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1、应力状态和强度理论,一、应力状态的概念二、平面应力状态三、空间应力状态四、广义虎克定律五、强度理论,全应力：,A上的内力,分解为两个分量：,：正应力截面法向分量。,：切应力截面切向分量。,过一点可以截取无限个平面，因此，一点的应力是方位的描述量。,问题：是否可以根据有限方位上的应力，表示“一点的应力”？,此问题称为“一点的应力状态分析”。又称“应力张量分析”,单元体的应力状态,单元体：变形固体内按一定方位截割的边长趋于无穷小的 正六面体。,一点的应力状态：围绕变形固体内一点所取的单元体的6个面上应力的大小，可以反映该点任意方向上应力的状态。单元体称为应力状态单元体。,描述一点应力状态所需要的单
2、元体6个面上的应力分量是,x x方向正应力,y y方向正应力,z z方向正应力,x x反向正应力,y y反向正应力,z z反向正应力,xy x平面指向y方向的切应力；xy x平面指向y反向的切应力,yx y平面指向x方向的切应力；yx y平面指向x反向的切应力,yz y平面指向z方向的切应力;,xz x平面指向z方向的切应力,zy z平面指向y方向的切应力;,zx z平面指向x方向的切应力,一共18个应力分量，称为一点的应力张量,应用内力平衡关系，可以证明,材料力学中以引起的变形的方向确定应力的符号,应力张量写成矩阵形式,有9个元素,另外，可以证明,切应力互等定理,独立的应力张量分量为6个,写
3、成矩阵为,一点任意方向的应力可以由这6个应力分量确定。,另一种叙述为：已知一点应力状态单元体上6个应力分量，求该点任意方向的应力。应力状态分析,平面应力状态分析,如图，当Z平面上切应力为零，即,单元体应力状态如图,单元体应力状态如图,已知 x，y 及 xy，求任意斜截面n上的应力平面应力状态分析。,平面应力状态单元体的表示：n截面上的应力分解为,是截面法向与x轴的夹角，规定：逆时针为正；顺时针为负。,，的符号规定同前。,平面应力状态分析解析法,已知平面应力状态单元体x，y，xy（yx=-xy）求 和,应力符号定义,角度 符号：逆时针：+；顺时针：-,单元体内力平衡关系,主应力，主平面,主平面,
4、最大切应力和最小切应力,主平面与最大切应力作用平面的关系,应力状态分析图解法,消去2 得：,若以 为横坐标，为纵坐标建立坐标系，得原点,主平面,主应力,最大切应力（最小切应力）,单元体应力状态与应力圆的对应关系,已知一点A的应力状态如图，求：A点的主应力和主平面。（应力单位为 MPa）,两式消去2 得：,解得,主应力：,主平面：,特殊应力状态单元体,“单向拉伸”应力状态单元体与应力圆,“纯剪切”应力状态单元体与应力圆,“三向拉伸应力”状态,三向应力状态分析,考虑特殊情况：z 是主应力,主单元体，三个主应力,规定：,应变状态分析和应力应变关系,应变单元体变形大小的度量。,应变的形式有两种,线应变
5、单元体尺寸改变的度量。用 表示，定义为,同理，定义,其中v，w 表示单元体在y，z 方向的变形量。,切应变（剪应变）单元体形状改变的度量。用 表示，定义为,单元体xy平面内 直角的改变量。,同样，可以定义,切应变具有角度的单位弧度。,切应力与切应变的符号关系,平面应变状态分析,与平面应力状态分析类似，应用几何的方法可以建立单元体正应变 x、y，切应变xy、yx 与任意方向上正应变，切应变 的变换关系。,首先，可以证明,主应变，主平面,主应变：,对于各向同性材料，可以证明，任意点的应变主方向与应力主方向是一致的。,平面应变测量,在工程中，可以应用实验的方法测定一点的应变状态，从而确定主平面和主应
6、变。方法是在测点选定三个方向1，2，3 测出对应的正应变1，2，3，于是有,解出x，y，xy 代入主应变关系式和主平面关系即可。,应用0-45-90“直角应变花”测量的应变0，45，90 计算测点的主应变与主方向。,代入,主方向：,应力-应变关系,应力状态分析利用平衡条件；应变状态分析利用几何条件。,与材料的特性无关。,相同受力条件下不同材料的变形不同。,材料的受力与变形之间的关系把这种关系称为物理关系取决于材料自身性质，由试验确定，称为材料的力学性质。,胡克定律,横向变形与泊松比,试验证实，几乎所有的材料在产生纵向线应变 时，会产生与 垂直方向上的线应变，且方向与 相反，大小成比例。称为横向
7、变形效应。,无量纲比例常数，材料性质。称为泊松比,对任何材料泊松比值 0 0.5,对于普通碳钢，,复杂应力状态的应力应变关系广义胡克定律,一个方向（如x方向）的线应变由三个线应变构成：,广义胡克定律,此定律适用于:,主应力与主应变,平面应力状态,各向同性材料弹性模量E、泊松比、切变模量G之间的关系,体积应变,平均应力,于是：,由广义胡克定律,已知某点的单元体应力状态如图，现测得该点 x 方向线应变0=25010-6；与 x 成 45 方向的线应变 45=14010-6。材料弹性模量E=210GPa；泊松比=0.28。求：该点的主应力大小及主方向。,解：由广义胡克定律,由应变状态分析,于是,主应力：,主平面：,另法：,由广义虎克定律：,由广义虎克定律：,解出,一钢块开一个直径d=50.001mm 的凹槽，放入一直径d1=50mm的铝合金柱，弹性模量E=70GPa，泊松比=0.33设施加压力P=100kN,设钢块不变形。求圆柱的主应力。,解：铝圆柱应力状态分析,在与P垂直的平面内“均匀受压”。,广义胡克定律,而,最后,解：,
