《应力与平衡》PPT课件.ppt

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1、三、应力与平衡Kinetics,1 应力张量 2 平衡方程3 角动量平衡：的对称性4 柯西应力的主值5 最大剪应力6 名义应力,1 应力张量,体力,面力,实例：引力（自重），静电力（电场的带电体），磁场力等,描述：力的密度 单位：N/m3 记为 b,描述：单位表面单元上的力向量 单位：N/m2 记为：Tn,设一个小物质薄片,它的横向尺寸是,厚度为,且有极限。任意情况下，有。,小薄片的平衡方程有：,其中，是小薄片顶部或底部的面积，是环绕它的边的周长。力向量 和 分别作用于小薄片顶部和底部，小薄片的厚度是。,当,于是分布面力的薄片上有：,由于 任意，我们有:,图中的四面体称为柯西四面体。,简单的几

2、何关系有：,斜面的面积矢量为：,其中，是该斜面表面单元的面积大小，n是它的单位法向。a，b，c是组成柯西四面体直角边的边向量。,利用截点和单位基本向量：,所以,由四面体受力平衡有：,或,取极限 或，有：,定义,所以有,但是由,有,从而有,为柯西应力张量,面上的正应力,面上的切应力,2 平衡方程,作用在一个固体上的加载系统由体力和表面力组成，由受力平衡有,其中 是表面面积单元，是物体表面。,由，上式可写为,根据散度定理有,于是有,由于 任意，所以在每一点都有,这即是平衡方程。,由，三个平衡方程可以用分量的形式表示为,3 角动量平衡：的对称性,固体平衡要求转矩为0，有,其中r是从固体中相对某点的位

3、置矢量,根据，上式可写为,相应的指标符号的分量方程为,根据高斯散度定理,我们有,根据平衡方程，第一项为0，所以有,它对于整个体积或其中的任意一部分都成立，所以，在每一点都有,由于 关于 反对称，所以应力张量必须是对称的,另外，我们还可以在 两边都乘以，利用 关系：，有：,所以,或,从而有柯西应力张量是对称张量。,为了找到柯西应力张量的主值，考虑方程,4 柯西应力的主值,补充几何方程：,方程式成立，需要：,即：,即：,展开有：,用主应力表示：,应力不变量,如果三个特征根各不相同，就会有三个相互正交的主方向。,如果有两个特征根相同，例如，在 所垂直 的平面内的所有方向都是主方向。,如果三个特征值都

4、相等，就称应力状况是球状的，任意方向都是主方向，在任意平面内都没有剪应力。,特征值有,它们就是主应力，相应的特征向量 是应力张量 主平面的单位法向。,2.5 最大剪应力,假设主应力已经沿相应的特征向量的方向，即柯西应力张量的主方向，称为 p1，p2，p3。三个主应力为，不失普遍性地假设它们的数值大小顺序为。,在物体中的某点考虑单位法向为n的一任意面积单元。作用在该面积单元上的应力矢量是tn。在主方向下，tn的分量为,其中单位法向n的分量也是同样相对于 的主方向的。,作用在该面积单元上的正应力为：,应力分量 是作用在该面积单元上的剪应力，它是tn的剪切分量。因此，tn的大小为:,于是,简单代换后

5、有,采用拉格朗日乘子法来求解的 极值。设,考虑约束条件，从，有:,通过这些方程组，可以解出 和n的分量。共有两组解。,第一组,由于n沿主方向，剪应力都是0，此时 的值最小。,第二组,第二组解给出了剪应力的最大值，它们是最大主应力与最小主应力的差值的一半。最大剪应力所在的平面，平分了最大主应力与最小主应力的方向所组成的夹角。,解：,作rr 对 的示意图,rr在 0和2处应为相同值,除非rr为常数，否则在区域里有极值,2.柱坐标和直角坐标应力分量转换关系,1.,(a),求rr的极值,(d)式是的周期函数，在0的区间有：,一个最大值，一个最小值，位置为：,将(e)代入：,将(e)代入：,所以rr在

