难。人们常采用相似原则对换热过程的参数进行归类处理，将物性量，几何量和过程量按物理过程的特征组合成无量纲的数，这些数常称为准则,2023/7/14,41,1 无量纲形式的对流换热微分方程组,首先选取对流换热过程中有关变量的特征值，将所有变量无量纲化，进而导出无量纲形式的对流换热微分方程组。出现在无量纲方程组中的系数项就是我们所需要无量纲数（或称：无因次数），也就是无量纲准则，它们是变量特征值和物性量的某种组合。流场中的任一无量纲变量均可表示为其余无量纲变量和无量纲准则的函数形式。,2023/7/14,42,以流体流过平板的对流换热问题为例来进行换热过程的相似分析。,流体平行流过平板的对流换
15、热过程如图所示，来流速度为u，来流温度t，平板长度L,平板温度tW，流体流过平板的压力降为 p。,如果为二维、稳态、流体物性为常数，且忽略黏性耗散项和体积力项，按图中所示的坐标流场的支配方程为,2023/7/14,43,2023/7/14,44,今选取板长L，来流流速u，温度差t=tw-t 和压力降 p=pin-pout为变量的特征值,用这些无量纲变量去取代方程组中的相应变量，可得出无量纲变量组成的方程组。,2023/7/14,45,2023/7/14,46,2023/7/14,47,对方程整理，可以得到无量纲化的方程组。,2023/7/14,48,2 无量纲准则的表达式和物理意义,定义为欧拉
16、数（Euler），它反映了流场压力降与其动压头之间的相对关系，体现了在流动过程中动量损失率的相对大小。,2023/7/14,49,称为雷诺数，表征了给定流场的惯性力与其黏性力的对比关系，也就是反映了这两种力的相对大小。,利用雷诺数可以判别一个给定流场的稳定性，随着惯性力的增大和黏性力的相对减小，雷诺数就会增大，而大到一定程度流场就会失去稳定，而使流动从层流变为紊流。,2023/7/14,50,称为贝克莱（Peclet）准则，记为Pe，它反映了给定流场的热对流能力与其热传导能力的对比关系。它在能量微分方程中的作用相当于雷诺数在动量微分方程中的作用。,其中:,称为普朗特（Prandtl）数，它反映
17、了流体的动量扩散能力与其热扩散能力的对比关系。,2023/7/14,51,努塞尔（Nusselt）准则，它反映了给定流场的换热能力与其导热能力的对比关系。这是一个在对流换热计算中必须要加以确定的准则。,斯坦顿（Stanton）数，修正的努塞尔数，流体实际的换热热流密度与可传递之最大热流密度之比。,2023/7/14,52,努谢尔特准则与非稳态导热分析中的毕欧数形式上是相似的。但是，Nu中的Lf为流场的特征尺寸，f为流体的导热系数；,而Bi中的Ls为固体系统的特征尺寸，s为固体的导热系数。它们虽然都表示边界上的无量纲温度梯度，但一个在流体侧一个在固体侧。,2023/7/14,53,在运用相似理论
18、时，应该注意：只有属于同一类型的物理现象才有相似的可能性，也才能谈相似问题。所谓同类现象，就是指用相同形式和内容的微分方程（控制方程+单值性条件方程）所描述的现象。电场与温度场：微分方程相同；内容不同强制对流换热与自然对流换热：微分方程的形式和内容都有差异外掠平板和外掠圆管：控制方程相同；单值性条件不同,2023/7/14,54,判断两个现象是否相似的条件：凡同类现象、单值性条件相似、同名已定特征数相等，那么现象必定相似。据此，如果两个现象彼此相似，它们的同名准则数必然相等。,2023/7/14,55,3 无量纲方程组的解及换热准则关系式,2023/7/14,56,从上式不难看出，在计算几何形
19、状相似的流动换热问题时，如果只是求取其平均的换热性能，就可以归结为确定几个准则之间的某种函数关系，最后得出平均的表面传热系数和总体的换热热流量。由于无量纲准则是由过程量、几何量和物性量组成的，从而使实验研究的变量数目显著减少，这对减少实验工作量和实验数据处理时间是至关重要的。,2023/7/14,57,4 特征尺寸，特征流速和定性温度,对流动换热微分方程组进行无量纲化时，选定了对应变量的特征值，然后进行无量纲化的工作，这些特征参数是流场的代表性的数值，分别表征了流场的几何特征、流动特征和换热特征。,特征尺寸，它反映了流场的几何特征，对于不同的流场特征尺寸的选择是不同的。如，对流体平行流过平板选
20、择沿流动方向上的长度尺寸；管内流体流动选择垂直于流动方向的管内直径；对于流体绕流圆柱体流动选择流动方向上的圆柱体外直径。,2023/7/14,58,特征流速，它反映了流体流场的流动特征。不同的流场其流动特征不同，所选择的特征流速是不同的。如，流体流过平板，来流速度被选择为特征尺寸；流体管内流动，管子截面上的平均流速可作为特征流速；流体绕流圆柱体流动，来流速度可选择为特征流速。,2023/7/14,59,定性温度，无量纲准则中的物性量是温度的函数，确定物性量数值的温度称为定性温度。对于不同的流场定性温度的选择是不同的。外部流动常选择来流流体温度和固体壁面温度的算术平均值，称为膜温度；内部流动常选
21、择管内流体进出口温度的平均值（算术平均值或对数平均值），当然也有例外。,2023/7/14,60,由于对流换热问题的复杂性，实验研究是解决换热问题的主要方法。在工程上大量使用的对流换热准则关系式都是通过实验获得的。,我们从无量纲微分方程组推出了一般化的准则关系式。但这是一个原则性的式子，要得到某种类型的对流换热问题在给定范围内的具体的准则关系式，在多数情况下还必须通过实验的办法来确定。,5 对流换热准则关系式的实验获取方法,2023/7/14,61,图中给出了平板在风洞中进行换热实验的示意图。,为了得出该换热问题的准则关系式，必须测量的物理量有：流体来流速度u,来流温度t,平板表面温度tw,平
