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1、第四章 弯曲应力,4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图4-2 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图4-3 平面刚架和曲杆的内力图4-4 梁横截面上的正应力梁的正应力 强度条件4-5 梁横截面上的切应力梁的切应力 强度条件4-6 梁的合理设计,4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图,一、弯曲的概念,二、梁的计算简图,1、实例,一、弯曲的概念,2、弯曲变形的特点,3、对称弯曲（平面弯曲）的概念,1、实例,房 梁,桥 梁,2、弯曲变形的特点,a、受力特点,外力为位于杆的纵截面内的载荷（集中力，分布力，力偶）。,b、变形特点,杆的轴线发生弯曲，由直线变成曲线。,梁：,以弯曲变形为主的构件,纵截面-通过杆的轴线的
2、截面,3、对称弯曲（平面弯曲）的概念,梁的横截面有一根对称轴，,梁有一个纵向对称面，,外力位于纵向对称面内，,弯曲变形后，梁的轴线由,对称弯曲（平面弯曲）,二、梁的计算简图,1、梁的支座,2、梁的外载荷,3、静定梁的基本形式,1、梁的支座,（1）滚动铰支座,（2）固定铰支座,（3）固定端,2、梁的外载荷,集中力 F,分布力 q(载荷集度),力偶 Me,3、静定梁的基本形式,（1）简支梁,（2）悬臂梁,（3）外伸梁,一、剪力和弯矩,4-2 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,二、剪力和弯矩的符号规定,三、截面法进一步说明,四、剪力方程和弯矩方程,五、剪力图和弯矩图,六、载荷集度,剪力,弯矩之间的关系,
3、七、按叠加原理作弯矩图,一、剪力和弯矩,1、求解梁的内力必须经过以下两步：,（1）解出梁的支反力,（2）用截面法解出梁横截面上的内力,（按实际方向和大小画在支座上）,截、取、代、平,截面法实施过程,切：在要求内力处，用一截面假想将梁切成两部分。,取：任一部分为研究对象。,平：由该部分的平衡条件，计算内力。,代：在该段梁上原有的外载荷和支反力以外，在切开截面处加上有关内力。,求：梁上m-m截面的内力,解：,（1）求出梁的支反力,（2）用mm将梁截开,取左半段为研究对象,截面上有两种内力,剪力,弯矩,2、例题,（3）用平衡条件求出内力,取右半段为研究对象，,可得到同样的结果。,二、剪力和弯矩的符号
4、规定,1、剪力 FS,绕研究对象顺时针转动为正,绕研究对象逆时针转动为负,2、弯矩 M,使研究对象向上弯为正,使研究对象向下弯为负,弯矩 M的另一种判别方法：,使梁下半部受拉为正,使梁上半部受拉为负,三、截面法进一步说明,不画分离体直接计算任意一截面上的剪力和弯矩,1、解出梁的支反力，用支反力代替支座,（支反力按实际方向画在支座上，标明力的大小）,2、剪力 FS 等于截面左侧（或者右侧）所有的力（包括支反力）的代数和，即,对于左半部，向上的力产生正剪力,对于右半部，向下的力产生正剪力,3、弯矩M 等于截面左侧（或者右侧）所有的力（包括支反力）对该截面的中心C的力矩的代数和。,弯矩正负号的判别方
5、法：,将该截面假想为固定端（梁原来的支座已被解除），则无论取左半部（或者右半部）凡使梁段向上翘起的外力，产生正弯矩。,将该截面假想为固定端（梁原来的支座已被解除），则无论取左半部（或者右半部）凡使梁段向下弯曲的外力，产生负弯矩。,4、梁上分布力的处理方法,求支反力时，分布力可以用其合力代替。,求截面内力时，分布力不可以简单地用其合力代替。,但在截开，取分离体后，作用在分离体上的分布力可以用其合力来代替。,求D截面的内力,5、例题,解：,剪力 FS 和弯矩 M与截面的位置有关，是坐标 x 的函数,四、剪力方程和弯矩方程,求图示简支梁的剪力方程和弯矩方程。,解：梁的支反力为,剪力方程：,弯矩方程：