6、1 有最大值，在2 有最小值,3.,将(a)中第一式写成：,改写成,或写成,说明没有任何角度 使得M处的rr0,在初始构形中由任意矢量a0 和边界面元n0 dS0 形成的元体积，在变形后构形中变为由任意矢量a 和边界面元ndS 形成的元体积，若变形后与变形前元体积之比为J，则可以写出,其中,6 名义应力,回忆面积单元在参考状况和变形后状况下的联系：,定义 为作用在参考状态下面积单元上的名义应力，有：,其中，是在变形状况下，作用在相应面积单元上的真实应力。,由，我们有：,名义应力张量，或者称为（彼奥拉-基尔霍夫）第一应力张量被定义为：,所以,我们把名义应力分解为未变形和变形构形下的分量，有,这样

7、定义的名义应力有以下的阐述：,面积单元上作用应力的 分量，该面积单元的法向是 方向，以及在参考构形中是代表单位面积强度的。,文献中,通过关系式 与名义力联系起来了。,于是,所以，面积单元上作用力的 分量，该面积单元的法向是 方向。,注意，第一应力张量并不是对称的。,由,根据柯西应力张量的对称性（）,7 参考状态下的平衡方程,通过力等效的想法，我们已经建立了名义应力张量的概念，即,为了在参考状态下建立平衡，我们回顾名义应力张量的定义，即,因此，整体受力平衡有,参考状态下的单位体力是B，由,其中N是物体表面 的单位法向，有：,由通常的做法，采用散度定理有,即,对 两边进行对时间求导有,其中由于，采

8、用率形式有,这种简单直接地从方程得到的率形式对柯西应力以及它的率并不成立。,的分量形式有,同理，有率形式,回顾,名义应力P表示是在参考表面上的面积和法线，即未变形表面，它的定义类似于Cauchy应力的定义。名义应力是非对称的。名义应力的转置称作为PK1(第一Piola-Kirchhoff)应力。,PK2应力为对称的，它和Green应变率在功率上是共轭的。PK2应力被广泛应用于路径无关材料，如橡胶(势能）。,在Nanson关系中，当前法线与参考法线通过下式联系起来,为了说明如何得到不同应力度量之间的转换关系，将以Cauchy应力的形式建立名义应力的表达式。,通过Nanson关系,对于任意的n0都

9、成立，有,作矩阵变换,从公式可以看到，PPT(FFT)，即名义应力张量是非对称的。,Cauchy应力，PK2应力，名义应力的关系,后拉,前推,参考构形,S和之间的关系，只依赖于变形梯度F和J行列式Jdet(F)只要变形已知，应力状态总能够表示为、P或者S的形式。可以看出，如果Cauchy应力对称，那么S也是对称：SST。,p pk k=,n,Lagrange应力（T）、Kirchhoff应力（S）,定义Lagrange（第一类Piola-Kirchhoff）应力时，假定,定义Kirchhoff（第二类Piola-Kirchhoff）应力时，假定,x1,x3,dP,n x2da,X1四面体微元,

10、X3 dG,N,X2dA,当前构形(n),dPda,dG dP.,dG F 1dP.,kl pk il初始构形,TKl TK il,SKL SK IL,T dA,F S dA,1.应力张量三种应力的比较,dP p(n)da(N)(N),kl,SKL,TKl,一维情况下,T,S,例3.8 平面问题,设给定初始状态的Cauchy应力和运动形式为,应力嵌入在材料中，当物体转动时，初始应力也跟着转动，,计算初始构形以及t/2时构形的PK2应力，名义应力和旋转应力。,在初始状态，FI，有,在t/2时的变形构形中，变形梯度给出为,1 应力度量,例：平面问题,因为应力是嵌入在材料中，在转动t/2构形中的应力

