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1、数学建摸课程,郭晓丽,2023年7月14日,主要内容,第四章 差分方程方法,2,2023年7月14日,常系数线性差分方程；,差分方程的平衡点及其稳定性；,连续模型的差分方法；,案例分析：最优捕鱼问题。,3,2023年7月14日,一.常系数线性差分方程,1.常系数线性齐次差分方程,4,2023年7月14日,(1)特征根为单根,1.常系数线性齐次差分方程,5,2023年7月14日,(2)特征根为重根,1.常系数线性齐次差分方程,6,2023年7月14日,(3)特征根为复根,1.常系数线性齐次差分方程,7,2023年7月14日,2.常系数线性非齐次差分方程,一.常系数线性差分方程,8,2023年7月
2、14日,2.常系数线性非齐次差分方程,一.常系数线性差分方程,9,2023年7月14日,二 差分方程的平衡点及其稳定性,1.一阶线性常系数差分方程的平衡点,10,2023年7月14日,二 差分方程的平衡点及其稳定性,2.一阶线性常系数差分方程组的平衡点,11,2023年7月14日,二 差分方程的平衡点及其稳定性,3.二阶线性常系数差分方程的平衡点,二 差分方程的平衡点及其稳定性,4.一阶非线性差分方程的平衡点,13,2023年7月14日,三 连续模型的差分方法,1.微分的差分方法,14,2023年7月14日,三 连续模型的差分方法,2.定积分的差分方法,15,2023年7月14日,三 连续模型
3、的差分方法,2.定积分的差分方法,(1)复化的梯形公式：,16,2023年7月14日,三 连续模型的差分方法,2.定积分的差分方法,类似地：复化辛甫生（Simpson）公式;复化柯特斯（Cotes）公式等。（详见教材）,（2）复化梯形公式：,17,2023年7月14日,1.问题的提出,四、案例:最优捕鱼策略问题,假设 鱼可分为4个年龄组：称 1、2、3、4 龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99(克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，产卵孵化期为每年的最后4个月，平均每条4龄鱼的产卵量为(个），3龄鱼的产卵量为这
4、个数的一半，2龄和龄鱼不产卵。卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为,18,2023年7月14日,渔业部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力固定不变，即固定努力量捕捞，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3,4龄鱼，其两个捕捞系数之比为0.42:1。,1.问题的提出,四、案例:最优捕鱼策略问题,19,2023年7月14日,（1）建立数学模型分析如何实现可持续性捕捞(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（总重量）。,1
5、.问题的提出,四、案例:最优捕鱼策略问题,20,2023年7月14日,2.模型的假设与符号说明,四、案例:最优捕鱼策略问题,（3）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化的过程，成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼；（4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死亡发生于产卵之后；,（1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁入与迁出；（2）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；,2.模型的假设与符号说明,四、案例:最优捕鱼策略问题,（6）四龄以上的鱼全部死亡；（7）采用固定努力量捕捞即捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数，比例系数为捕捞强度系数。,（5）相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续
6、的，即第k年底的i 龄鱼的条数等于第k+1年初的i+1龄鱼的条数;,21,22,2023年7月14日,2.模型的假设与符号说明,四、案例:最优捕鱼策略问题,23,2023年7月14日,3.模型的建立与求解,四、案例:最优捕鱼策略问题,（1）无捕捞时鱼群的自然增长模型,！无捕捞时鱼群会无限的增长吗？,No!I dont know!,各龄鱼都不会无限地增长！,24,2023年7月14日,（1）无捕捞时鱼群的自然增长模型,3、模型的建立与求解,定义,25,2023年7月14日,(2)固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型,3、模型的建立与求解,26,2023年7月14日,(2)固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型,3、模型的建立与求解,27,2023年7月14日,1)鱼群的增长规律,求解(1)，(2)，并利用连续条件(3),28,2023年7月14日,2)捕捞量,将(1)的解析式代入,29,2023年7月14日,3)可持续性捕捞模型,30,2023年7月14日,3)可持续性捕捞模型,31,2023年7月14日,3)可持续性捕捞模型,32,2023年7月14日,3)可持续性捕捞模型,33,2023年7月14日,3)可持续性捕捞模型,34,2023年7月14日,3)可持续性捕捞模型,35,2023年7月14日,!说明：,问题（），请自己考虑。,吃点水果,下次再见！,
