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1、第二节 微积学基本定理,一、变上限积分与对积分上限变量求导数二、微积分基本定理,如果物体运动的速度函数为v=v(t),那么在时间区间a,b内物体的走过的路程s可以用定积分表示为,另一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t),则在时间区间a,b内物体的位移为s(b)s(a),所以又有,由于,即s(t)是v(t)的原函数,这就是说,定积分 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间a,b上的增量s(b)s(a).,一、变上限积分与对积分上限变量求导数,设函数f(x)在区间a,b上连续,则对于任意的x(),积分 存在,且对于给定的x(),就有一个积分值与之对应,所以上限为变量的积分 是上
2、限x的函数.,注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念,在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的,而积分变量x是在下限与上限之间变化的,根据定积分与积分变量记号无关,用字母t表示积分变量,于是变上限记号为(x)因此常记为,定理5.3 如果函数f(x)在区间a,b上连续,则变上限的积分所确定的函数,在a,b上可导,且,证明,由积分中值定理有,结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).,定理5.4(原函数存在定理),原函数存在定理一方面说明连续函数必有原函数,另一方面又揭示了连续函数定积分(这里是指变上限定积分
3、)与不定积分的关系,并由此可以得到利用原函数计算定积分的公式(称为微积分基本定理).,定理5.5(微积学基本定理)设函数f(x)在区间上连续,且F(x)是f(x)在a,b上的任一原函数,二、微积分基本定理,证明,或记作,上式称为牛顿-莱布尼茨公式,也称为微积分基本定理.,则 即有,令x=b得,令x=a,得,牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法,即求定积分的值,只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题,揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解 根据定理6.3有,例4 求,解,