11、状态为,由于这个问题中的映射为纯刚体转动，RF，所以当t/2时,在纯转动中，PK2应力是不变的；PK2应力行为好像是被嵌入在材料中。材料坐标随着材料转动，而PK2应力的分量始终与材料坐标的取向保持关联。,8 做功的转换关系,考虑一个位移增量下，功的增量为,当应力恒定时，做功的率形式有,当前状态与参考状态下的位置的关系有,以前定义有,所以我们有,或,假设在，的情况下，有,其中。,如果把 作为名义应力张量来使用，于是有,设R0 是单位参考体积中的做功的变化率，所以,R0,由于，我们有,R0,再考虑,R0,相当于,R0,其中，应力定义为,以前有,可以进一步写为,R0,所以，,R0,从中我们可以提取出

12、应力形式的 第二应力：,R0,所以，单位初始体积的做功的率形式为,总之，我们引入了三种形式的应力，每种都通过单位参考体积中的做功率转化为详细的变形形式，如,我们可以说，P 和 F 是功共轭变换，同理 S 和 E 也是一种功共轭变换。,R0,9 应力偏斜张量,一个一般张量，例如，都能唯一分解出一个偏斜部分,证明如下：,假设有两个分解形式，不妨设,其中,于是有,所以,和 有相同的主方向。,10 客观性原理,一个单轴拉伸情况下,在最简单的线弹性情况下，杨氏模量为，,？,假设图中所示的棒在转动，作用在上面的力也如图中所示的随棒在运动。,在固定坐标系e1，e2，e3下，的分量已经变了。尽管如此，物体中应

13、力状况并没有任何变化，也没有产生任何新的变形。,所以，很明显，应力率 并不适合在本构关系中使用。,引入客观性原理（也叫做物质的时空无差异原理，Principle of Material Frame-indifference）,代表物质某些性质的客观存在的场函数不因该随观察者的改变而改变，即在坐标的时空变换下，场函数的形式应该是不变的。,特别在固体力学中，客观性原理认为，材料的本构关系不应该随观测者的改变而变化，即在时空变化下，本构关系的形式不变，而且本构关系中的张量应该是客观性张量。,我们引入观察者，比如参考系。,当以下条件满足时，我们称两个坐标系是等价的：,从中所测量的任意两个向量间的夹角都

14、是相等的；,任意两个事件间所流逝的时间都是相同的；,任意两个事件间相应的时间计量都是相同的（时间标尺相同）。,设这两个坐标系分别为F，F 标构，当且仅当时间空间通过,相关联时，这两个坐标系全部满足以上的不变性条件（a）至（d）。,其中是 正交张量，是一个标量常数。,于是有,从中所测量的任意两点间的距离都是相等的；,如果某个标量场、矢量场、张量场 是客观性的，它们必须按以下形式转换：,这些转换法则保证了，的方向在两个相对旋转坐标系下的转换中保持不变。,所以,为了证明这点，考虑两组正交基e1，e2，e3和e1，e2，e3，其中正交基ei 是在 F 中定义的，正交基ei 是在F 中定义的，它们通过

15、来变换。,现在，的分量形式有,类似的做法可以证明,接下来我们通过参考变换，来推导速度、加速度、变形梯度率 和速度梯度 的关系。,如前述，,。,在坐标系 F 下，运动为,同时在坐标系F 中，有,11 客观性率场的描述,我们有,进一步有：,所以有,和,对于速度梯度，可以写为,令,由于,我们有,即 是反对称的。,此外,和,因此,和,最后，我们来证明，如果某矢量场 和张量场 是客观性的，则它们的对流率,在坐标系F 中，我们有,所以，是客观性的。,同理，对于张量，有,即,所以 是客观性的。,通过极分解理论,我们可以得到更多的结果。,于是有,以前旋度 是这样定义的,如果，即。,从而，。,也有,它是张量 的

16、另一个客观性率，也就是Jaumann率。,为了更好地理解Jaumann率，我们考虑应力张量，在正交基ei 下的表达式是,接下来，我们讨论组成 各分量的正交基矢量ei的准确特性。,将正交基ei 以率（物质旋率）来旋转，于是有,和,因此,即,在瞬时物质旋率为 的坐标系下，就有了共旋导数（Corotational Rate）的定义,应力率 即是所说的 应力导数。,给出两个定理:,定理：设R是n维Euclid空间的给定区域，,是区域R的边界。,A是定义在区域R上的 r 阶张量场。则：,式中,可以是点乘、张量积,、叉乘。n是R的边界,上任意点的单位外法线矢量。,定理：设A是n维Euclid空间区域R上的

