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1、1,第二章 平面力系,21 平面汇交力系 22 力的投影、力矩和力偶 23 平面一般力系,2,静力学,2-1 平面汇交力系,一、合成的几何法,2.任意个共点力的合成,为力多边形,1.两个共点力的合成,合力方向由正弦定理：,由余弦定理：,由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。,3,静力学,结论：,即：,即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。,二、平面汇交力系平衡的几何条件,在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：,平面汇交力系平衡的充要条件是：,4,静力学,例 已知压路机碾子重P=20kN
2、,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。,又由几何关系：,选碾子为研究对象,取分离体画受力图,解：,当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时 拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故,5,静力学,由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。,此题也可用力多边形方法用比例尺去量。,几何法解题步骤：选研究对象；作出受力图；作力多边形，选择适当的比例尺；求出未知数,几何法解题不足：精度不够，误差大 作图要求精度高；不能表达各个量之间的函数关系。,下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：
3、解析法。,6,静力学,一、力在坐标轴上的投影,X=Fx=Fcosa：Y=Fy=Fsina=F cosb,22 力的投影、力矩和力偶,1、力在坐标轴上的投影,7,静力学,2、合力投影定理,由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,即：,8,静力学,合力的大小：方向：作用点：,为该力系的汇交点,3、平面汇交力系合成与平衡的解析法,从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。,即：,为平衡的充要条件，也叫平衡方程,9,静力学,解：研究AB杆 画出受力图 列平衡方程 解平衡方程,例 已知 P=2kN
4、求SCD,RA,由EB=BC=0.4m，,解得：,；,10,静力学,例 已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力ND=？,解：研究球受力如图，选投影轴列方程为,由得,由得,11,静力学,又：,例 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h,解：研究块,受力如图，,解力三角形：,12,静力学,再研究球，受力如图：,作力三角形,解力三角形：,NB=0时为球离开地面,13,静力学,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。,2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或
5、 特殊，都用解析法。,14,静力学,5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。,4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。,15,是代数量。,当F=0或d=0时，=0。,是影响转动的独立因素。,=2AOB=Fd,2倍形面积。,静力学,-,+,二、力矩,说明：,F,d转动效应明显。,单位Nm，工程单位kgfm。,22 力的投影、力矩和力偶,1、力矩的概念,16,静力学,定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和即：,2、合力矩定理,由合力投影定理有：,证,od=ob+
6、oc,又,17,例 已知：如图 F、Q、l,求：和,静力学,解：用力对点的矩法 应用合力矩定理,18,两个同向平行力的合力 大小：R=Q+P 方向：平行于Q、P且指向一致 作用点：C处 确定C点，由合力距定理,静力学,三、力偶的概念和性质,力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。,性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。,1、力偶的概念,19,静力学,两个反向平行力的合力 大小：R=Q-P 方向：平行于Q、P且与较大的相同 作用点：C处（推导同上）,性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。,20,说明：
7、m是代数量，有+、-；F、d 都不独立，只有力偶矩 是独立量；m的值m=2ABC；单位：N m,静力学,由于O点是任取的,d,21,静力学,性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。,证,设物体的某一平面上作用一力偶(F,F),现沿力偶臂AB方向加一对平衡力(Q,Q),Q,F合成R，,再将Q,F合成R，,得到新力偶(R,R),22,静力学,只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。,由上述证明可得下列两个推论：,比较(F,F)和(R,R)可得,m(F,F)=2AB
8、D=m(R,R)=2 ABC,力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。,23,静力学,平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系,设有两个力偶,d,d,2、力偶系的合成与平衡,24,静力学,平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。,结论:,平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。,25,静力学,例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力?,解:各力偶的合力偶距为,根据平面力偶系平衡方程有:,由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。,26,静力学,
9、平面一般力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫。,例,力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）,2-3 平面一般力系,27,静力学,2-3-1 力线平移定理,力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 平行移到任一 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力 对新作用点B的矩。,28,静力学,说明：,29,静力学,2-3-2 平面一般力系向一点简化,一、平面一般力系向一点简化,30,静力学,（移动效应）,31,静力学,大小：主矩MO 方向：方向规定+简化中心：(与简化中心有关)（因主矩等于各力对简化中心取矩的代
10、数和）,（转动效应）,固定端（插入端）约束,在工程中常见的,雨 搭,车 刀,32,静力学,固定端（插入端）约束,说明,认为Fi这群力在同一 平面内;将Fi向A点简化得一 力和一力偶;RA方向不定可用正交 分力YA,XA表示;YA,XA,MA为固定端 约束反力;YA,XA限制物体平动,MA为限制转动。,33,静力学,简化结果：主矢，主矩 MO，下面分别讨论。,=0,MO0 即简化结果为一合力偶,MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。,=0，MO=0，则力系平衡,下节专门讨论。,0,MO=0,即简化为一个作用于简化中心的合力
11、。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）,。（此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,二、平面一般力系的简化结果讨论,34,静力学,0,MO 0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力。,合力 的大小等于原力系的主矢合力 的作用线位置,35,静力学,结论：,平面任意力系的简化结果：合力偶MO；合力 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩 合力矩定理 由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。,36,静力学,2-3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程,由于=0 为力平衡 MO=0 为力偶
12、也平衡,一、平衡方程的基本形式,37,静力学,上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。,二、平衡方程的其他形式,38,静力学,例 已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？,解：选AB梁研究 画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）,解除约束,39,设有F1,F2 Fn 各平行力系，向O点简化得：合力作用线的位置为：平衡的充要条件为 主矢=0 主矩MO=0,静力学,平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫。,三、平衡方程的特殊情况平面平行力系的平衡方程,40,静力学,所以 平面平行力系的平衡方程为：,实质上是各力在x 轴上的投影恒等于零，即 恒成立，
13、所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。,41,静力学,例 已知：P=20kN,m=16kNm,q=20kN/m,a=0.8m 求：A、B的支反力。,解：研究AB梁,解得：,42,静力学,例,四、物体系统的平衡问题,外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。,物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫。,43,静力学,物系平衡的特点：物系静止 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）,44,静力学,例 已知：OA=R,AB=l,当OA水平时，冲压力为P时，求：M=？O点的约束反
14、力？AB杆内力？冲头给导轨的侧压力？,解：研究B,45,静力学,负号表示力的方向与图中所设方向相反,再研究轮,46,静力学,平面一般力系习题课,合力矩定理,二、平面一般力系的合成结果,本章小结：,47,一矩式 二矩式 三矩式,静力学,三、,A,B连线不 x轴,A,B,C不共线,平面一般力系的平衡方程,48,静力学,四、物系平衡,49,静力学,七、注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在；力偶矩M=常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。,50,静力学,例1 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。求AC 杆内力？B点的反力？,八、例题分析,51,受力如图 取E为矩心，列方程 解方程求未知数,静力学,再研究CD杆,52,例2 已知:P=100N.AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m 且AB水平,ED铅垂,BD垂直于 斜面；求?和支座反力？,静力学,解：研究整体 画受力图 选坐标列方程,53,静力学,再研究AB杆，受力如图,54,静力学,例3 已知：连续梁上，P=10kN,Q=50kN,CE 铅垂,不计梁重 求：A,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开）,解：研究起重机,55,静力学,再研究整体,再研究梁CD,