22、板的长度L和宽度B，以及平板的加热量Q（通过测量电加热器的电流I和电压V而得出）。,可由 得到,必须在不同的工况下获得不同的换热系数值。,2023/7/14,62,如果认为准则关系式有 这样的形式。这是一种先验的处理办法，但是，这给拟合准则关系式带来较大的方便。最小二乘法是常用的线性拟合方法。采用几何作图的方法亦可以求解。,2023/7/14,63,对于几何结构比较复杂的对流换热过程，特征尺寸无法从已知的几何尺度中选取，通常的做法是采用当量尺寸。如异型管槽内的流动换热，其当量直径定义为,式中f为流体流通面积；P为流体的润湿周边。,2023/7/14,64,2023/7/14,65,2023/7
23、/14,66,4-4 边界层（Boundary layer）理论,边界层的概念是1904年德国科学家普朗特提出的。,1 边界层定义速度边界层(a)定义,流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。,2023/7/14,67,垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为速度边界层。,普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气等，在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显著变化的流体层是非常薄的。,2023/7/14,68,流体流过固体壁面的流场就人为地分成两个不同的区域。
24、,其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动，也就是势流流动。,2023/7/14,69,(b)边界层的厚度,当速度变化达到 时的空间位置为速度边界层的外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度,小：空气外掠平板，u=10m/s：,热（温度）边界层(a)定义,当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t不相等时，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。,2023/7/14,70,(b)热边界层厚度,当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.
25、99倍时，即，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面之间的距离则是热边界层的厚度,记为,层流：温度呈抛物线分布湍流：温度呈幂函数分布,湍流边界层贴壁处温度梯度明显大,湍流换热比层流换热强！,2023/7/14,71,2 边界层微分方程组,引入边界层概念可使换热微分方程组得以简化,数量级分析order of magnitude：比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化,无量纲形式的微分方程组对于流体平行流过平板形成的边界层流动换热问题也是同样适用的。,2023/7/14,72,2023/7/14,73,5个基本量的数量级：,主流速度：,温度：,
26、壁面特征长度：,边界层厚度：,x与L相当，即：,0(1)、0()表示数量级为1和，1。“”相当于,2023/7/14,74,u沿边界层厚度由0到u:,主流方向上的无量纲速度 的数量级为1,由连续性方程:,可以得出v的数量级为,2023/7/14,75,x方向上的动量方程变为：,2023/7/14,76,2023/7/14,77,这就使得动量方程和能量方程变成了抛物型的非线性微分方程；,微分方程组经过在边界层中简化后，由于动量方程和能量方程分别略去了主流方向上的动量扩散项和热量扩散项，从而构成上游影响下游而下游不影响上游的物理特征。,2023/7/14,78,由于动量方程由两个变成为一个，而且项
27、可在边界层的外边缘上利用伯努利方程求解，于是方程组在给定的边值条件下可以进行分析求解，所得结果为边界层的精确解。对于外掠平板的层流流动，主流场速度是均速u，温度是均温t；并假定平板为恒温tw。,注意：层流,2023/7/14,79,比较边界层无量纲的动量方程和能量方程：,在忽略动量方程压力项后，温度边界层的厚度与速度边界层的厚度的相对大小则取决于普朗特数的大小。当Pr=1时，动量方程与能量方程完全相同。即速度分布的解与温度分布完全相同，此时速度边界层厚度等于温度边界层厚度。,2023/7/14,80,当Pr1时，Pr=，a，粘性扩散 热量扩散，速度边界层厚度温度边界层厚度。,当Pr1时，Pr=
28、/a，a，粘性扩散 热量扩散，速度边界层厚度温度边界层厚度。,也可从公式得出,2023/7/14,81,3 边界层积分方程组及其求解,边界层积分方程组1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程。所得的结果称为边界层问题的近似解。边界层积分方程一般可由两种方法获得：其一是将动量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体；其二是对边界层微分方程直接进行积分。,2023/7/14,82,对一固定x，将能量方程从y=0到y=积分得：,采用对微分方程积分得到积分方程能量方程为：,2023/7/14,83,由分部积分：,2023/7/14,84,将v转化为u，利用,2