17、r阶连续张量场。当,对所有,都有：,则：,上式称为局部表示定理。,12 连续性方程和动量方程,考虑在 时刻，有一体积为 的任意物质区域。设密度为，是一连续可微的标量场。,假设忽略扩散和化学反应，在变形过程中，体积 可能变化，但是这个区域内的总质量保持不变。,参考输运公式（83页）：,由于区域 是任意的，在物体中的每点，我们都有连续性方程,1质量守恒(连续性方程),质量守恒要求任意材料域的质量为常数，没有穿过材料域的边界，不考虑质量到能量的转化。根据能量守恒原理，m()的材料时间导数为零，即,材料域的质量为,对上式应用Reynold转换定理得到,由于上式对于任意的子域都成立，可以得到,质量守恒方

18、程，称其为连续性方程，是一阶偏微分方程。,12 连续性方程和动量方程,Reynold转换定理,一个积分的材料时间导数是在材料域上积分的变化率。材料域随着材料而运动，在边界上的材料点始终保持在边界上，且不发生质量流动跨过边界。材料域类似于Lagrangian网格；对于材料时间导数的各种积分形式称为Reynold转换定理。,将右边的两个积分转换到参考域上,t是同一材料点在t时刻所占据的空间域。,积分域经过这种变换，f 成为材料坐标的函数。,积分域现在是时间独立，将极限运算拉入积分内进行，取极限得到,1 质量守恒,独立的空间变量是材料坐标，被积函数中对时间的偏导数是材料时间导数,将上式右边的积分转换

19、到当前域上，并把独立变量改为Eulerian描述，给出,Reynold转换定理一种形式,1 质量守恒,Reynold转换定理另一种形式,对上式右边的第二项应用Gauss定理,质量守恒方程,质量守恒方程的几种特殊形式,(1)当材料不可压缩时，密度的材料时间导数为零,即速度场的散度为零,(2)对于Lagrangian描述，将质量守恒方程对时间积分，得到密度的代数方程,将上式左边的积分转换到参考域,代数方程常常应用于Lagrangian网格中以保证质量守恒(固体力学),在Eulerian网格中质量守恒的代数形式不能应用，通过偏微分方程，即连续性方程保证质量守恒(流体力学)。,设是光滑张量场。则对物体

20、任何部分 B和任意时间 t：,（Reynolds 输运定理。）,式中,。（Reynolds 输运定理。）试求：,的局部表示。,解：,有：,该式又称为质量守恒定律的局部表示。,于是我们有,其证明如下,设 是体力的密度，用单位质量来衡量，来相对于原来引入的用单位当前体积衡量的。于是线性的动量守恒有,其中 是问题中区域的边界表面，是它指向外面的单位法向，是面力矢量。,通过，有,由于 任意，我们有,这就是动量方程。,2动量方程,13 应力功率,在一体积为、表面积为 的物体上，外表面和体力做功的率（输入的机械功率）可以表示为,P,其中是 体力（单位质量）的分量，是法向为 的表面单元上的面力矢量的分量。,

21、根据柯西等式 和高斯散度定理，面积分可以表示为：,于是输入的机械功率可写为,P,于是，由动量方程有,P中的第一个积分可以化为,很明显，这是动能 的率形式。,所以输入的机械功率为,P,但是，速度梯度是变形率和旋转张量的和：,而且，（是对称的且 是反对称的张量），我们最后有：,P,第二项就是我们所说的应力功率。所以，输入的机械功率由物体动能的变化和由于物体变形引起的应力功率组成。量 是单位当前体积中的应力功率。单位初始体积中的应力功率是，其中，是Kirchhoff应力，单位质量的应力功率是。,P,我们引入了三种形式的应力，每种都通过单位参考体积中的做功率转化为详细的变形形式，如,我们可以说，P 和

