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1、1,第五章 弯曲应力,2,51 引言 纯弯曲52 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力53 弯曲切应力54 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面5.6 提高弯曲强度的措施,第五章 弯曲应力,3,5 引言 纯弯曲,1、弯曲构件横截面上的(内力)应力,4,2、研究方法,纵向对称面,例如：,5,某段梁的内力只有弯矩没有剪力，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。,纯弯曲(Pure Bending):,6,52 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力,1.梁的纯弯曲实验,横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。,（一）变形几何规律：,一、
2、纯弯曲时梁横截面上的正应力,7,横截面上只有正应力。,平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。,（可由对称性及无限分割法证明）,3.推论,2.两个概念,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。,纵向对称面,中性轴,中性层,8,4.几何方程：,9,(二)物理关系：,假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意点均处于单向应力状态。,（三）静力学关系：,10,对称面,(3),11,（四）最大正应力：,(5),12,例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：(1)1-1截面上1、2两点的正应力；
3、(2)此截面上的最大正应力；(3)全梁的最大正应力；(4)已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半径。,解：画M图求截面弯矩,13,求应力,14,求曲率半径,15,53弯曲切应力,一、矩形截面梁横截面上的剪应力,1、两点假设：剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力相等。,2、研究方法：分离体平衡。在梁上取微段如图b；在微段上取一块如图c，平衡,Q(x)+dQ(x),M(x),y,M(x)+dM(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,16,由剪应力互等,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,17,方向：与横截面上剪力方向相同；大小
4、：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力发生在中性轴上，为平均剪应力的1.5倍。截面上、下缘(即梁的上、下表面)剪应力为0。,二、其它截面梁横截面上的剪应力,1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：,其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；,18,2、几种常见截面的最大弯曲剪应力,Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。,腹板顶部一点与翼缘底部一点的切应力,19,槽钢：,20,5-4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截
5、面的中性轴处。,一、梁的正应力和剪应力强度条件,21,2、正应力和剪应力强度条件：,带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。,3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：,22,4、需要校核剪应力的几种特殊情况：,梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。,设计截面尺寸：,设计载荷：,尤其需要注意的是弯曲正应力的强度条件问题涉及弯矩的符号、截面的形状及材料的性质。,校核强度：,
6、23,解：画内力图求危险截面内力,例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0.9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。,A,B,L=3m,24,求最大应力并校核强度,应力之比,A,B,L=3m,25,解：画弯矩图并求危险截面内力,例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm,y2=88mm,Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,画危险截面应力分布图，找危险点,26,校核强度,T字头在上面合理。,梁的弯曲正应力强度满足要求。,27,已知：l=2m，a=
7、0.2m,q=10kN/m，P=200kN,=160MPa，=100MPa。,解：,求：选择工字钢型号。,(1)求剪力图和弯矩图,支反力,作出剪力图和弯矩图,28,作出剪力图和弯矩图,最大弯矩,最大剪力,先根据最大弯矩选择工字钢型号,查型钢表：,29,查型钢表,单位为:cm,30,查型钢表,选22a工字钢,校核剪切强度,查型钢表得，对22a工字钢：,腹板厚度：,所以，选22a工字钢，剪切强度不够，需重选。,31,所以，选22a工字钢，剪切强度不够，需重选。,32,5.6 提高弯曲强度的措施,弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。,由此可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩Mmax和提高抗弯截面
8、系数W。,弯曲正应力强度为：,33,一、减小最大弯矩,(1)合理布置支座的位置,工程实例,34,(2)合理布置载荷,35,二、梁的合理截面,矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b)=1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为,如何证明？,1、梁截面的形状尺寸,36,强度：正应力：,剪应力：,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,其它材料与其它截面形状梁的合理截面,37,38,工字形截面与框形截面类似。,39,2、梁截面的放置,(2)关于中性轴不对称的梁截面,如果是脆性材料，
9、中性轴应偏于受拉一侧，如：,(1)矩形截面,40,上例,已知：T形截面铸铁梁，t=30 MPa，c=160 MPa。Iz=763cm4,且|y1|=52mm。,求：校核梁的强度。,问题：T形截面是否放反了？,没放反。Mmax是负的。,41,、采用变截面梁,如果是等强度梁，即,且截面为矩形，则高为,此外，,42,中点受集中力作用的简支等强度梁,弯矩方程为:,横截面采用矩形截面,(1)高度h为常数，确定宽度 b=b(x),43,根据剪切强度设计最小宽度,剪力,44,(2)宽度b为常数，确定高度h=h(x),同理可得,45,汽车结构中的叠板弹簧,土木结构中的鱼腹梁,机械上常用的等强度轴,46,本章结束,
