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1、第八章弹性力学初步,刚体：在任何外力作用下,形状大小均不发生改变的物体。,刚体内任意两质元间的距离保持不变,内部质元之间可以有相对运动，宏观上体现为形变或非均匀流动。,如果质元之间可以有相对运动？,弹性体和流体的研究方法：微元为有质量的体积元,质量的体积元,密度r,力作用在微元的表面,应力：F/S,微元不是离散的质点,弹性形变当物体所受外力撤除后，在外力作用下所发生的形状和体积的变化完全消失，而恢复原状的形变.弹性体在外力作用下，物体内部各点的相对位置发生改变；宏观上，表现为物体的大小和形状发生变化。自然界中并没有完全弹性体，一般变形体，既有弹性，还有撤去外力后不能完全复原的塑性。假设：(1)
2、变形体材料均匀连续，忽略实际物体中的微粒间的不连续性。认为物体的性质处处相同。,多晶纯橄榄石矿物在正交显微镜下图像。颗粒之间是不连续的。每个颗粒都是橄榄石矿物。（注颜色不同是矿物双折射的干涉产生的。）,(2)变形体材料各向同性，在各个方向具有相同的力学性质。暂不考虑各向异性的材料。譬如：单晶是各向异性的。多晶，在宏观上表现出各向同性。这是由于多晶是大量单晶无规则排列的结果，在宏观上的平均效果表现为各向同性(3)变形体变形很小，即物体几何大小和形状的改变与其总尺寸相比甚小。在形变很小的情况下，可以认为物体内各点的相对位移与力成正比，即该形变是弹性形变。这时，变形和作用力之间的关系仍然呈线性，是胡
3、克定律在复杂力作用下的推广，称为“广义胡克定律”,外力，内力和应力,讨论横截面积远小于其长度的细直杆。两端受到沿轴线的力而平衡,假想横面AB将直杆分成上下两部分。通过截面AB产生一对内力。考虑平衡。,应力,Fn是内力在外法线方向的投影，S是横截面积,单位：帕,N/m2,应力是物体中各部分之间相互作用的内力,8.2.1 线应变,在固体中一个截面上的应力一般不与此截面垂直，我们可以将它分解为法向分量和切向分量，前者称为正应力，后者称为剪切应力。,纯正应力相对应的体应变纯剪切应力相对应的剪切应变,赵州桥,如果设计得好，楔型石料将主要承受压应力,8,线应变,取一根长、宽、高分别为l，w，h的等截面杆形
4、材料。如果两端在拉力F作用下，其长度伸长为l，并满足小变形假设。,胡克定律：力与伸长成正比，即Fl。,杆伸长l不仅取决于外力F，也取决于杆的长度。Fl/l,为得到杆形材料的伸长l，力F将取决于该材料的横截面积。F/Sl/l,相对伸长l/l就是单位长度的伸长，一般称为应变。,（仅形变较小时成立）,胡克定律,即,Y是弹性模量(杨氏模量),是描写材料本身弹性的物理量.,P 是塑性应变.,断裂点,弹性极限,实验：当在一个方向上对材料拉伸时，必将在与这一伸长垂直的方向上收缩。宽度的相对收缩正比于长度的相对伸长。根据材料的各向同性假设,常数 v 称为泊松比，它是表征材料性质的另一个参数。泊松比是一个无量纲
5、的正数，小于1/2,8.2.2 叠加原理在力和位移上都是线性的，而且均满足小位移假设，所以叠加原理成立。由此，一维情况下成立的应力-应变关系与泊松比关系在多维情况下也成立,8.2.3 体应变与剪切应变,1）体积形变体应力与体应变,若只有p1单独作用，棱边a为纵向边，棱边b和c为横向边，三个应变分别为：,在p2单独作用下，以及p3单独作用下，棱边a，b，c的应变分别为：,在应力p1，p2，p3同时作用下，棱边a的应变为：,在应力p1，p2，p3同时作用下，棱边b和c的应变为：,体积：,体积变化（体应变）,当时，即静水压作用下,K为体积模量，有关系,由上式得，要小于0.5。否则体积模量K为负值，材