22、 F 是功共轭变换，同理 S 和 E 也是一种功共轭变换。,R0,14 虚功原理,考虑在加载系统中，在体力b和表面力 作用下保持静态平衡的一物体。,假设位移场 使得应力处于平衡状态，所以应力满足静力平衡方程,现在考虑一满足边条件的位移场，在 处必须为0，但在 处任意。此外，我们设 连续且可导（必须），可任意小。我们假设在将 加到 上时，虚位移对系统没有影响，静力平衡仍然保持不变。,位移引起的功的增量为,或,然而 或,和 中的第二项积分通过散度定理有,通过平衡条件有,通过 来定义一个小应变:,于是，根据的 对称性,演化为,或者写成分量形式,这就是虚功原理。,在名义应力和增量 中，也有相似的结论,

23、其中 和 是 参考状态下的体积和表面。,15 广义Clapeyron方程,设 是静定容许应力场，它与物体体积 中的体力 以及 的边界上 的面力保持平衡。设 是 中连续可微的位移场，有应变场，。,由于，其中 是 朝外的单位法向，通过高斯散度定理，有,但是由于平衡有，通过 的对称性有，代入上式，于是有广义Clapeyron方程,这个著名的等式直接导出了虚功原理。,根据所述的边界值问题，即有 中的体力，上的面力，和 上的位移，我们假设 是任意动许可位移场 和真实位移场 的差。一个动许可位移场是连续可微的，它满足 中所述的位移条件。称位移差为虚位移场，即,很明显，在 上。广义Clapeyron方程变为

24、,这就是虚功原理。如果上式对于任意动许可的虚位移场，以及通常关系下的虚应变场 都成立，那么应力场 与 所给的体力 和 中的面力 保持平衡，即,在 中，和 在 上。,16 极分解和框架不变性,目的是探讨刚体转动的作用：表述极分解定理，该定理能够从任何运动中得到刚体转动。考虑刚体转动对于本构方程的影响。证明对于Cauchy应力，需要对时间导数进行修改建立率本构方程。这就是框架不变性或者应力的客观率。表述三种框架不变率：Jaumann率。Truesdell率和GreenNaghdi率。展示了由于次弹性本构方程和这些不同变化率的错误应用，在结果中的惊人误差。,极分解定理,16 极分解和框架不变性,在大

25、变形问题中，阐明转动作用的基本原理就是极分解定理。这个定理表述为，任何变形梯度张量F可以乘法分解为一个正交矩阵R和一个对称张量U的乘积，称U为右伸长张量(先伸长再转动)。,物体的任何运动包括一个变形，由对称映射U表示，和一个刚体转动R；所有的正交变换都是转动。在这个方程中没有出现刚体平动，因为dx和dX分别是在当前和参考构形中的微分线段，而且微分线段的映射不受平动的影响。如果将方程积分得到x(X,t)的形式，那么刚体平动将作为一个积分常数出现。在刚体平动中，FI，和dxdX。,其中,有,16 极分解和框架不变性,极分解定理证明,得到,右边总是一个正矩阵，所以矩阵U的所有特征值总是正值，故U的逆

26、矩阵存在,矩阵U与工程应变联系得非常紧密。它的主值是在矩阵U的主方向上线段的伸长。其吸引人之处在于建立本构方程。张量UI 称为Biot应变张量。,一个运动也可以分解为一个左伸长张量和一个转动的形式,称V为左伸长张量（先转动再伸长）。,16 极分解和框架不变性,通过极分解定理分别求在t1.0 和 t0.5 时的刚体转动和伸长张量,考虑三角形单元的运动，其中节点坐标xI(t)和yI(t)分别为,例3.10,在面积坐标的形式下，运动描述为,16 极分解和框架不变性,将面积坐标表示为材料坐标，t=1时刻,变形梯度,伸长张量U,例3.10,16 极分解和框架不变性,转动矩阵R,这个转动是一个逆时针90的