6、,例题,该梁的剪力方程和弯矩方程不能用一个方程表示，需要分段。,求图示简支梁的剪力方程和弯矩方程。,解：梁的支反力为,弯矩方程,AC段的剪力方程,CB段的剪力方程,弯矩方程,五、剪力图和弯矩图,绘制规定：,正的剪力画在 x 轴的上方。,（正的弯矩画在梁的受拉一侧）,AC段,CB段,例题,绘制图示梁内力图。,剪力方程：,弯矩方程：,例题,绘制图示梁内力图。,该梁的剪力方程和弯矩方程不能用一个方程表示，需要分段。,解：梁的支反力为,例题,绘制图示梁内力图。,AC段,CB段,六、载荷集度,剪力,弯矩之间的关系,1、q，FS，M 之间的微分关系,从梁中取一任意微段,坐标为 x 的横截面上的内力为：,坐
7、标为 x+dx 的横截面上的内力为：,图中各内力均为正方向,q 向上为正。,由微段的平衡方程：,得：,得：,载荷集度,剪力,弯矩之间的微分关系,公式的几何意义：,剪力图上任一点的斜率等于该点处载荷集度 q 的大小,弯矩图上任一点的斜率等于该点处剪力 FS 的大小,2、微分关系在绘制剪力图和弯矩图中的应用,当 FS=0 时，弯矩将取极值（极大值，或极小值）。,弯矩的极值可能发生于下列位置:,剪力=0 的截面；,集中力作用截面；,集中力偶作用截面；,支座。,分布力规律的证明：,分布力的面积,两截面弯矩之差，等于该段梁上剪力图的面积。,（两截面之间无集中力偶作用）,证明：,剪力图的面积,支反力按实际
8、方向画在支座上，标明力的大小。,求解出梁的支反力后，用支反力代替支座。,前提：,3、剪力图和弯矩图的简便绘制方法,（1）剪力图,遇到向上的集中力F1，剪力增大F1，,遇到向下的集中力F2，剪力减小F2，,遇到集中力偶，剪力不变。,遇到向下的分布力，从开始遇到到离开此分布力，剪力减小，减小值等于该段梁上分布力的面积。,遇到向上的分布力，从开始遇到到离开此分布力，剪力增大，增大值等于该段梁上分布力的面积。,（2）弯矩图,截面法和微分关系相结合,利用截面法求出所有特征截面上的弯矩值,特征截面之间利用微分关系连接,直线,截面法,截面弯矩 M 等于截面左侧（或者右侧）所有的外力（包括支反力）对该截面的中
9、心的力矩的代数和。,需要计算弯矩的特征截面包括,剪力=0 的截面。,集中力作用截面。,集中力偶作用截面。,支座。,自由端、两端铰支座，弯矩=0,（条件：该处无集中力偶作用）,分布力开始截面以及结束截面。,集中力偶作用处，弯矩发生突变，所以要计算前后两个截面。,集中力偶作用处，弯矩突变规律的说明,集中力偶作用处，弯矩发生突变，所以要计算前后两个截面。,1、先用截面法，计算出前截面的弯矩。,（计算前截面的弯矩时，不包括该集中力偶。）,2、然后计算后截面的弯矩。,（集中力偶使梁段向上翘，该力偶产生正弯矩。）,（集中力偶使梁段向下弯，该力偶产生负弯矩。）,（突变值等于集中力偶的大小）,弯矩图的绘制方法
10、,利用截面法求出所有特征截面上的弯矩值，需要计算弯矩的特征截面包括：,b、剪力=0 的截面。,c、集中力作用截面。,a、支座。,自由端、两端铰支座，无集中力偶作用时弯矩=0,d、分布力开始截面以及结束截面。,特征截面之间利用微分关系连接,直线,e、集中力偶作用截面。集中力偶作用处，弯矩发生突变，所以要计算前后两个截面。,利用截面法求出所有特征截面上的弯矩值，需要计算弯矩的特征截面包括：,七、按叠加原理作弯矩图,对于小变形情况,弯矩叠加原理：梁在几个载荷作用下的弯矩，等于梁在各个载荷单独作用下的弯矩的代数和。,由于弯矩可以叠加，因此弯矩图也可以叠加。,分别作出梁在各个载荷单独作用下的弯矩图，然后
11、将相应的纵坐标相加。,作弯矩图的叠加法：,=,+,例题,用叠加法绘制图示梁弯矩图。,4-3 平面刚架和曲杆的内力图,三、带有中间铰的梁内力图,一、平面折杆和平面刚架的内力图,二、平面曲杆的内力图,一、平面折杆和平面刚架的内力图,杆系结构若在结点处各杆轴线之间的夹角保持不变，该连接结点称为刚结点。,刚结点处不但可转递力，还可以转递力矩。,平面折杆,平面刚架,平面折杆和刚架的内力，除了剪力和弯矩以外，还可能有轴力。,剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧，但须注明正负号；,剪力和轴力的正负号仍与以前的规定相同。,弯矩图，画在各杆轴向纤维受拉的一侧，不注明正、负号。,此处仅介绍平面折杆和刚架的弯矩图
