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1、弹性力学习题,已知平面问题物体内某点的应力分量为试求该点的主应力和主平面方位角（写出求解过程）。,x,y,O,P,P,A,B,(a),(b),x,y,O,（1）主应力,若某一斜面上，则该斜面上的正应力称为该点一个主应力。,当 时，有,求解得：,（2-7）,平面问题中主应力的计算公式,主应力所在的平面 称为主平面；,主应力所在平面的法线方向 称为应力主向；,由式（2-7）易得：,平面问题中应力第一不变量,（2）应力主向,设1 与 x 轴的夹角为1，1与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则,设2 与 x 轴的夹角为2，2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则,应力主向的计算公式：,（2-8）,
2、显然有,表明：,1 与 2 的方向互相垂直。,结论:,任一点P，一定存在两互相垂直的主应力。,平面问题的基本理论,边界条件,当物体处于平衡状态时，其内部各点的应力状态应满足平衡微分方程，在边界上应满足边界条件。,一、位移边界条件,按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。,当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为，则有（在 上）：,其中 和 表示边界上的位移分量，而 和 在边界上是坐标的已知函数。,二、应力边界条件,当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的平衡条件。,其中 和 为面力分量，
3、、为边界上的应力分量。,例2 如图所示，试写出其边界条件。,(1),AB边（y=0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x=l）：,(3),AC段（y=x tan）:,练习 图示构件，试写出其应力边界条件。,上侧：,下侧：,固定端略。,例题,试用应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。,解：应校核相容方程和边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。,本题得出的应力解答是,习题3-5设有矩形截面的竖柱，其密度为，在一边侧面上受均布剪力q(取单位厚度)，如图1，试求应力分量。,注：,解：验证是否满足重调和方程,（2）,含待定常数的应力分量为：,3.利用边界条件确定常数，并求出应力解答：,能自然满足：,能自然满足：,（3）,不能精确满足，只能近似满足：,由式（3）、（4）解出常数 和，进而可求得应力分量：,（4）,