27、旋转,这个变形包含节点1和3之间线段的伸长，放大系数为2（U11），和节点3和2之间线段的缩短，放大系数为0.5（见U22），导致沿x方向发生平移3a和90的旋转,在式(E3.10.1)中取t1所表示的运动,例3.10,16 极分解和框架不变性,客观率,考虑率本构方程的最简单例子，应力率与变形率为线性关系的次弹性定律,Cauchy应力张量为什么需要客观率？,本构方程有效吗？,16 极分解和框架不变性,客观率,回答是否定的，考虑图中的杆，在初始构形中所受的应力为x0。现在假设杆以恒定长度转动，所以不存在变形，即D0。回顾在刚体运动中初始应力（或预应力）嵌入在固体中的状态，即在刚体转动中没有发生变

28、形，观察者所看到的随着物体运动的应力（在单元坐标系中）也不应该变化。在固定坐标系下，Cauchy应力的分量在转动中将发生变化，所以应力的材料导数必须是非零的。但是，对于纯刚体转动，在整个运动过程中公式的右边将为零，因为已经证明了在刚体运动中变形率为零。因此，在公式中一定是漏掉了什么东西：D0，但是D/Dt不应该为零！,公式的不足在于它不能解释材料的转动。通过应力张量的客观率可以解释材料的转动；称为框架不变率。考虑三种客观率：Jaumann率，Truesdell率，GreenNaghdi率。框架不变性的核心是应力的(变化)材料导数不受刚体位移的影响。所有这些都应用于当前的有限元软件中，如ABAQ

29、US。还有许多其它的客观率将在后面讨论。,16 极分解和框架不变性,客观率,黄先生书描述固体本构大变形给出3种定义：1 SO(Simo-Ortiz)定义来自于GreenNaghdi率本构模型，只不过将后者从参考构型前推到卸载构形(令温度和结构不变，应力全部卸除后的残余变形，也称为中间构形)和当前构型；MOS(Moran-Ortiz-Shih)本构理论来自于Jaumann率，将变形张量分解为对称(平动)和反对称部分(转动)。在中间构形建立本构关系，把中间构形中的Green应变率定义为弹性变形率D，dE/dtD既反映了当前构形、也反映了中间构形的变化。RH(Rice-Hill)与SO的差别是不分别

30、定义Green应变的弹性和塑性部分，而是分解Green应变率为弹性和塑性部分。Cauchy应力与Jaumann率构成ABAQUS的核心部分。,16 极分解和框架不变性,客观率,Cauchy应力的Jaumann率,16 极分解和框架不变性,一个适当的次弹性本构方程给出为,Cauchy应力张量的材料率,材料响应被指定为一个客观应力率的形式，这里是Jaumann率。Cauchy应力的材料导数由两部分组成：由于材料响应的变化率，反映在客观率中，和由于转动的应力变化，对应于公式中的最后两项。Jaumann率的核心是扣除由转动引起的应力变化，仅为变形引起的应力，应力的客观性是指应力不受坐标变化的影响。,小

31、变形,大变形,16 极分解和框架不变性,16 极分解和框架不变性,例3.12,考虑一个物体在xy平面内以角速度绕原点转动，原始构形如图。运动为刚体转动。使用Jaumann率计算Cauchy应力的材料时间导数，并将其积分得到关于时间函数的Cauchy应力。,16 极分解和框架不变性,通过速度梯度L的形式计算转动,基于Jaumann率的材料时间导数给出为（刚体转动D0）,材料时间导数改变为普通导数,例3.12,16 极分解和框架不变性,可见，Cauchy应力的材料时间导数是对称的，三个普通微分方程为,初始条件为,微分方程的解为,验证解的正确性,例3.12,16 极分解和框架不变性,这个解答对应于旋

