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1、9 应力更新算法,本构方程率形式的积分算法称为应力更新算法（也称为本构更新算法），包括：径向返回算法的一类图形返回算法，算法模量与基本应力更新方案一致的概念，大变形问题的增量客观应力更新方案，基于弹性响应的应力更新方案，即自动满足客观性的超弹性势能。,给出描述本构模型的某些其它连续介质力学观点，展示Eulerian，Lagrangian和两点拉伸的概念，描述后拉、前推和Lie导数的运算，材料框架客观性，材料的对称性，以本构行为的张量表示讨论了不变性的某些方面，讨论由于热力学第二定律和某些附加的稳定性必要条件对材料行为的约束。,9 应力更新算法,对于积分率本构方程的数值算法称为本构积分算法或者应
2、力更新算法。对于率无关和率相关材料提供了本构积分算法。讨论简单的小应变塑性，将小应变算法扩展至大变形，将大变形分析的积分算法保持在基于本构方程客观性的基础上。展示了关于大变形塑性的逐步客观积分算法。讨论关于大变形超弹塑性材料的应力更新算法，回避对应力率方程的积分。描述了与本构积分算法相关的计算模量，采用隐式求解算法发展材料的切线刚度矩阵。,率无关塑性的图形返回算法,9 应力更新算法,小应变、率无关弹塑性的本构方程,应力应变反应与变形率无关的一种材料称为率无关；否则为率相关。,，,Kuhn-Tucker条件，上面第一个条件表明塑性率参数是非负的，第二个条件表明当塑性加载时，应力状态必须位于或限制
3、在塑性表面上，最后条件也可以作为由已知一致性条件,的率形式。,塑性流动方向经常特指为,，这里,称为塑性流动势,）应力状态必须保持在屈服面,因此,。对于弹性加载或者卸载,，没有塑性流动。,对于塑性加载（,率无关塑性的图形返回算法,9 应力更新算法,上，,在时刻n 给出一组,和应变增量,本构积分算法的目的是计算,并满足加卸载条件,在,时刻的应力给出为,求解的一致性条件给出,设想能够应用这个塑性参数值以提供更新的应力率、塑性应变率和内变量率，并且写出简单的向前Euler积分公式算法,率无关塑性的图形返回算法,9 应力更新算法,但在下一步，这些应力和内变量的更新值并不满足屈服条件，所以,由于解答从屈服
4、表面漂移，常常导致不精确的结果，因此不受人青睐。公式也称为切线模量更新算法，形成了计算率无关塑性早期工作的基础。,率无关塑性的图形返回算法,9 应力更新算法,这导致考虑另外一些方法进行率本构方程的积分，目的之一是强化在时间步结束时的一致性，例如，,为避免离开屈服面的漂移。有许多不同的积分本构算法，这里主要关注一类方法返回图形算法，它是强健和精确的，被广泛应用。著名的von Mises塑性径向返回方法是返回图形算法的特例。,返回图形算法包括：一个初始的弹性预测步，包含（在应力空间）对屈服表面的偏离，以及塑性调整步使应力返回到更新后的屈服表面。方法的两个组成部分是：一个积分算法，它将一组本构方程转
5、换为一组非线性代数方程，一个对非线性代数方程的求解算法，该方法可基于不同的积分算法，例如生成梯形法则，生成中点法则或者Runge-Kutta方法。基于向后Euler算法，考虑一个完全隐式方法和一个半隐式方法。,完全隐式的图形返回算法,9 应力更新算法,在完全隐式的向后Euler方法中，在步骤结束时计算塑性应变和内变量的增量，同时强化屈服条件，这样，积分算法写成为,公式是一组关于求解,的非线性代数方程。注意到更新变量来自前一个时间步骤结束时的收敛值，这就避免了非物理意义的效果，例如当用不收敛的塑性应变和内变量值求解路径相关塑性方程时可能发生的伪卸载。,在时刻n 给出一组,和应变增量,通过方程系统
6、的解答获得了应变,在时刻n 1，,完全隐式的图形返回算法,9 应力更新算法,如果解答过程是隐式的，可以理解应变,是在隐式解答算法的最后迭代后的总体应变。,塑性应变增量给出为,代入表达式,关联塑性的最近点投射方法,是弹性预测的试应力,是塑性修正量，它沿着一个方向，即规定为在结束点处塑性流动的方向，返回或者投射试应力到适当更新的屈服表面（考虑硬化）。,而数值,完全隐式的图形返回算法,9 应力更新算法,由总体应变的增量驱动弹性预测状态，而由塑性参数的增量,驱动塑性修正状态。因此，在弹性预测阶段，塑性应变和内变量保持固定，而当塑性修正阶段，总体应变是不变的。在弹性预测阶段，由公式得到的结果为,关联塑性
7、的最近点投射方法,其中,完全隐式的图形返回算法,9 应力更新算法,非线性代数方程组解答一般由Newton过程求解。基于分类线性化方程组的Newton过程，和根据最近投射点的概念引导塑性修正返回到屈服表面。在算法的塑性修正阶段中，总体应变是常数，线性化是相对于塑性参数增量,在Newton过程中应用下面的标记：关于一个方程,的线性化，,并有,在第k次迭代时记为,为适合Newton迭代，以上面形式写出塑性更新和屈服条件，省略n+1脚标,完全隐式的图形返回算法,9 应力更新算法,这组方程的线性化给出,3个方程可以联立求解,这样，塑性应变、内变量和塑性参数更新是,Newton过程是连续计算直到收敛到足以