12、。,例题：作图示折杆的弯矩图,例题：作图示刚架的弯矩图,1、计算支反力,（M）,2、作弯矩图,二、平面曲杆的内力图,平面曲杆的内力，除了剪力和弯矩以外，还可能有轴力。,1、利用截面法写出内力（弯矩、剪力、轴力）方程。,平面曲杆的内力图的绘制方法：,2、利用内力（弯矩、剪力、轴力）方程，绘制内力图。,写出图示曲杆的内力方程，绘制弯矩图。,解：（1）写内力方程,对于 m n 截面，建坐标系如图，由AC段的平衡条件，有：,例题,（2）绘制弯矩图,根据弯矩方程：,可绘制弯矩图如右。,弯矩图，画在各杆轴向纤维受拉的一侧，不注明正、负号。,杆系结构若在结点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。,各杆连接处称为
13、刚结点。刚架变形时，刚结点处各杆轴线之间的夹角保持不变。,平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，还有轴力。,平面刚架和曲杆的内力图总结,作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：,弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。,剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧，但须注明正负号；剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。,曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架相类似。,平面刚架和曲杆的内力图总结,三、带有中间铰的梁内力图,例：作图示梁的剪力图和弯矩图,对于带有中间铰的梁，关键在于支反力的计算。,计算出支反力以后，剪力图和弯矩图的绘制方法和普通梁
14、基本相同。但要注意如下两点：,一、弯曲正应力和弯曲切应力,4-4 梁横截面上的正应力,二、纯弯曲和横力弯曲,三、纯弯曲时梁横截面上的正应力,四、横力弯曲时梁横截面上的正应力,五、梁的正应力强度条件,一、弯曲正应力和弯曲切应力,梁的横截面上的内力：,剪力：FS,弯矩：M,剪力FS 引起横截面上的切应力,弯矩M 引起横截面上的正应力,二、纯弯曲和横力弯曲,纯弯曲：,FS=0，M=常数 的弯曲,横力弯曲：,的弯曲,纯弯曲是横力弯曲的特例,观察外表面的变形情况,三、纯弯曲时梁横截面上的正应力,1、变形几何条件,2、物理关系,3、静力关系,4、弯曲正应力计算,1、变形几何条件,（1）外表面的变形观察,横
15、向线仍为直线,仍垂直于纵向线。,（2）内部的变形假设,平面假设:变形前的横截面，变形后仍为平面，并仍然垂直于轴线。,变形前的横截面，变形后仍为横截面。,（3）中性层和中性轴,中性层:,中性轴:,中性层和横截面的交线。,梁弯曲时纵向线的长度保持不变的过渡层。,横截面,纵向对称面,（4）应变表达式,考虑长度为dx的微段,两截面变形后的夹角为d,中性层的曲率半径为,（中性层的长度不变）,距中性层 y 处的bb，变形前,距中性层 y 处的bb，变形后,该处的正应变为,应变表达式,纵向纤维的正应变与该处到中性层的距离成正比。,2、物理关系,纯弯曲时纵向纤维之间不存在相互挤压，,纯弯曲时纵向纤维处于轴向拉
16、压状态。,由轴向拉压胡克定律，有,对每一横截面，是同一数值，,正应力 与该处到中性层的距离成正比。,正应力 与该处到中性层的距离成正比。,尚有两个问题?,1、,2、中性层的位置？,3、静力关系,中性轴 z 通过横截面的形心,得：,对于对称弯曲，y 轴为横截面的对称轴。,该条件可自然满足。,对于非对称弯曲，该条件要求:y轴，z轴必须是形心主轴。,得到：,代入：,得到：,横截面上的最大弯曲正应力：,令：,弯曲正应力最大值为：,4、弯曲正应力计算,（1）对于宽度为b，高度为h的矩形截面梁,（2）对于直径为d的实心圆截面梁,（3）对于外径为D，内径为d的空心圆管梁,四、横力弯曲时梁横截面上的正应力,横