29、023/7/14,85,式中的扩散项为：,代入(b)式得：,上式左边可进一步简化为：,最后能量积分方程为：,2023/7/14,86,边界层积分方程组求解示例,作为边界层积分方程组求解的示例，仍以稳态常物性流体强制掠过平板层流时的换热作为讨论对象。壁面具有定壁温的边界条件。,在常物性条件下。动量积分方程不受温度场的影响，可先单独求解，解出层流边界层厚度及摩擦系数，然后求解能量积分方程，解出热边界层厚度及换热系数。求解流动边界层厚度及摩擦系数,2023/7/14,87,在本问题中，u为常数，动量积分方程式（1）左边的第二项为0。再引入，式（1）为,为求解上式，还需补充边界层速度分布函数u=f(y
30、)。选用以下有4个任意常数的多项式作为速度分布的表达式:,2023/7/14,88,式中，4个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定，即,由此求得4个待定常数为,于是速度分布表达式为,2023/7/14,89,积分得,分离变量，注意到x=0时=0，得,无量纲表达式为,其中Rex=ux/,其特性尺度为离平板前缘的距离x。,在x处的壁面局部切应力,2023/7/14,90,要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度（即），也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大,因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或在平板的前沿，边界层是
31、难以满足薄层性条件。,2023/7/14,91,随着x的增大，（x）也逐步增大，同时黏性力对流场的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。,把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc，其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即,2023/7/14,92,流体平行流过平板的临界雷诺数大约是,2023/7/14,93,求解热边界层厚度及换热系数,先求解热边界层厚度。为从式（2）求解热边界层厚度，除u=f(y)已由式（4）确定外，还需要补充热边界层内的温度分布函数t=f(y)。对此，亦选用带4个常数的多项式：,2023/7/14,94,式中，4个待定常数由边界条件及热边界层特性的推论确定，
32、即,y=0时 t=tw且,y=时t=t且,由此求得4个待定常数为,g=0,若用以tw为基准点的过余温度=t-tw来表达，则温度分布表达式为,e=tw,2023/7/14,95,能量积分方程式（2）用过余温度表示为,进一步求解中，令热边界层厚度与流动边界层厚度之比t/=，并假定1的流体显然是适用的。,最后得到：,2023/7/14,96,在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与流体的普朗特数Pr有关，也就是与流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小有关。,由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了Rex足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常小时（Pr1）,热边界层相
33、对于速度边界层就很厚，反之则很薄。,2023/7/14,97,热边界层也会因为速度边界层从层流转变为紊流而出现紊流热传递状态下的热边界层。按照普朗特的假设，在紊流状态下速度边界层与热边界层具有相同的数量级，即,其次求解局部换热系数hx,2023/7/14,98,其无量纲表达形式为：,最后求解平均换热系数h,计算物性参数用的定性温度为边界层平均温度,2023/7/14,99,例题4-2 温度为30的空气以0.5m/s的速度平行掠过长250mm、温度为50的平板，试求出平板末端流动边界层和热边界层的厚度及空气与单位宽度平板的换热量。解：,边界层的平均温度为,空气40的物性参数分别为v=16.96x
34、10-6m2/s,=2.76x102W/m.k,Pr=0.699,在离平板前沿250mm处，雷诺数为,2023/7/14,100,边界层为层流。流动边界层的厚度为,热边界层的厚度为,可见，空气的热边界层比流动边界层略厚。,整个平板的平均表面传热系数,2023/7/14,101,1m宽平板与空气的换热量为,2023/7/14,102,从前面不难发现，要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度（即），也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大（）。因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、粘性很大时，或在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。,思考题1：高粘度的油类流体，沿平板作低速流动，该情况下边界层理论是否仍然适用？,2023/7/14,103,思考题2：流体沿平板作层流流动，热边界层理论在什么条件下适用？,由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了 足够大之外，还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常小时（），热边界层相对于速度边界层就很厚，反之则很薄。,2023/7/14,104,第四章作业,习题：4-2，4-3，4-14，4-15,
