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1、第2课时 指数幂及运算,一、分数指数幂的意义,0,没有意义,判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式.()(2)分数指数幂 可以理解为 个a相乘.()(3)0的任何指数幂都等于0.(),提示：(1)正确.引入分数指数幂之后,任何有意义的根式都能化成分数指数幂的形式,即(2)错误.分数指数幂 不可以理解为 个a相乘.事实上，它是根式的一种新写法.(3)错误.因为0的负指数幂无意义，所以此说法是错误的.答案：(1)(2)(3),二、有理数指数幂的运算性质(1)aras=_(a0,r,sQ).(2)(ar)s=_(a0,r,sQ).(3)(ab)r=_(a0
2、,b0,rQ).,ar+s,ars,arbr,思考：在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a0?提示：(1)若a=0，0的负数指数幂无意义,(ab)r=arbr，当r0时不成立，a0.(2)若a0，(ar)s=ars也不一定成立,如a0时不成立.因此规定a0.,三、无理数指数幂无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个确定的_,有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂_.思考：为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？提示：底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如a=-1,则(-1)是1还是-1就无法确定了，规定后就清楚了.,实数,同样适用,【知识点拨】1.“三角度”理解分数指数幂(1)
3、角度一：与根式的关系.分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化.(2)角度二：底数的取值范围.由分数指数幂的定义知a0，可能会有意义.当 有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.,(3)角度三：运算性质.分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘.,2.关于指数运算性质的四点说明(1)无理数指数幂的运算性质是有理数指数幂运算性质的推广.(2)运算性质的形式要掌握，它是化简的基础.(3)运算性质可以逆用.如amn=(am)n=(an)m(a0).(4)要会用文字语言来叙述运算性质.,3.对无理数指数
4、幂的理解(1)无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数.(2)无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算性质.对任意的实数r,s,均有下面的运算性质：aras=ar+s(a0,r,sR).(ar)s=ars(a0,r,sR).(ab)r=arbr(a0,b0,rR).,类型 一 根式与分数指数幂的互化【典型例题】1.下列互化中正确的是()A.(x0)B.(y0)C.(x,y0)D.2.将 化为分数指数幂的形式是_.,【解题探究】1.分数指数幂的底数a0时成立吗？如
5、何处理？2.根式中的根指数和被开方数(式)的指数与分数指数幂有怎样的对应关系？,探究提示：1.由分数指数幂的定义知a0，可能会有意义，当 有意义时可借助定义将底数化为正数,再进行运算，如 等.2.根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子.,【解析】1.选C.故选项A不正确；选项B中，y0，故 选项B也不正确；故选项D不正确.2.答案：,【互动探究】若将题2变为 又如何化为分数指数幂的形式呢？【解析】,【拓展提升】根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子.(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数
6、指数幂的运算性质解题.,【变式训练】等于()A.B.C.D.2【解析】选C.,类型 二 利用分数指数幂的运算性质化简求值【典型例题】1.计算：=_.2.化简：,【解题探究】1.对于指数幂中指数、底数是负数，或是小数的应如何化简？2.对于根式中含有多重根号的题目应如何处理?探究提示：1.负指数化成正指数，小数指数化成分数指数，底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.2.含有多重根号的题目，可以由内到外逐一化分数指数幂，边运算边化简；或都先化成分数指数幂，再进行幂的运算.,【解析】1.原式=答案：2.原式=,【拓展提升】1.幂的运算的常规方
7、法(1)化负指数幂为正指数幂;(2)化根式为分数指数幂;(3)化小数为分数进行运算.2.分数指数幂及根式化简结果的具体要求利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数.,【变式训练】化简【解析】原式=,类型 三 指数幂运算的条件求值【典型例题】1.x-2+x2=且x1，则x2-x-2的值为()A.2或-2 B.-2 C.D.22.已知x+y=12，xy=9x，且xy，求 的值.,【解题探究】1.x2-x-2与x2+x-2存在怎样的关系？如何相互转化？2.条件求值的解题顺序怎样？探究提示
8、：1.存在的关系为x2-x-2=注意整体代换思想的应用.2.条件求值一般要结合条件先化简再求值,另外要特别注意条件的应用,如隐含条件,整体代入等.,【解析】1.选D.x-2+x2=且x1，所以x2x-2，x2-x-20，故x2-x-2=2.由x+y=12及xy=9x得x(12-x)=9x，所以 或当 时，当 时，,【拓展提升】条件等式求值的原则和方法技巧(1)原则：对于条件等式的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值.也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值.(2)方法技巧：乘法公式在分数指数幂当中的应用及
9、“整体代换”的技巧、换元思想.,【变式训练】已知=0，求yx的值.【解题指南】解决本题的关键是根据已知条件，求出x,y的值.【解析】由=0得，|x-1|+|y+3|=0，所以x=1，y=-3，yx=(-3)1=-3.,根式与分数指数幂的应用【典型例题】1.从小到大的排列顺序为_.2在 中最大的数是_.,【解析】1.121123125，即答案：2 所以最大的数是答案：,【拓展提升】根式大小比较的一般方法(1)根指数相同时，不论根指数是奇数还是偶数，根式的大小取决于被开方数的大小.(2)根指数不同时，应先化成统一的根指数，再进行大小比较.,【易错误区】根式化简时忽视符号致误【典例】化简=()A.B
10、.C.(a-1)4 D.,【解析】选B.要使原式有意义，则a-10.,【类题试解】化简：=_.【解析】由 知,-a0,a0,故a-10，所以答案：,【误区警示】,【防范措施】1.注意隐含条件的挖掘要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时，要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中是四次方根，则必须(a-1)30，即a-10.2.准确应用公式和性质对于公式和性质要记住且要记准.如本例根式与分数指数幂的互化公式，以及分数指数幂的运算性质.,1若a0，且m,n为整数，则下列各式中正确的是()A.aman=B.aman=am+nC.(am)n=am+n D.1-an=a0-n【解析】选B.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以aman=am+n正确.,2.可化为()A.B.C.D.【解析】选A.当根式化分数指数幂时，注意分子与分母，,3.若10 x=3,10y=4,则10 x-y=_.【解析】答案：,4.的值是_.【解析】答案：,5.求值：(1)(2),【解析】(1)(2),