6、料会在增加压力时发生膨胀。,2）剪切形变切应力与切应变,剪切形变物体受到力偶作用使物体两个平行截面间发生相对平行移动.,切应力,S是截面ABCD的面积，,物体受到力偶 发生剪切变形,切应力具有与正应力相同的量纲和单位.,2.切应力,1.力偶：大小相等方向相反彼此平行的一对力,与参考点的选择无关,剪切应力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线的切应力相等.思考：切应力不相等时，物体会出现什么状态？,力偶矩,3.纯剪切状态：剪切应力互等,和分别表示上下底面和左右侧面的切应力,4.剪切应变描述,剪切形变特征:,切应变:平行截面间相对滑移与截面垂直距离之比.,即,形变小时，,又称切变
7、角.,即,G称切变模量，由材料弹性决定.G反映材料抵抗剪切形变的能力，单位与弹性模量相同.,剪切形变的胡克定律若形变在一定限度内，切应力与切应变成正比.,弹性模量E、切变模量G和泊松系数 之间的关系为,5.剪切形变的胡克定律,由上式得，要大于-1。否则剪切模量G为负值，材料会在做剪切形变时对外力做功而不是外力做功使材料发生形变。,Y、G和 之间关系的推导,水平方向的应变为：,1）正应力作用下,2）剪切力作用下,BD截面上受力为,截面面积为,因此拉(张)应力为F/S,AC截面上压应力为-F/S,在立方体处于纯剪切状态下，其剪切应力F/S相当于彼此大小相等、互相垂直，并与原立方体面成45截面上的拉
8、(张)应力与压应力的组合。应力与应变可由下图所示的力作用下的结论得到，这可由上一个关系式给出：,其中一条对角线伸长，另一条则缩短。,在讨论剪切应变时，切应变常采用角变形 角表示,例题：大理石在110MPa的应力下才碎裂，它在破裂之前经历的最大应变有多大？解：由应力-应变关系，Y=55109Pa或其它值（查得）=210-3例题：一种砖密度为2103kg/m3，最大可承受40MPa的应力。那么用这种砖一层层砌起高塔，能保持最底层的砖不破裂的塔的最大高度为多少？解：应力为可推得：h=2040.8m,例题：一条铝线长0.850米，横截面为圆形且直径为0.780毫米。一端固定，另一端栓一1.20千克的物
9、体在水平面内做圆周运动。请问多大的角速度能使铝线有1.0010-3的应变？解：铝的杨氏模量E=69109Pa其中,例题：一根铁质缆线横截面面积为3.00平方厘米，每米重2.40千克。如果500米的缆线垂直悬挂于悬崖下，请问在它自身的重力作用下，缆线会伸长多少米？解：在x处的应力为x处的dx微元的伸长量dl 总伸长量为,例题：矩形横截面杆在轴向拉力的作用下产生拉伸应变为，此材料的泊松比为，求证体积的相对改变为：,式中V0和V分别代表原来和形变后的体积。低碳钢的杨氏模量为，泊松比为0.3，受到的拉应力为=1.37Pa，求杆体积的相对变化。,解：应变,泊松比：,体积：,得证,拉应力：,所以：,在剪切
10、钢板时，由于刀口不快，没有切断，该材料发生了剪切形变。钢板的横截面积为S=90cm2，二刀口间的距离为d=0.5cm，当剪切力为F=7*105N时，已知钢板的剪变模量为G=8*1010Pa，求：（1）钢板中的剪切应力；（2）钢板的剪切应变；（3）与刀口齐的两个截面所发生的相对滑移。,解：（1）剪切应力：,（2）剪切应变：,（3）应变与相对滑移：,8.3 圆棒的扭转,一根长度为L，半径为a，其一端相对于另一端扭转角度 的圆柱形棒。,由实验知，在小变形的条件下，一根受扭转的棒所受的力矩与扭转角 成正比，其比例系数取决于棒的材料以及棒的几何尺寸。下面我们将导出这个比例系数。,扭转的本质是剪切应变。这