17、力弯曲时梁的横截面有剪力，,梁的横截面会发生翘曲，平面假设不再成立。,纵向纤维之间有相互挤压。,理论上说，纯弯曲时的梁的横截面的弯曲正应力的计算公式对于横力弯曲不再适用。,进一步研究表明，当 时，对于横力弯曲可采用纯弯曲公式计算，误差很小。,二者的区别在于：横力弯曲时梁的弯矩是变化的,横截面上的最大正应力的公式为：,对于宽度为b，高度为h的矩形截面梁：,对于直径为d的实心圆截面梁：,弯曲时梁横截面上的正应力为：,对于脆性材料弯曲正应力强度条件：,对于塑性材料弯曲正应力强度条件：,五、梁的正应力强度条件,已知:梁的尺寸如图,求:（1）梁危险截面上的最大正应力（2）梁危险截面上a点的正应力,例题,
18、解:作出梁的弯矩图,梁的危险截面为C截面，C截面的弯矩为:,56a号工字钢的,危险截面上的最大正应力为：,56a号工字钢的,危险截面上a点的弯曲正应力为：,梁的危险截面为C截面，C截面的弯矩为:,铸铁梁受力以及截面尺寸如图,已知:,例题,求:F力的最大许可值。,解:作出梁的弯矩图,最大正弯矩在截面C,最大负弯矩在截面B,中性轴到上、下边缘的距离分别为：,分析表明，B、C截面的强度均由最大拉应力控制。,截面C：,得到：,截面B：,梁的许可载荷为：,得到：,例题,已知:,求:力F的最大许可值。,解:,作出梁的弯矩图,梁的危险截面为B截面,B截面的弯矩为:,B截面的尺寸如图,由,例题,T形截面铸铁梁
19、受力以及截面尺寸如图。,已知:,Z 轴为 形心主惯性轴,要求校核该梁的强度。,作出梁的弯矩图,最大正弯矩在截面C,最大负弯矩在截面B,解:,截面B:最大负弯矩,截面C:最大正弯矩,结论:梁的强度符合要求。,4-5 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,一、矩形截面梁,二、工字形截面梁,三、圆形以及圆环形截面梁,四、弯曲切应力的强度条件,五、弯曲正应力和弯曲切应力的比较,弯曲切应力的分布规律与截面形状有关,一、矩形截面梁,对于一受任意载荷作用的矩形截面梁,1、横截面上的切应力分布规律,（1）切应力 的方向平行于剪力FS,（2）切应力沿横截面宽度均匀分布,理由？,2、切应力计算公式的推导（局部平衡
20、法）,纵截面pqr上将有切应力,对于所研究的微块,同样有：,由（a）得：,结论：,矩形截面梁的弯曲切应力,当 时：,当 时：,代入：,矩形截面梁的弯曲切应力,1、切应力计算,腹板为窄长矩形，按前节的结果：,得：,二、工字形截面梁,y=0，,2、工字梁弯曲时应力分布的结论,理由？,3、工字钢型材切应力的计算,由型钢表查出，代入公式计算。,弯矩M 主要由翼缘承受,剪力FS主要由腹板承受,三、圆形以及圆环形截面梁,1、圆形截面梁,最大切应力位于中性轴上,2、薄圆环形截面梁,最大切应力位于中性轴上,已知:梁的尺寸如图,求:（1）C截面上最大切应力；（2）C截面上a点的正应力。,例题,解:,梁上最大剪力
21、为:,56a号工字钢的,作出梁的剪力图,C截面上的最大切应力为：,C截面上a点的切应力为：,四、弯曲切应力的强度条件,梁弯曲时最大切应力位于中性轴上。,中性轴上的弯曲正应力,为纯剪切。,切应力强度条件为:,例题,要求选择梁的工字钢型号。,解：,作梁的剪力图和弯矩图。,2、按弯曲正应力计算,可选 No 22a 工字钢。,3、按弯曲切应力计算,No 22a 工字钢,切应力强度不够！,改选No 25b 工字钢,最后选No 25b 工字钢。,五、弯曲正应力和弯曲切应力的比较,以图示简支梁为例,一般,梁的,对于一般情况的梁,无须进行切应力强度校核。,但是，对于以下几种特殊情况，还需要进行切应力强度校核。
22、,1、剪力很大，弯矩很小的梁。,例如，图示梁中 的情况。,2、对于腹板很薄，高度很大的工字形截面梁。,3、焊接、铆接和胶接而成的组合梁。,4-6 提高弯曲强度的措施,一、合理安排梁的受载形式,二、合理安排梁的截面,三、采用等强度梁,由于一般情况下，梁的弯曲强度由正应力强度条件确定。,提高梁的弯曲强度时，一般仅考虑。,提高梁的弯曲强度从结构上考虑，有三种方法：,一、合理安排梁的受载形式,合理安排梁的受载形式,合理安排梁的受载形式,二、合理安排梁的截面,对于矩形截面梁：,显然，右边的安排方法比较合理。,采用空心截面，工字形截面，可以在同样的截面面积的条件下，得到更大的，得到更高的抗弯能力。,三、采用等强度梁,合理设计梁的截面尺寸的变化，使得弯矩大时，梁的截面也大，使得弯矩小时，梁的截面也小。,例如：汽车上的叠板弹簧。,建筑中的鱼腹梁。,