8、满足准则的更新屈服表面。这个过程是隐式的并包括了方程在单元积分点水平的结果。该方法的复杂性在于需要塑性流动方向的梯度，不适合复杂本构。,脚标为偏导数,一致性条件：在加卸载过程中，材料的应力点始终处于屈服面上,应用于J2流动理论径向返回算法,9 应力更新算法,小应变时的弹塑性本构关系和框5.6的J2 流动理论，注意到塑性流动方向是在偏应力的方向，给出为,J2塑性流动理论基于von Mises屈服面，它特别适用于金属塑性，,该模型的关键假设是压力对在金属中的塑性流动没有影响；屈服条件和塑性流动方向是基于应力张量的偏量部分。,它也是屈服表面的法向，即,在偏应力空间，Mises屈服表面是环状，法向是径
9、向。在塑性流动的方向（径向），定义一个单位法向矢量为,应用于J2流动理论径向返回算法,9 应力更新算法,算法的重要特性是,在整个塑性修正状态过程中不变化,保持在径向，,因此塑性应变的更新是,的线性函数，而塑性流动残量恒为零：,唯一的内变量（各向同性硬化）是累积塑性应变，给出为,因此，内变量的更新也是,的线性函数，相应的残量为零，例如，,适合Newton迭代的塑性更新和屈服条件，省略n+1脚标,屈服条件给出为,而f 的导数是,和,应用于J2流动理论径向返回算法,9 应力更新算法,各向同性硬化：只有一个硬化参数q，屈服面表面扩张,幂硬化：屈服面中心不变，屈服面尺寸改变,运动硬化：屈服面中心平移，尺
10、寸不变，中心位置为背应力的内变量,关联塑性：塑性流动沿着屈服面的法线方向；否则，为非关联塑性,径向返回算法编程,9 应力更新算法,1 设初始值,2 在第k次迭代时检查屈服条件,如果,则收敛，否则 go to 3,3 计算塑性参数的增量,4 更新塑性应变和内变量,9 应力更新算法,算法模量,在隐式方法中，需要合适的切线模量。由于在屈服时突然转化为塑性行为，连续弹塑性切线模量可能引起伪加载和卸载。为了避免这点，采用了一个基于本构积分算法的系统线性化的算法模量（也称为一致切线模量），代替了连续弹塑性切线模量。下面给出完全隐式向后Euler方法的算法模量的推导。,向后Euler更新算法切线模量定义为,
11、对于J2流动理论的情况，算法模量是与径向返回应力更新一致的,9 应力更新算法,半隐式向后Euler方法,半隐式向后Euler方法（Moran,1990）是对于塑性参数采用隐式，而对于塑性流动方向和塑性模量采用显式的算法，即在步骤结束时计算塑性参数的增量，而在步骤开始时计算塑性流动的方向和塑性模量。为了避免从屈服面漂移，在步骤结束时强化屈服条件。积分方法为,对比完全隐式向后Euler方法,9 应力更新算法,率相关塑性的图形返回算法,对于J2 塑性流动，过应力函数公式的典型例子为(n为率敏感指数),对于J2 流动理论，一个替代的粘塑性模型为(m为率敏感指数),参考应变率,在过应力模型中，等效塑性应
12、变率取决于超过了多少屈服应力。,在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率，与不能超越过屈服条件的率无关塑性相比，为了发生塑性变形，率相关塑性必须满足或者超过屈服条件，塑性应变率（结合各向同性和运动硬化）给出为(背应力）,9 应力更新算法,率相关塑性的图形返回算法,框5.11 大应变率相关塑性,1 分解变形率张量为弹性和塑性部分的和,2 应力率关系,3 塑性流动法则和演化方程,4 应力率总体变形率关系,过应力函数，是塑性应变的驱动力,粘性（力时间）,9 应力更新算法,率相关塑性的图形返回算法,率无关塑性的图形返回本构积分算法和算法切线模量可以修改为率相关的方法，对于一个完全隐式算法，更新可以写
13、成增量的形式,过应力函数和粘性,算法切线模量表达式,大变形的逐步客观积分方法,9 应力更新算法,大变形本构算法的一个重要问题是观察的材料框架相同，准确地保持本构关系的客观性；在刚体转动中，该算法必须准确地计算应力的恰当转动。,基于Kirchhoff应力的Jaumann率，考虑一个简单的更新算法，变形率是对于时间增量的等效率并且定义如下，应力更新给出为,Q是与等效旋转W关联的增量转动张量。以Jaumann率的形式替换本构反应,应用不同算法计算等效变形率，基于增量变形梯度，采用直接向前方法,大变形的逐步地客观积分方法,9 应力更新算法,第二个关系来自框3.2。Kirchhoff应力几乎是与Cauc
14、hy应力等同的，但是它被Jacobian行列式放大。因此，也称它为权重Cauchy应力。对于等体积运动，它等同于Cauchy应力。在超弹性本构关系中，它会自然提高，并且在次弹塑性模型中是有用的，因为它导致了对称的切线模量。,Kirchhoff应力定义为,大变形的逐步地客观积分方法,9 应力更新算法,式中,v是关于增量的等效速度。通过Green应变增量的前推定义等效变形率,是位移增量,在刚体转动中等效变形率D消失，从而取得了增量客观性。等效旋转定义为,对于次弹塑性材料公式，采取的形式为(Q为指数形式，见第9章),速度梯度,速度梯度张量可以分解为对称部分和偏对称部分为,令,变形率,转动,任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和偏对称部分的和,所以,回顾第3章,9 应力更新算法,