11、是一个材料内部不同部分受有不同应力的问题。,把圆柱棒分成许多很薄的同轴柱形壳分别进行考察。我们讨论其中一个半径为,，厚度为,的薄柱壳。,柱壳面上一个小正方形，受扭转后变成一个平行四边形。在剪切力作用下，此柱壳元的切变角为,利用虎克定律，剪切应力为,同时切应力还可表示为一端的剪切力除以端面积,F提供了环绕柱轴的力矩M：,总力矩M应等于该柱壳整个圆周的每个M之和：,即，一个空心薄柱壳的转动刚度(即转动弹性模量),一根实心棒可以看成许许多多同心薄柱壳构成，而且每一柱壳有相同的扭转角,总转动力矩等于每一柱壳上的力矩之和。因此,试推导钢管扭转常量D的表达式。,例题：一铝管直径为4cm，壁厚1mm，长10
12、m，一端固定，另一端作用一力矩50N.m，求铝管的扭转角。已知铝的剪变模量G=2.65*1010Pa。,解：扭转角：,代入数据，得：,梁的弯曲,矩形横截面梁，不计自重,如图,弯曲后，靠近上缘各层发生压缩形变；靠近下缘各层，发生拉伸形变.处于中间的的CC 层(中性层)既不伸长也不压缩.,中性层曲率,M是加于梁的力偶矩，E为材料的杨氏模量，b为梁宽度，h为梁的高度.,弯曲形变特点:,铁轨的横截面呈“工”字形：铁轨在列车压力下弯曲，拉压应力集中于上下缘之故。,人体骨骼,当杆型物体弯曲和扭转形变时，拉伸或剪切应力都是集中于最外侧,骨骼呈中空状,矩形横截面边长2:3的梁在力偶矩作用下发生纯弯曲。对于截面
13、的两个不同取向，同样的力偶矩产生的曲率半径之比为多少？,解：依据梁弯曲的曲率公式，有：,设边长分别为：2a、3a,一种取法：b=2a，h=3a,则：,另一种取法：b=3a，h=2a,则：,8.4 弹性波,剪切波（横波）,静态扭棒,扭矩沿棒处处相等，并正比于,如果扭转是均匀的，有,在棒中任取一长度为x的一小段棒，两端面1,2的位置坐标分别为x和x+x，所受转扭分别为,和,当x足够小时，有近似关系：,作用于此小段棒的净扭矩为：,小段棒的质量为,为材料的密度,它相对于圆棒轴的转动惯量为：,转矩等于转动惯量与角加速度之积：,即,化简为：,8.4.2 涨缩波（纵波）,以弹性细棒中传播的声波的为例,取弹性
14、棒中的任意一小段棒，此小段棒两端的平衡位置为x和x+x，运动中两端面的位移为y和y+y，应力为和。,设棒的横截面积为S，材料的杨氏模量为E。则这小段棒受到的合力为,小段棒的质量为,由牛顿第二定律,得,这是一维波动方程，声速为,其中,为棒的密度。,在粗而厚的物体中传播的声波，其波速将比一根细棒中传播的声速大一些。这是由于大物体中的横向尺寸比声音波长大得多，推压该物体不会向旁伸展，受到横向约束。这种情况下的弹性模量E大于材料的E：,因此声速可以表示为：,因有关系GEE，纵波比剪切波传播得更快。,8.4.3 固体介质中纵波、横波的转换,固体材料既可以传播纵波(P波)也可以传播横波(S波)。当固体材料
15、中的弹性波遇到界面时，即使入射的只有纵波，反射和折射出的也会既有纵波也有横波。,在某些特殊条件下，纵波入射只反射横波；横波入射只反射纵波。这种现象称为“偏振交换”或“波型转换”。,应用：转换波测界面深度,利用PS-P的到时差可以计算转换界面的深度,应用在矿藏勘探上,8.4.4 实例：超声波探测与成像、CT、地震波反演在固体中传播的弹性波遇到界面时会发生反射，可以用来检查金属零件内部的缺陷,CT(计算机断层扫描),B超,地震会激发出弹性波(地震波)，地震波在地球内部传播，遇到不同的物质、不同的界面，也会有不同的反应。根据在全球各地记录到的地震波数据，就可以推断地球内部的结构，通常称为“地震波反演”。,地震波到时-震中距,地震波在地球内部的部分传递方式,地震定位,第八九章作业,8-4,10,12,13,169-6,13,20,33,41,46,50,65,73,