32、转应力,的恒定状态，如果我们使旋转应力给出为,微分方程的解为,公式给出了在整体坐标系下的Cauchy应力分量,t=0,t=90o,可见，应力的变化不受刚体位移的影响，保证了客观性。,例3.12,在刚体运动中初始应力（或预应力）嵌入在固体中，即在刚体转动中由于变形没有发生变化，观察者所看到的随着物体运动的应力也不应该变化。单元坐标系：在刚体转动中，Jaumann率改变着Cauchy应力，从而使旋转应力保持为常数。所以常常称Jaumann率为Cauchy应力的旋转率。在刚体转动中，Truesdell，Jaumann，GreenNaghdi和旋转应力率是一致的。,在刚体转动中，Jaumann率的作用

33、：在固定坐标系中保证Cauchy应力的分量在转动中发生变化，应力的材料时间导数非零；在旋转坐标系中保证Jaumann率改变着Cauchy应力，从而使旋转应力保持为常数。核心作用是应力变化不受刚体位移的影响,16 极分解和框架不变性,考虑处于剪切状态的一个单元，如图所示。对于次弹性各向同性材料，应用Jaumann，Truesdell和GreenNaghdi率求出剪切应力,路径无关的程度作为评价材料弹性模量的度量。次弹性材料是路径无关程度最弱的，应力路径无关，能量不是路径无关，遵从Cauchy弹性。,对于不同客观率采用了相同的材料常数，其差别是非常大的。事实上，这是误用了材料模型。材料模型必须根据

34、不同的率转换。这是变形体，若是刚体转动，D0，Jaumann率与Truesdell率是一致的。见公式(3.7.13),框架不变性的核心是应力的（变化）材料导数不受刚体位移的影响。Cauchy应力的一个客观率，与在材料率中已考虑转动的应力场的变化率在瞬时上是一致的。因此，如果采用随材料转动的应力度量，例如旋转应力或PK2应力，则我们可以得到一个客观应力率。这不是建立客观率的最一般的框架。对于彼此相对转动的观察者所观察到的应力率必须是不变的，在应用某种客观性的意义上提供了一般的框架。,7 极分解和框架不变性,考虑柱坐标系(r,z)和对应的位移矢量u=ur,u,uz 和速度矢量=r,z，并且柱坐标系

35、中的梯度算子为,推导应变张量e=1/2(u+u)在柱坐标系下的分量。推导速度梯度张量L=和它对称及反对称部分D和W（变形率和物质旋率）在柱坐标系下的分量。写出加速度矢量a在空间柱坐标系下的分量。,例题1,并且注意,所以得到，例如其中一项为,对其余张量积进行类似计算得,应变张量e=(u+u)，得到柱坐标系下的应变位移关系,u矩阵是u的转置，即u=(u)T,所以有,b)考虑空间坐标系中的速度矢量=vr,v,vz。对空间坐标应用梯度算子得到速度梯度分量,从而得到变形率和物质旋率,c)速度矢量 对时间的导数为,平行于柱坐标的单位矢量的时间率为,上式定义了柱坐标系下加速度矢量的物理分量,在空间坐标系下的

36、加速度为,利用v的表达式并和v点积得到,在柱坐标系下，求Cauchy应力对时间的导数 的表达式,解：对于局部基矢量er,e,ez，应力张量的分量表达为：,注意到：,可以得到：,例题2,对于基矢量er,e,ez，上式可以写成矩阵形式：,其中：,解：取基矢量er,e,ez，由前面的计算可以得到：,那么物质旋率W为：,例题3,Cauchy应力张量的Jaumann率为：,其中：,将前面关于 的结果代入，计算得到：,从而可以求得Cauchy应力张量Jaumann率的分量,（只对指标k求和）,即得到：,同理得到：,那么应该有：,和上面的计算对比可以得到：,所以Cauchy应力的Jaumann率的物理意义就是对于一个随着物质旋率W一起旋转的观察者（因而不能感受到物质旋率W）的观察者所能感受到的Cauchy应力的变化率.,为了说明Jaumann率的意义，假设我们要计算Cauchy应力在这样一组基矢量 下的率，在某一时刻与基矢量er,e,ez重合，但它在物质旋率W的作用下转动，即基矢量的时间导数为：,作业,